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1、.,1,1.从一批含有10 件正品及3 件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。以下情况下，求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 （1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中；,解：设事件 , i =1,2, 表示第i 次抽到的产品为正品，则 相互独立，,.,2,也就是说，对情况（1），,对情况（2），由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为1，2，3，4，,.,3,X 的分布律为：,.,4,2.掷一枚均匀的硬币4 次，设随机变量X 表示出现国徽的次数，求X 的分布函数。,解 一枚均匀硬币在
2、每次抛掷中出现国徽的概率为 0.5 ，因此，X 服从二项分布 n=4, p=0.5, 即,因此，X 的分布函数为：,.,5,.,6,3某试验的成功概率为0.75，失败概率0.25，若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X 的分布律。,解： 设事件 表示第i 次试验成功，则 ，且 相互独立。,随机变量X 取k 意味着前k -1次试验未成功，但第k 次试验成功，因此有,.,7,我们可以得到,.,8,4. 设某药品的有效期X 以天计，其概率密度为,求：(1) X 的分布函数； (2) 至少有200 天有效期的概率。,.,9,.,10,设随机变量X 的分布函数为F(x) = A +Bar
3、ctan x, x 为实数，求(1) 常数A, B ； (2) P( X 1)； (3) 随机变量X 的密度函数。,解： (1) 要使F(x) 成为随机变量X 的分布函数， 必须满足,即,.,11,计算后得,解得,.,12,.,13,6. 箱子中装有10 件产品，其中2 件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2 次，定义随机变量X、Y 如下：,分别就下面两种情况，求出二维随机变量(X ,Y )的联合分布律和边缘分布律： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。,.,14,解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为0,1， Y 可能取的值也为0,1，,也就是，,.,15,相应的边缘分布律：,（2）在无
4、放回情形下，X、Y 可能取的值也为 0 或 1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为,.,16,边缘分布为：,即,.,17,.,18,.,19,(2),.,20,8.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为,（）求U = max(X,Y )的分布律； （）求V = min(X ,Y )的分布律。,.,21,解 （）随机变量U 可能取到的值为，中的一个，,.,22,（）随机变量V 可能取到的值为，中的一个，,同理：,综上有,.,23,9. 设(X ,Y )服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线x + y +1 = 0 所围成的区域，求（1） E(X )；（2） E(- 3X + 2Y )；（3） E(XY )的值。,解 先画出A 区域的图,联合密度函数为,.,24,边缘密度函数为,所以,.,25,.,26,10. 设 D(X )= 25, D(Y)= 36, , 求（1）D(X + Y )；（2）D(X - Y ),.,27,11. 设随机变量X ,Y 相互独立， X N(1,1) ，Y N(-2,1) ，求E(2X + Y),D(2X + Y),.,28,12. 设X 的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计 的值。,.,29,.,30,.,31, 样本均值,常用统计量:, 样本方差, 样本标准差, 样本k阶原点矩, 样本k阶中心矩,