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1、1.2命题、量词与逻辑联结词,一、命题的概念,可以判断真假 的语句叫做命题.命题分真命题和假命题两,种.,二、全称量词与存在量词,命题量词与逻辑联结词,1.全称量词与全称命题,(1)短语“所有的 ”“任意一个 ”等在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.,(2)含有全称量词 的命题,叫做全称命题.,(3)全称命题“对 A中任意一个x,有P(x)成立”可用符号简记为xA,P(x) ,读作“对任意x属于A,有P(x)成立”.,2.存在量词与特称命题,命题量词与逻辑联结词,(1)短语“存在一个 ”“至少有一个 ”等在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.,(2)含有存在量词 的命题,叫做
2、特称命题.,(3)特称命题“存在 A中的一个x0,使P(x0)成立”可用符号简记为x0A,P(x0) ,读作“存在一个x0属于A,使P(x0)成立”.,3.含有一个量词的命题的否定,命题:xA,P(x),命题的否定:x0A,P(x0).,命题量词与逻辑联结词,命题:x0A,P(x0),命题的否定:xA,P(x).,三、逻辑联结词、简单命题与复合命题,1.“或”“且”“非” 这些词叫做逻辑联结词,不含有逻辑联结词的命题是简单 命题,由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合 命题.,2.构成复合命题的形式:p或q(记作“pq” );p且q(记作“pq” );非p(记作“p” ).,
3、命题量词与逻辑联结词,3.“或”“且”“非”的真值判断,(1)“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反;,(2)“p且q”形式复合命题当p与q同为真 时为真,其他情况时为假;,(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假 时为假,其他情况时为真.,命题量词与逻辑联结词,1.已知命题p:a20(aR),命题q:a20(aR),下列命题为真命题的是(),(A)pq.(B)pq.,(C)(p)(q). ( D)(p)q.,【解析】p为真命题,q为假命题,故pq为真命题.,【答案】A,命题量词与逻辑联结词,2.给定下列四个命题:,若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;,若一个
4、平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;,垂直于同一直线的两条直线相互平行;,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的,命题量词与逻辑联结词,直线与另一个平面也不垂直.,其中为真命题的是(),(A)和.(B)和.,(C)和.(D)和.,【解析】当两直线平行时,两个平面不一定平行,错;正确;垂直同一直线的两直线可相交也可异面,错;与交线不垂直,即不垂直平面内所有直线,即不垂直平面,正确.,【答案】D,命题量词与逻辑联结词,3.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x2)0”用符号“”写成特称命题为 .,【答案】x0R且x00,命题量词与逻辑联结词,题型1对“或”“且”“非
5、”的理解,(1)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直;,例1写出下列各组命题构成的“pq”“pq” “p”形式的复合命题,并判断这些复合命题的真假.,命题量词与逻辑联结词,(2)p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同;q:方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.,【分析】利用“或”“且”“非”把两个命题联结成新命,题,再根据命题p和命题q的真假,判断复合命题的真假.,【解析】(1)pq:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.,pq:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题.,p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题.,命题量词与逻辑联结词,pq:方程x2+x-1=
6、0的两实根符号相同且绝对值相等.假命题.,p:方程x2+x-1=0的两实根符号不相同.真命题.,【点评】由两个简单命题构成复合命题时,要注意语言文字的简化与综合.判断复合命题的真假时,要记准判断法则.,(2)pq:方程x2+x-1=0的两实根符号相同或绝对值相等.假命题.,命题量词与逻辑联结词,变式训练1(1)命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是(),(A)(p)q.(B)pq.,(C)(p)(q). (D)(p)(q).,(2)已知命题p:x0R,使tan x0=1;命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2.下列结论:命题“pq”是真命题;命题“
7、p(q)”是假命题;命题“(p)q”是真命题;命题,命题量词与逻辑联结词,“(p)(q)”是假命题.正确的是(),(A).(B).,(C).(D).,【解析】(1)p为真命题,q为假命题,故(p)(q)为真命题.,(2)命题p:x0R,使tan x0=1为真命题,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2也为真命题,命题“pq”是真命题;命题“p(q)”是假命题;命题“(p)q”是真命题;,命题“(p)(q)”是假命题,故应选D.,【答案】(1)D(2)D,命题量词与逻辑联结词,题型2全(特)称命题及真假判断,(1)有一个实数0,sin20+cos201;,(2)任何一条直线都存在斜率;,(3
8、)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解;,(4)存在实数x0,使得 =2.,例2判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符 号表示,并判断其真假.,命题量词与逻辑联结词,【分析】首先明确命题中的量词,再确定命题的名称.,【解析】(1)是一个特称命题,用符号表示为:0R,sin20+cos201.是一个假命题.,(2)是一个全称命题,用符号表示为:直线l,l存在斜率.是一个假命题.,(3)是一个全称命题,用符号表示为:a,bR,方程ax+b=0恰有唯一解.是一个假命题.,命题量词与逻辑联结词,(4)是一个特称命题,用符号表示为:x0R, =2.是一 个假命题.,【点评】全(特)称命题的判别
9、,关键是找出命题中的全称量词和存在量词,要注意自然语言中的一些语句与全称量词和存在量词的对应关系.,命题量词与逻辑联结词,变式训练2判断下列命题的真假:,(1)每个指数函数都是单调函数;,(2)任何实数都有算术平方根;,(3)任意xx|x是无理数,x2是无理数;,(4)存在x0R,0.,【解析】(1)指数函数的形式为y=ax(其中a0且a1),定义域为x|xR,对每一个符合题意的a,函数y=ax都是单调的,当a,命题量词与逻辑联结词,1时,函数y=ax在R上为增函数;当0a1时,函数y=ax在R上为减函数,所以全称命题“每个指数函数都是单调函数”是真命题.,(2)-1是实数,但x2= -1无实
10、数解,所以全称命题“任何实数都有算术平方根”是假命题.,(3)是无理数,但()2=3是有理数,所以全称命题“任意x x|x是无理数,x2是无理数”是假命题.,(4)由于-1R,当x=-1时,x30,所以特称命题“存在x0R, 0”是真命题.,命题量词与逻辑联结词,(1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根;,(2)p:有的三角形的三条边相等;,(3)p:菱形的对角线互相垂直;,(4)p:x0N,使得-2x0+10.,【分析】找出每个命题中所含的量词,明确命题是全称命题还是特称命题,再对命题进行否定并判断真假.,题型3全(特)称命题的否定,例3写出下列命题的否定并判断其真假:,命
11、题量词与逻辑联结词,【解析】(1)p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.因为该方程的判别式=m2+40恒成立,故p为假命题.,(2)p:所有的三角形的三条边不全相等.显然p为假命题.,(3)p:有的菱形对角线不垂直.显然p为假命题.,(4)p:xN,x2-2x+10.显然当x=1时,x2-2x+10不成立,故p是假命题.,命题量词与逻辑联结词,【点评】常见词语的否定形式有:,命题量词与逻辑联结词,变式训练3写出下列命题的否定形式:,(1)有些三角形的三个内角都等于60;,(2)能够被3整除的整数,能够被6整除;,(3)0R,使得函数y=sin(2x+0)是偶函数;,(4)x,
12、yR,|x+1|+|y-1|0.,【解析】(1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60.,命题量词与逻辑联结词,(2)存在一个能够被3整除的整数,不能够被6整除.,(3)R,函数y=sin(2x+)都不是偶函数.,(4)x0,y0R,|x0+1|+|y0-1|0.,命题量词与逻辑联结词,题型4与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题,【分析】先求出对xR,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再按要求分情况讨论出所求m的取值范围.,【解析】sin x+cos x=sin(x+)- ,当r(x)是真命题 时,m- .,例4已知r(x):sin x+cos xm,s(x):x2+mx+10.如
13、果对 xR,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围.,命题量词与逻辑联结词,又对xR,s(x)为真命题,即x2+mx+10恒成立,有=m2-40, -2m2,当r(x)为真,s(x)为假时,m-,同时要满足m-2或m2,即m-2;,当r(x)为假,s(x)为真时,m- 且-2m2,即-m2.,综上可得,实数m的取值范围是m-2或-m2.,命题量词与逻辑联结词,【点评】解决与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题时,通常先根据题目条件,推出每一个命题的真假,然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况,确定参数的取值范围.,命题量词与逻辑联结词,变
14、式训练4已知p:x1,2,x2-a0,q:x0R,+2ax0+2-a =0,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.,【解析】由“p且q” 是真命题,则p为真命题,q也为真命题.,若p为真命题,ax2恒成立,x1,2,a1.,若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,则=4a2 -4(2-a)0, 即a1或a-2,又p,q同时为真,实数a的取值范围为a-2或a=1.,命题量词与逻辑联结词,1.逻辑联结词“或”“且” “非”可以分别从集合的角度来理解:,(1)对于逻辑联结词“且”,可以结合集合中的“交集”来理解, AB=x|xA且xB中的“且”,是指“xA”与“xB”都要满足的意思,
15、即x既属于A,同时又属于B.,(2)对于逻辑联结词“或”,可以结合集合中的“并集”来理解, AB=x|xA或xB中的“或”,是指至少满足“xA,命题量词与逻辑联结词,”与“xB”中的一个.因此逻辑联结词“或”的含义与并集中“或”的含义基本一致.,(3)对于逻辑联结词“非”,可以结合集合中的“补集”来理解,“非”就是否定的意思.,2.判断由逻辑联结词构成的“pq”“pq”“ p”形式的命题的真假时,可以先确定命题的构成形式,再判断命题p、q的真假,最后根据规律确定复合命题的真假.,命题量词与逻辑联结词,【错解】若ab,则.,【剖析】实质上,p为全称命题,否定为特称命题.,【正解】“非p”:存在a
16、b,使.,例p:若ab,则,写出“非p”.,命题量词与逻辑联结词,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),1.(基础再现)如果命题“p或q”是真命题,p为真命题,则(),(A)命题q一定是真命题.,(B)命题q一定是假命题.,命题量词与逻辑联结词,(C)p且q一定是真命题.,(D)命题p且q一定是真命题.,【解析】由题知p且q是假命题,因为p为真命题,故q一定是假,命题.,【答案】B,命题量词与逻辑联结词,2.(基础再现)命题p:x=是y=|sin x|的一条对称轴,q:2是y=|sin x|的最小正周期,下列命题:p或q,p且q,非p,非q,其中真命题的个数为(),(A)0.(B)1.(C
17、)2.(D)3.,【解析】依题意知p真q假,所以为真命题,真命题的个数为2.,【答案】C,命题量词与逻辑联结词,3.(视角拓展)有四个关于三角函数的命题:,p1:x0R,sin2+cos2=;,p2:x0、y0R,sin(x0-y0)=sin x0-sin y0;,p3:x0, =sin x;,p4:sin x=cos yx+y=.,其中假命题是(),命题量词与逻辑联结词,(A)p1,p4.(B)p2,p4.,(C)p1,p3.(D)p2,p3.,【解析】p1:x0R,sin2+cos2=是假命题;p2是真命题,如 x0=y0=0时成立;p3是真命题,x0,sin x0, = =|sin x|
18、=sin x;p4是假命题,如x=,y=2时,sin x=cos y,但 x+y.,【答案】A,命题量词与逻辑联结词,4.(视角拓展)已知命题p:x0R,sin x0+cos x0=2,命题q:x|x2-x-1=0有三个子集,下列结论:命题“pq”是真命题;命题“p(q)”是假命题;命题“(p)(q)”是真命题.其中正确的个数是(),(A)3.(B)2.(C)1.(D)0.,【解析】sin x+cos x2,命题p为真命题,p为假命 题.,命题量词与逻辑联结词,方程x2-x-1=0有两个不等根,x|x2-x-1=0有四个子集,命题q为假命题,q为真命题.由此可判断“pq”是真命题不正确,“p(
19、q)”是假命题不正确,“(p)(q)”是真命题正确,故选C.,【答案】C,命题量词与逻辑联结词,5.(高度提升)下列说法错误的是(),(A)命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是“若x3,则x2-4x+30”.,(B)“x1”是“|x|0”的充分不必要条件.,(C)若p且q为假命题,则p、q均为假命题.,(D)命题p:“x0R,使得+x0+10”,则p:“xR,均有 x2+x+10”.,命题量词与逻辑联结词,【解析】若p且q为假命题,则p与q的真假包括两种情况:其中可以有一个是真命题,或者p与q都是假命题.,【答案】C,命题量词与逻辑联结词,6.(基础再现)命题“任意xZ,x4的个
20、位数字不等于3”的否定是.,【解析】全称命题的否定为特殊命题.,【答案】存在x0Z,的个位数字等于3,二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),命题量词与逻辑联结词,7.(基础再现)若命题p:关于x的不等式ax+b0的解集是x|x-,命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)0的解集是x|axb,则 在命题“p且q”“p或q”“非p”“非q”中,是真命题的有 .,【解析】依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p且q”为假、“p或q”为假、“非p”为真、“非q”为真.,【答案】非p、非q,命题量词与逻辑联结词,8.(视角拓展)已知命题p:xR,ax2+2x+30,如果命题p是真命题,那么实数a的
21、取值范围是 .,【解析】因为命题p是真命题,所以命题p是假命题,而当命题p是真命题时,不等式ax2+2x+30对一切xR恒成立,这时应有 解得a,因此当命题p是假命题,即命题p 是真命题时,实数a的取值范围是a.,【答案】(-,命题量词与逻辑联结词,9.(能力综合)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS,都有x+y,x-y,xyS,则称S为封闭集.下列命题:,集合S=a+bi|a,b为整数,i为虚数单位为封闭集;,若S为封闭集,则一定有0S;,封闭集一定是无限集;,若S为封闭集,则满足STC的任意集合T也是封闭集.,其中真命题是 .(写出所有真命题的序号),命题量词与逻辑联结词,【解析】直
22、接验证可知正确;,当S为封闭集时,因为x-yS,取x=y,得0S,正确;,对于集合S=0,显然满足已知条件,但S是有限集,错误;,取S=0,T=0,1,满足STC,但由于0-1=-1T,故T不是封闭集,错误.,【答案】,命题量词与逻辑联结词,10.(基础再现)已知命题p:|x2-x|6,q:x/ Z,且“p且q”与“非p”同时为假命题,求x值.,【解析】p: -2x3.,又“p且q”与“非p”同时为假,p真q假,即-2x3且xZ,x=-2,-1,0,1,2,3.,三、解答题(本大题共3小题,每小题14分),命题量词与逻辑联结词,11.(视角拓展)已知命题p:方程x2-2x+1=0的两个根都为实
23、 数;命题q:方程x2-2x+1=0的两个根不相等.,写出命题“p或q”、命题“p且q”、命题“非p”形式的复合命题,并指出其真假.,【解析】p或q:方程x2-2x+1=0的两个根都为实数,或两根 不相等,真;,p且q:方程x2-2x+1=0的两个根为实数且不相等,真;,非p:方程x2-2x+1=0的两个根不都为实数,假.,命题量词与逻辑联结词,12.(能力综合)已知c0,设命题p:函数y=cx为减函数.命题q:当x,2时,函数f(x)=x+恒成立.如果“p或q”为真命题, “p且q”为假命题,求c的取值范围.,【解析】由命题p为真知,0c1;,由命题q为真知,2x+,要使此式恒成立,需或 c0,所以c.,若p或q为真命题,p且q为假命题,则p、q必一真一假,命题量词与逻辑联结词,当p真q假时,c的取值范围是0c;,当p假q真时,c的取值范围是c1.,综上可知,c的取值范围是c|0c或c1.,命题量词与逻辑联结词,