四边形复习提纲(经典题型解析)汇总.docx

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1、四边形复习提纲 【知识要点】 1四边形的内角和等于 1800, n边形的内角和等于（n-2） 1800，任意多边形 的外角和等于 3600， n 边形的对角线条数为 n（n-3）/2.2、平行四边形 性质：（1）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分； （ 2）平行四边形是中心对称图形 .判定：（ 1 ）定义判定； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .3、矩形性质：（ 1 ）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角 线

2、相等（推论：直角三角斜边上的中线等于斜边的一半） ； （ 4）既是中心对 称图形，又是轴对称图形； （5）其面积等于两条邻边的乘积 .判定：（ 1 ）定义判定； （2）有三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形 .4、菱形性质：（ 1 ）具有平行四边形的所有性质； （2）四条边相等；（3）对角线互相垂 直平分，且每一条对角线平分一组对角； （4）既是中心对称图形，又是轴对称 图形；（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半（适用于所有对角线互相垂直 的四边形） .判定：（ 1 ）定义判定；（ 2）四条边相等的四边形； （3）对角线互相垂直的平行 四边形 .5、正方形性质：具有矩形、菱形的

3、一切性质 .判定：（ 1 ）定义判定； （2）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形；（3）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形 .6、等腰梯形性质：（1）两腰相等； （2）两条对角线相等； （3）同一底上的两个底角相 等； （ 4）是轴对称图形 .判定：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形 .7、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在其他直线上截得的线段也相等 .推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。 &两个中位线定理三角形的中位线定理：三角

4、形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半 （推论: 梯形面积等于中位线长与高的乘积）9、中心对称定义：强调必须旋转 1 8 0。重合。 定理：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中 心平分（存在逆定理）10、各种四边形之间的相互关系。【方法总结】与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题，一般运用公式列方程解决。2、 分清各种四边形的联系与区别，明白定义、性质与判定方法的正确使用 （可 以根据条件与结论的前后顺序确定）。3、对角线是研究四边形的常用辅助线，它既可以

5、把四边形转化为三角形，又 可以充分体现四边形的所有特征。4、梯形中常添加辅助线，将其转化为平行四边形或者三角形：（1）过较短底的顶点作梯形的高；（2）过一个顶点作腰的平行线；（3）过一个顶点作一条对角线的平行线；（4）延长两腰相交；（5）连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交.梯形常用的辅助线如下图：EADADBCEBCEADFBCE5、 遇到有关中点的问题，常考虑构造中位线，或者使用“倍长中线法”.6、解决折叠问题，抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一 关键。7、“双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那

6、么这个轴对称图形同时也是中心对称图形， 垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形.8求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规范图形，转化的方 法主要有“割”、“补”两种.9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不 存在逆定理。【典型例题剖析】【例1】若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是 .剖析：设此凸多边形的边数为 n根据多边形的内角和公式，以及“外角和等 于3600”的推论，列方程，得（n - 2） 1800 =360 0.解得 n=4.【例2】下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（）剖析：由“

7、方法总结”第 7条，易知选A.【例3】下列命题中，真命题是（）A.有两边相等的平行四边形是菱形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形剖析：由各类平行四边形的判定方法可知，A B、D都不对，它们分别缺少了“两邻边” “平行四边形”、“对角线互相平分”等条件；C中四边形的四个角 相等，均为900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选C.【例4】如图，口 ABCD勺周长为16cm, AC BD相交于点 O, OEL AC交AD于E, 则厶DCE的周长为()A . 4 cm B . 6cm C . 8cm D . 10c

8、m剖析：由题意知，AD+CD=8cm ABCD中, AC BD互相平分，则 OE为AC的垂 直平分线，所以EC=EA因此， DCE的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8故选 C.【例5】如图，在口 ABCD中, O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AC BD分别交于E、F,求证：四边形AFCE是菱形.剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用 / ABCD中, AE/ CF./ 仁/2. 又/ AOE玄 COF AO=CO.方形，对角线AC AOEA COF 二 EO=FO.四边形AFCE是平行四边形. 又 EFL AC 口 AFCE是菱形.【例6】如图，已

9、知四边形 ABCD是正BD相交于O,四边形AEFC是菱形，EHL AC垂足为H.求证:EH 丄 FC.2剖析：容易证得，四边形 HOBE是矩形，贝U EH = BO = 丁 BD = 丁 AC = 2 FC.【例7】探究规律：如图1,已知直线m / n , A B为直线n上的两点，C、P为 直线m上的两点。(1) 请写出图中面积相等的各对三角形：。（2）如果 A B C为三个定点，点 P在m上移动，那么无论 P点移动到任何位置总有： 与厶ABC的面积相等；理由是：如图2,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开 垦荒地，现已变成如图 3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的

10、分界小路（图 3中折线CDE还保留着，张大爷想过 E点修一条直路，直路修好后，要保持 直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识， 按张大爷的要求设计出修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积（1）写出设计方案，并在图 3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由。剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并用它解决实际问题， 较好地体现了新时期的教学理念 “创新”与“应用”两大主旋律。（） ABCffi ABP, AOCH BOP, CPAffiA CPB分别面积相等。（2）因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有 ABP与 ABC同底等高，因此，它们

11、的面积总相等.解决问题：（1）画法如图.连结EC,过点D作DF/EC,交CM于点F,连结EF, EF即为所求直路的位置 （2）设EF交CD于点H,由上面得到的结论，可知：Sa ecf=S ecd S hc=Sa edh S五边形ABCD=S五边形ABCFES五边形EDCM= S四边形EFMN【例8】采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形 EFNM图中EF,FN,EM为折痕），使得点A与B、C与D分别重合于一点请问，线段EF的 位置如何确定；通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式（至少三个）？证明你的所有结论I -a 4提示：EF为梯形ABCD的中位线，可以看出梯形的中位线定理、

12、面积公式、等 腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。基础题型1如图在平行四边形 ABCD中，A：.b=5:3，求这个平行四边形各内角的度数解：四边形ABCD是平行四边形AD/ BC, A . 180由于 4A：ZB=5:3故设 A =5x，则 B =3x即 5x 3x=180解得 x=22.5因此 NA=5X22.5=112.5 , NB =3汉22.567.5二平行四边形各内角度数分别是112.5” , 67./ , 112.5。, 67.5。2.已知平行四边形 ABCD的周长为38 cm , AC , BD相交于O,且 俪 的周长比BOC的周长小于3皿，如图，求平行四边形ABCD各边的

13、长解：四边形ABCD为平行四边形二0 A O AB=CD , BC=ADAOB 的周长=OA OB ABBOC 的周长=OC OB BC且AOB的周长比 BOC的周长小于3 cm(OC OB BC) _(OA - OB - BC) =3.B C _ A3 B又平行四边形ABCD的周长为38 cm.BC AB =19-AB =8 cm BC =11 cmp ?AE_BD 于 E , CF_BD 于 FCD =8 cm , AD =11 cm3 .如图，已知：在平行四边形ABCD中，BD是对角线，求证：AE-CF证明：方法一：四边形ABCD是平行四边形AB/CD , ACD./ABE ZCDF一

14、AE _BD , CF _BDZA E B 匕 CABE 三CDF (AAS).AE 二CFBA方法二：连接AC ,交BD于O四边形ABCD是平行四边形 OA=OC，又 AE _BD , CF _BD:、ZAEO =NCFO，而 ZAOE =NCOF AEO= CFO ( AAS). AE =CF4 .如图所示，在平行四边形 ABCD中，E , F分别是AC CE=AF ,则BF与DE具有怎么样的位置关系？试说明理由,CA延长线上的点，且D解：BF II DE证明：方法一：在平行四边形ABCD中，AB/CD , AB二CD ,ZBAC ZDCAT ZBAC +/BAF =180 NACD +/

15、DCE =180 ZBAF ZDCE又 一 AF =CE. . AFB 三 CED (SAS)方法二.连接BD，交AC于O在平行四边形 ABCD中，AO =CO , BO = DO.AF 二CEOF =0E.FOB = EOD . BOF 三. DOE ( SAS)ZF ZEBF II DE方法三.连接BD，交AC于O，连接DF , BE 由方法二知. OF =OE , OB =OD-四边形BEDF为平行四边形 BF II DE5.如图，已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，AC=38cm , BD=24cm , AD=14cm , 那么OBC的周长为解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边

16、相等的性质可知1 1 1 1OB 二一 BD =疋24=12OC =一 AC =一 汉38=19BC =AD =14 cm22cm22cm. QBC 的周长为 BC OB OC=14 12 19 =45 cm6 .如图平行四边形ABCD中，EF/ AB ,平行四边形的个数共有（)C. 9GH/ AD , EF与GH交于O，则该图形中的D. 10由题意可知图中的平行四边形分别是:DEOH , EAGO , HOFC , OGBF , DAGH , HGBC ,DEFC， EABC， DABC所以共有 9个7 .如图，平行四边形ABCD中，AF平分.DAB交CD于N，交BC的延长线于F ,DE _

17、AF，交AB于M，交CB延长线于E，垂足为O，试证明： BE =CFD证明：四边形ABCD为平行四边形:、AD / BC , AB/ CD , AB =CD二 NDAF =ZF，三ADE =NE，也EDC =NAMDDE _AF , AOM = AOD =90AF 平分.DAB , . DAF =/BAF.OA=OA . AOM = . AOD ( ASA)ZADM ZAMD，乙BAF ZF ,EDC E.AB 二BF , CD =CE.BF =CE BE =CF8 .如图，已知：D , E , F分别在ABC的各边上，DE/ AF , DE二AF ,延长FD到G , 使FG =2FD .求证

18、：AG与DE互相平分.AAC证明：连接AD , EGDE/ AF , DE 二AF四边形AEDF是平行四边形.DF =AE , 又一 FG =2FDDF / AE1DG 二DFFG二 2.DG =AE，而 DF / AE-四边形aegd为平行四边形-AG与DE互相平分EF / AB试说明:9.如图，已知D是上ABC的边AB的中点，E是AC上的一点DF / BE , AE与DF互相平分FF证明：连接AF， DEEF 二 BDDF / BE , EF / AB四边形BDFE为平行四边形，D是AB中点 BD =AD-AD=EF, AD / EF .四边形ADEF为平行四边形-AE与DF互相平分=DN

19、 , ME _ BD ,10 .如图，点M , N分别在平行四边形 ABCD的边BC , AD上，且BM NFBD，垂足分别为E , F，求证：MN与EF互相平分证明：连接EN , MF四边形ABCD是平行四边形二 BC/ AD，二 NCBD =ZADB丫 MEF =/NFE =90 ，厶MEB =ZNFD =90*.ME/ NF.BM =DN. BME 二. DNF (AAS).ME =NF-四边形EMFN是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).MN与EF互相平分11.如图，AF与BE互相平分，交点为M，EC与DF互相平分，交点为N，那么， 四边形ABCD是平行四边形么？你是

20、怎么判定的？解：四边形ABCD是平行四边形证明：连接 AE， BF， EF， DE， CF AF与BE互相平分四边形ABFE是平行四边形 EF / AD , EF =ADEC与DF互相平分四边形BCEF是平行四边形EF/ BC, EFTC二 AD=BC , AD / BC四边形ABCD是平行四边形12.如图，已知 BE, CF是 ABC的高，D是BC的中点.求证：DE二DF证明：BE，CF是ABC的高， BFC， BEC均为直角三角形D是BC的中点 DF是Rt BFC斜边上的中线，DE是Rt BEC斜边上的中线1 1DFBCDEBC2， 2:、DE =DF13.如图，先将矩形纸片ABCD对折一

21、次折痕为EF ,展开后又将纸片折叠使点A落在EF上，此时折痕为BM，求 NBC度数的大小AEDFCMDFCAE =BE 二DF =FC JcD JaB JbN2 2 2提示：根据题意得过点N作NG_BC，垂足为G1则N =2BN， . NBC =30 （直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，反 过来也成立）14.过矩形ABCD对角线AC的中点0作EF_AC分别交AB，DC于E, F，点G为AE的中 上卄。”丁OGDC点，若OGPO，求证：3证明：连接CE四边形ABCD是矩形OA=OCEF _AC EF是线段AC的垂直平分线.EA=EC1BE = EC丁 ZAOG =30 二 ACB =

22、60* ,4CE =30二 ZBCE =30 二2-G是AE中点1 1OG =AG =GE AE CE二 2 2.O G A 二G G E1O G D C二 3515.在矩形ABCD , AB=6, BC=8，将矩形折叠，使点 C与点A重合，折痕为EF ,在 展开，求折痕EF的长解：；AB =6根据题意有BC=8.由勾股定理可得 AC =10AF =CF，设 AF =CF =x , BF =8-x25由勾股定理FC 25二4小小2575Safce =CF XAB =一汇6 =一 /42 ,2 2AB BF =AF,即 62+(8x)2=x2Safce =-AC EF215EF =二 216 .

23、已知:的度数（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分 BAD， AOD =120，求AEODC答案：提示 ABE为等腰直角三角形，OAB为等边三角形，8BE 为等腰三角形NOBE=30，厶OEB=75，厶OEA =75”-45律30=17.如图，MN为过Rt ABC的直角顶点A的直线，且BD _ MN于D , CE _ MN于点E ,AB .AC , F为BC的中点，求证:DF =EF证明：连接AFABC为直角三角形，F为斜边BC的中点BF 二AF =CF.BDA =/AEC =90ZBAC =90 岀 二 NBAM +NNAC =9

24、0 s BD 丄MN , CE 丄MN ZBAM +ZDBA =90 , ZDBZEAC，又AB =AC 3BA“EAC ( AAS ) DB =AEAB =AC，厶BAC =90 s, F 为 BC 的中点ZABC MFAC =45二 DBA+NABC+NCAF +NCAN，即 NDBF =NFAE又-DB =AE， AF =BF. . DBF 三.EAF （ SAS） . DF =EF总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位 线18 .如图E是菱形ABCD边AD的中点，EF _ AC于H ,交CB的延长线于F ,交AB于G , 求证：AB与EF互相平分eg=fg

25、 , AG=GB即AB与EF互相平分证明：四边形abcd是菱形二 NBAC =/DAC冒 AC 丄 EG , AH =AH二 MHMHG ( ASA)二 AE = AG1AE AD2AG 二丄 AB2AD/ BCZBGF ZAGEZF = a eAGE a BGF ( AAS )方法二：连接AF , BEI AE =AD AGAB由 2,2 得 /AGE=/AEG=/BGF =NBFG，贝AE = AG = BG=BF.AE/ BF且AE二BF .四边形AFBE为平行四边形 .AB与EF互相平分19 .如图，在 ABC中，.ACB-90 , AD是.A的平分线，交 BC于点D , CH是AB边

26、上 的高，交AD于F , DE_AB于E .求证：四边形CDEF是菱形证明： AD是.A的平分线.CAD VEADT ZACB=90 , CH 丄 AB二 NCAD+NCDA=90, NFAH +ZAFH =90ZCDA ZAFH,/AFH ZCFD.CFD = CDF . CF =CDAD 是.A 的平分线，CD AC, DE_ AB.CD =DECF =DECH _AB , DE _AB.CH / DE-四边形CFED是平行四边形CD =CF.平行四边形CFED是菱形20 .菱形ABCD中， DAB =120，如果它的一条对角线长为12 cm，求菱形ABCD的边长解：DD若对角线AC M2

27、 cm ,如图；四边形ABCD为菱形，且 DAB =120 . DAC - BAC=60则ADC为等边三角形菱形ABCD的边长为12 cm若对角线BD=12cm ,如图；四边形ABCD为菱形，且 DAB =120 . . DAC - BAC=60则厶ADC为等边三角形t OD =OB OD =OB =6 cmOA = x , AD =2x ,2 2 2由勾股定理可得（2x）=x 6，解得x=2.3 , AD =4.3 cm综上所述：菱形ABCD的边长为12 cm或4 3 cm22 .如图，四边形 ABCD是正方形，E是CD的中点，F是BC上的一点，且BF =3FC 求证：AE _ EF证明：连

28、接AF ,设FC =k，则BC =4k：四边形 ABCD 是正方形 二 NB =NC=ND=90” , AB =BC =CD = AD =4k .E 为 CD 中点 .DE =EC =2k在 Rt ABF 中， AF2 =AB2 BF2 =25在 RUECF 中，EF2 =EC2 +FC2 =5k2在 RUADE 中，AE2 =AD2 +DE2 =20k2/AEF =90. AE _ EF（到初三的时候此题还有额外的证明方法） 23 .如图，过正方形贝y AE2 +EF2 =AF2，仁MEF是直角三角形ABCD对角线BD上一点P，作PE_BC于E，作PF 一 CD于F，连AP 二 EF , A

29、P_EF证明：连接PC ,延长AP交EF于点H 四边形ABCD是正方形ABP-cbp=45 , AB-BCBP 二BP：ABP= CBP （ SAS）二 AP =CP , NBAP =NBCP”PE 丄 BC , PF 丄CD , BC 丄 CD四边形pecf为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）.PC=EF. P A E丫 PF =EC，厶EPF =ZPEC =90。. PEF 三. EPC ( HL )ZPFE ZPCE . PFE = BAPAB_BC , PE_BCAB/ PEZBAP ZEPH.ZPFE MPEH =90 ：ZEPH PEH =90. AP _ EH24 .如图正方形

30、ABCD中， 求证：DM =MNM是AB的中点，MNDM，BN 平分 NCBE，交 MN 于 N证明：取线段AD的中点F，连接FM 四边形ABCD为正方形.AB =AD， A = . ABC =90F为AD中点，M为AB中点.DF =AF =AM =MBZAFM ZAMF =45：ZDFM =135.BN 平分 ZCBEZCBN WEBN =45 MBN =135. DFM MBN.DM _MN/DMA NMB =90. DMB ADM =90. ADM “MBN在DMF与MNB中 MDF = NMBDF 二 MB1DFMMBND M F : MASA)DM =MN思考：若点M是线段AB上一个

31、动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么?请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了25 .如图，在梯形ABCD中，AD/ BC , AD ： BC , E , F分别是AD , BC的中点，且EF _ BC , 求证：梯形ABCD为等腰梯形.AB 二CD =34 cm证明：过E分别作AB , DC的平行线交BC于M , N，易知四边形ABME和四边形DCNE 都是平行四边形.AE =BM , DE =NC , AB =EM , DC =EN E , F分别是AD , BC的中点.AE =DE , BF =CF.BM =CN . BF -BM =CF

32、-NC .MF _NF.EF _ BC . EM =EN. EF是线段MN的垂直平分线 .ME 二NE . AB二CD故梯形ABCD是等腰梯形26 .已知等腰梯形 ABCD中，AB=CD , B =60 , AD=15cm , BC=49cm，求它的腰长解：方法一：过点 A作AE/DC ,交BC于点E：AD/ BC二四边形AECD为平行四边形:.AD =EC , DC =AE-AB二DC . AE=ABB =60.四边形 ABCD为等边三角形二 BE = AB v AD =15 , BC =49 二 BE =BC CE =BC AD =49 15 = 34方法二过点A作AM _BC ,垂足为M

33、，过点D作DN _BC , 四边形ABCD为等腰梯形垂足为N二 AB =CD，/B =NC.ZAMB DNC =90. ABMy DCN ( AAS )BM =CN.AMN = MND = . ADN =90-四边形AMND为矩形；BC =49 ,AD =15BM 二CN=-(BC AD)=丄(49 -15) =172 2ZBAM =30. AB=2BMZB =6027 .如图，在 ABC中，AB AC ,=34 cmAD 平分 BAC ,CD_AD，点E是BC的中点求证：DE / AB DEBW(AB _AC)证明：延长CD交AB于点FT AD 丄CD二 ZADC =NADF =90*AD

34、平分 ZBACZDAC ZDAFAD =ADAD ADF ( ASA) ( AD又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”)AC =AF , FD =DC-点E是BC的中点DE是三角形CBF的中位线1DE =一 BF-DE/BF ,2一 AB-AF =BF.BF=AB_AC1DE(AB -AC)228 .如图，在梯形 ABCD中，DC/ AB , B DC AB , E是AD中点 求证：.CEB =90证明：取BC中点F，连接EF由梯形中位线性质可知EF / DC / AB 且 EFAB)BC =DC AB 2EF=BC EF=CF=FB . CEB =90与平行四边形有关的常用辅助线作法

35、归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE = CF , 请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证 明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结BFBF = DE证明：连结DB,DF ,设DB,AC交于点O四边形 ABCD为平行四边形 AO = OC, DO = OBI AE 二 FCAO-AE=OC-FC 即 OE = OF四边形EBFD为平行四边形 BF二DEDFOE图2第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线A

36、C和BD相交于点 O,如果AC =12 ,BD =10 , AB二m,那么m的取值范围是（）Al m ： 11 B 2 ： m ： 22 C 10 ： m ： 12 D 5 ： m 6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB二CE, DC二BE ,则有四边形CDBE为平 行四边形,在. ACE 中, AC =12, CE 二 BD =10, AE = 2AB = 2m 12 一10 ： 2m 12 10，即卩 2 2m ： 22 解得 1 ：:11故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三 角形问题。例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD

37、2 二 AB2 BC2 CD2 DA2证明：过 代D分别作 AE _ BC于点E , DF _ BC的延长线于点 FAC2 = AE2 CE2 =AB2 BE2 (BC BE)2 =AB2 BC2 -2BE BCBD2 =DF 2 BF2 =(CD2 CF2) (BC CF)2 =CD2 BC2 2BC CF贝廿 AC2 BD2 = AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF -2BC BE四边形 ABCD为平行四边形 AB II CD且AB二CD , AD二BC ABC 二 DCF /AEB ZDFC =90 ：ABE 二 DCF BE =CF AC2 BD2 = AB2 BC2 CD2

38、DA2图3FA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图 4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE 与CF交于 P点，求证： AP = AB证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形 AB II CD 且 AB 二 CD , CD 二 AD , . BAD BCD D =90-1 =/K又 D = DAK 二 90, DF = AF CDF 坐 KAF AK 二 CD 二 AB1 1. CE = CD DF = AD CE = DF2 2 BCD D =900 BCE 坐 CDF1 =/2 13 =90。 23 =90。 CP

39、B =90。,贝KPB =90。 AP 二 AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该 图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图 6,在平行四边形 ABCD中，AN二BN , BE JbC , NE3交BD于F，求BF : BD 解：连结AC交BD于点O,连结ON四边形ABCD为平行四边形-AN 二BN1/ BE BC3 BF 2. BO 5 ON II 丄 BC 且 ON2 BE :0N =2:3BDOA =OC,OB =0D 二 2 BE BFON 一 F0 BF 2 FO 一 3J BC2BF : BD =1:5综上所述，平行四边形中常添加辅助线是： 一边中点与顶点连线等， 这样可将平行四边形转化为三角形 矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。连对角线，平移对角线，延长或特殊三角形）、专业文档 考试资料学习资料教育试题方案设计