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1、(参考)2021年高三数学一轮复习第八章立体几何第二节空间点直线平面之间的位置关系夯基提能（参考）2021年高三数学一轮复习第八章立体几何第二节空间点直线平面之间的位置关系夯基提能A组基础题组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.垂直2.下列命题中,真命题的个数为( )如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;两条直线可以确定一个平面;空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;若M,M,=l,则Ml.A.1B.2C.3D.43.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,
2、且ABC=BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )A.ABCDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.ABCD或AB与CD异面或AB与CD相交4.(2021广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交1 / 7C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成的角的余弦值为( )A. B. C.D.6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中
3、,既与AB共面又与CC1共面的棱有条.7.若平面,相交,在,内各取两点,则这四点都不在交线上,这四点能确定个平面.8.在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为.9.已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线;(2)求证:EG与FH相交.10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC的体积;(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.B组提升题组11.空间四边形两对角线的
4、长分别为6和8,所成的角为45,连接各边中点所得四边形的面积是( )A.6B.12C.12D.242 / 712.(2021广东肇庆中学月考)下图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO与AB所成角的余弦值等于( )A. B. C.D.13.下列命题中不正确的是.(填序号)没有公共点的两条直线是异面直线;和两条异面直线都相交的两直线异面;一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.14.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的
5、中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.(1)求证:D、B、F、E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,求证:P、Q、R三点共线.答案全解全析A组基础题组1.A 由BC AD,AD A1D1知,BC A1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,又EF平面A1C,EFD1C=F,则A1B与EF相交.2.B 根据公理2可判断是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故是假命题;在空间中,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙3 / 7角),故是假命题
6、;根据公理3可知是真命题.综上,真命题的个数为2.3.D 若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线.4.D 解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2都不相交,则ll1,ll2,从而l1l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.5.C 如图,设正方体的棱长为a,取线段AB的中点M,连接CM,M
7、F,EF,易知四边形AMFE是平行四边形,则MF AE.所以CFM(或其补角)即为所求角.在CFM中,MF=CM=a,CF=a,根据余弦定理可得cosCFM=,所以异面直线AE与CF所成的角的余弦值为.故选C.6.答案5解析与AB和CC1都相交的棱为BC;与AB相交且与CC1平行的棱为AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱为CD,C1D1.故符合条件的棱有5条.7.答案1或4解析如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,那么任意三点可确定一个平面,所以可确定四个平面.综上,这四点能确定1或4个平面.8.答案4 / 7 5 / 7 解析 如图,连接AC 、BD,设ACBD
8、=O,连接VO,因为四棱锥V-ABCD 是正四棱锥,所以VO平面ABCD,故BDVO.又四边形ABCD 是正方形,所以BDAC,又VOAC=O,所以BD平面VAC,所以BDVA,即异面直线VA 与BD 所成角的大小为.9.证明 (1)假设BC 与AD 共面,不妨设它们所共平面为,则B,C,A,D.所以四边形ABCD 为平面图形,这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾,所以BC 与AD 是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,EF,FG,GH,EH,则EFAC,HGAC,因此EFHG;同理,EHFG,则四边形EFGH 为平行四边形.又EG 、FH 是平行四边形EFGH 的对角线,则EG 与FH
9、相交.10.解析(1)SABC=22=2,三棱锥P-ABC 的体积为V=SABCPA=22=.(2)如图,取PB 的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角.由勾股定理易得BC=4,PB=2,PC=4, DE=BC=2,AE=PB=,AD=PC=2.在ADE 中,DE=2,AE=,AD=2, cosADE=,即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为. B 组 提升题组11.A 如图,空间四边形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH 为平行四边形,EFG或FGH为AC与BD所成的角,故S四边形EFGH=34sin 45=6,故选
10、A.12.A 由题意得直观图如图所示,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC的中点,取AC的中点E,连接DE,OE,则OE=1,AE=1,由于OEAB,故DOE(或其补角)即为异面直线DO与AB所成的角.在直角三角形DAE中,DE=.由于O是BC的中点,故在直角三角形ABC中可以求得AO=,故在直角三角形DAO中可以求得DO=.在三角形DOE中,由余弦定理得cosDOE=,故所求余弦值为.13.答案解析没有公共点的两条直线平行或异面,故错;对于,如果满足条件的两直线与两条异面直线中一条交于同一点,则两直线相交,故错;对于,设两条异面直线为a,b,直线ca
11、,若cb,则ab,这与a,b异面矛盾,故c,b不可能平行,正确;正确,若c与两异面直线a,b都相交,则a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面(这两个平面不重合),这样a,b,c共确定两个平面.14.答案解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD的夹角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD的夹角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.15.证明(1)如图所示.因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.6 / 7又在正方体AC1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF与BD可确定一个平面,即D、B、F、E四点共面.(2)在正方体AC1中,设平面ACC1A1为,平面DBFE为.因为QA1C1,所以Q,又QEF,所以Q,则Q是与的公共点,同理,P也是与的公共点,所以=PQ.又因为A1C=R,所以RA1C,R且R,则RPQ,故P、Q、R三点共线.7 / 7