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1、1.7 函数x与x及其在数论中的应用,定义： 设x是实数，以x表示不超过x的最大整数，,称它为x的整数部分，称x = x x为x的小数部分.,一、函数x与x及其性质,函数 y=x 的图像.,此函数称为取整函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =Z.,定理1 对于x与x，有下列结论成立,定理2：,二、函数x与x的一个应用,定理3：在n!的标准分解式中质因数,例1 求 20！分解式中质因数2的个数。,定理3的证明：,下面以15!为例说明.,考虑15!含有质因数2的个数.,在2，3，15中，含有1个因子2的数有4个；,2，6，10，14.,含有2个因子2的数有2个；,4，12.,含有3
2、个因子2的数有1个；,8.,另一方面，能被2整除的有N1=4+2+1=7个；,能被4整除的有N2=2+1=3个；,能被8整除的有N3=1个；,例2 求12!的标准分解式。,解：12以内的质数有2，3，5，7，11.,其标准分解式中，各质因数的个数如下：,所以 12!的标准分解式为,定理4：,证明：由定理3，对于任意的质数p，整数n!，k! 与(n k)!的标准分解式中所含的p的指数分别是,利用定理1(4)可知,例4：厄米特(Hermite)恒等式,设x是正数，n是正整数，则,证明：,则,即,当0i n-r-1时，有,即,当 n-ri n-1时，有,此时有,从而,特别地，当n=2时，,习题P41 3,