2021年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理)试题及答案.docx

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理)试题及答案 试卷类型：A2021年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案

2、必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b -+21n n ab b -+）一、选择题：本大题共8小题，每小

3、题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A 1i + B. 1i - C. 22i + 22i - 2已知集合(),A x y = ,x y 为实数，且221x y +=，(),B x y =,x y 为实数，且y x =，则A B ?的元素个数为0 1 2 3 3. 若向量，满足且，则(2)c a b ?+=4 3 2 04. 设函数()f x 和()g x 分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ()()f x g x +是偶函数 ()()f x g x -是奇函数 ()()f

4、x g x +是偶函数 ()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x ?给定。若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM ON =的最大值为 A 42 B 32 C 4 D 36. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A 12B 35C 23D 34 7. 如图13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A. 6393 C. 1231838.设S 是整

5、数集Z 的非空子集，如果,a b S ?有ab S ，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ?=且,a b c T ?有;,abc T x y z V ?有xyz V ，则下列结论恒成立的是A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）9. 不等式130x x +-的解集是 .10. 72x x x ?- ?的展开式中，

6、4x 的系数是 （用数字作答）11. 等差数列n a 前9项的和等于前4项的和. 若141,0k a a a =+=，则k=_.12. 函数2()31f x x x =-+在x=_处取得极小值。 13. 某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为5(0)sin x y ?=?=? 和25()4x t t R y t?=?=?，它们的交点坐标为_.

7、15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线 和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，BAC=APB, 则AB= 。三解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。（1）（本小题满分12分）已知函数1()2sin(),.36f x x x R=-(1)求5()4f的值；(2)设106,0,(3),(32),22135f a f?+=+=?求cos()+的值.17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产

8、品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x175，且y75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。18.(本小题满分13分)如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， 且DAB=60?，2PA PD =E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-

9、AD-B 的余弦值.19.(本小题满分14分)设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y +=+=中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程; （2）已知点M 3545(5,0)F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.20.（本小题共14分） 设b0,数列n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n -=+-. （1）求数列n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a + 21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:214y x =.实数p

10、，q 满足240p q -，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max ,p q x x ?=。 （1）过点20001(,)(0)4A p p p 作L 的切线教y 轴于点B. 证明：对线段AB 上任一点Q(p ，q)有0(,);2p p q ?= （2）设M(a ，b)是定点，其中a ，b 满足a 2-4b0,a 0. 过M(a ，b)作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p ，12,l l 与y 轴分别交与F,F。线段EF 上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) X ?12P P ?(,)a b ?

11、12p =;（3）设D= (x,y)|y x-1,y 14(x+1)2-54.当点(p,q)取遍D 时，求(,)p q ?的最小值 （记为min ?）和最大值（记为max ?）. 2021年广东高考理科数学参考答案一、选择题题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B C D A C D B A二、填空题 . 1,)+； 10. 84； 11. 10； 12. 2； 13. 185；14. 25(1,； 15.35三、解答题 16解：(1)55()2sin()2sin 241264f =-=; (2)10(3)2sin 213f +=，5sin 13=，又0,2，12cos 13=， 6

12、(32)2sin()2cos 25f +=+=，3cos 5=， 又0,2，4sin 5=， 16cos()cos cos sin sin 65+=-=. 17解：（1）乙厂生产的产品总数为1453598=； （2）样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为235145?=； （3）0,1,2=， 22325()i iC C P i C -=(0,1,2)i =，的分布列为0 1 2P310 35110均值31()125105E =?+?=. 18.解：(1) 取AD 的中点G ，又PA =PD ，PG AD ，由题意知ABC 是等边三角形，BG AD ， 又PG , BG 是平面PG

13、B 的两条相交直线，AD PGB 平面，/,/EF PB DE GB ，DEF PGB 平面/平面， AD DEF 平面(2) 由（1）知PGB 为二面角P AD B -的平面角，在Rt PGA ?中，22172()24PG =-=；在Rt BGA ?中，222131()24BG =-=；在PGB ?中，22221cos 27PG BG PB PGB PG BG +-=-?. 19解：（1）两圆半径都为2，设圆C 的半径为R ，两圆心为1(5,0)F -、2(5,0)F ，由题意得12|2|2R CF CF =-=+或21|2|2R CF CF =-=+，1212|425|CF CF FF -

14、=可知圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，设方程为22221x y a b -=，则22224,2,5,1,1a a c b c a b =-=，所以轨迹L 的方程为2214x y -=（）|2MP FP MF -=，仅当(0)PM PF =时，取，由2MFk =-知直线:2(5)MF l y x =-，联立2214x y -=并整理得21532590x x -+=解得GPABCDFE所以|MP FP -最大值等于2，此时3545(P 20解（）法一：112(1)n n n a ba n a n -=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a

15、-+-=+?， 设n nnb a =，则121n n b b b b -=?+(2)n ，（）当2b =时，n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-?=，2n a = （）当2b 时，设12()n n b b b -+=?+，则122(1)n n b b b b-=?+-， 令21(1)b b -=，得12b =-，1121()22n n b b b b b -+=?+-(2)n ， 知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b -+=+?-，又11b b=，12112()222n n n n n b b

16、b b b b b -=?-=?-，(2)2n n n nnb b a b -=-法二：（）当2b =时，n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-?=，2n a = （）当2b 时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -=+-，33223333(2)242b b b a b b b -=+-， 猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：当1n =时，猜想显然成立；假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(

17、2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +?+?-+-=+-+?-， 所以当1n k =+时，猜想成立， 由知，*n N ?，(2)2n n n nnb b a b -=-（）（）当2b =时， 112212n n n a +=+，故2b =时，命题成立；（）当2b 时，222212222n n n n n n b b b +?=，212122122222n n n n n n b b b b -+?+?=，1111221,22222n n n n n n n n b b b b +-+?+?= ，以上n 个式子

18、相加得2212n n b b -+?+111122n n n n b b +-+?+?+ 2121222n n n n b n b -+?+?，1221212112(2)(222)2(2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n nn b b b b b b b a b b +-+?-+?+?+-?-=- 2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n nb b b b b b b -+?+?+-?-=- 2121111(2)222(2)n n n n n n n n nb b b b +-?+?=- 2111211(2)(22)2(

19、2)n n n n n n n n nb b b b +-?+?-=-1112n n b +=+故当2b 时，命题成立； 综上（）（）知命题成立21解：（）00011|()|22AB x p x p k y x p =， 直线AB 的方程为202111()42y p p x p -=-，即2021124y p x p =-，2021124q p p p =-，方程20x px q -+=的判别式2204()p q p p ?=-=-， 两根001,2|22p p p p x -=或02pp -，00p p ? ，00|22p pp p -=-，又00|p p ， 000|222p p p p

20、-，得000|222p p pp p -=-， 0(,)|2p p q ?= （）由240a b -知点(,)M a b 在抛物线L 的下方， 当0,0a b 时，作图可知，若(,)M a b X ，则120p p ，得12|p p ； 若12|p p ，显然有点(,)M a b X ； (,)M a b X 12|p p ? 当0,0a b 作图可知，若(,)M a b X ，则120p p ，且12|p p ； 若12|p p ，显然有点(,)M a b X ；(,)M a b X 12|p p ? 根据曲线的对称性可知，当0a 由（）知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的

21、两根11,22p x =或12pa -， 同理点M 在直线E F 上，方程20x ax b -+=的两根21,22p x =或22p a -， 若1(,)|2p a b ?=，则1|2p 不比1|2p a -、2|2p 、2|2pa -小， 12|p p ，又12|p p (,)M ab X ?，1(,)|2p a b ?=?(,)M a b X ；又由（）知，(,)M a b X 1(,)|2pa b ?=； 1(,)|2p a b ?=?(,)M a b X ，综合（*）式，得证 （）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ， 过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-， 得202140x px q -+=，解得204x p p q =+-又215(1)44q p +-，即2442p q p -， 042x p p -42p t -=，20212x t t -+215(1)22t =-+，0max max |2x ?= ，又052x ，max 54?=；1q p - ，2044|2|2x p p p p p +-+=+-=， min min |12x ?=