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1、精品文档南京财经大学成人教育经济数学基础课程试卷(四)专业/班级：学号：姓名:题号一二三四五总分得分、填空题(共10小题，每小题2分，共20 分)lim (x sin 丄xxsin x) x1 x1 x2. f(x) ，要使在x 0处连续，则应补充定义f (0) _0.52x3.设 f(1 x) f(1)2 x ( x)2，则 f (1)2.4.若 y ef (x)，其中 f 二阶可导，则 y ef (x) f 2(x) ef(x)f (x).5若某种商品的需求函数Q 60 4p，则当p 5时，其边际收益为20.6.2ylnx,则=x yln x 1(ln x ln y 1)x7.若ln(x2
2、 1) C，则 f(x)x 12x .8.limx9.xcos4 xdx0101.交换积分次序1x4Jxdx0-f(x,y)dy-x1 dxx2 f(x, y)dy0 x o(1sin 2u)u du =2 y 21dy y2 f(x, y)dx精品文档1、单项选择题（共5小题，每小题2分，共10分）1.若x 0时,a(1 cos2 x) x2,A.-2B. 1C.2若f/x）, f2（x）的弹性分别是a,b（b 0）则函数滞的弹性是(A ).A.C.ay2 by12y12y23.曲线yA. 41e x的渐近线共有几条B. 3 C. 2D. 14.若f（x）的一个原函数是x2exf(x)dx
3、=x22A.ex (2x2 1) CC. e(x21) CIn x1x2B.ex (2x2xD. e1)5 .设 F(x) 1 f (t)dt ,则 F (x)A. f (In x)1fL);xB.(x2 1)f (In x)C . f (ln x) x1f();xD.1f (In x) x三、计算题（共8小题，每小题6分，共48 分）lim 11 、lim e 1 xx 0x(ex 1)lim e 1 x1f（）；x1FL)x xxlim ex 0 2x0.5精品文档2 .已知yf (x)是由方程sin(x2y) y20所确定的隐函数，求微分dy.原式两边对x 求导，得 cos(x2y)(2
4、 xy x2 y ) 2yy 0可得22xy cos(x y)y 2 22y x cos(x y)所以得2xy cos(x2y)dy22 dx2y x cos(x y)从而得xyz1 xye3.已知 exyzzsinxy6，求zx ,Zy .原式对x求偏导,得xyz ze (yzxyzx) Zxy cos(xy) 0同理对y求偏导,得e (xzXyZy )Zyx cos(xy) 0Zxy cos(xy)yzexyzZyxcos(xy) xzexyzxyz1 xye1 2 2 22dx2arctan x 0.51 n(1 x )1 x4arctanx x ,4.dx.1 x24arctan x
5、x ,2 dx 4 arctanxdarctanx 0.51 x45.0令.x t，则 dx 2tdt40警t22sintdt 2 2cos206.讨论广义积分01e tdt te tdt0 0帛 te t而 lim ()xt 2而正项积分1teit3lim rx etdt的敛散性.te tdt，显然第一部分是收敛的t 2dt是收敛的，由正项积分的比较收敛准则知te t dt收敛1故原广义积分收敛7.求Dxyd ，其中D是由y2 8x及x2 y所围成的闭区域.可求得,从而,两抛物线的交点为A(0,0),B(2,4)78x2 xydyxxydD2dx02x(4x00.5x4)dx ：(4x20.
6、5x5)dx1638.求方程y 3y特征方程为齐次方程的通解为2x设方程的特解为的通解.即3xce典 2xAe-3代入方程，可得 综上，方程的通解为2A 3 1,即有A=12xy e ce3x（其中C为任意常数）四、应用题(共两小题，每小题8分，共16分)1 求函数y 2ex e x的单调区间及极值，凹凸区间及拐点.显然，y在任意点n阶可导xxxxy 2e ey 2e e显然，y 0恒成立，即y为递增函数，令y 0，解出x 0.5ln0.5 对应求得y 22从而可得，函数的单调增区间为(0.5ln 0.5,)函数的单调减区间为 (,0.5l n0.5)由于x 0.51n0.5时，二阶导数大于零
7、，故函数有唯一的极小值为(0.5ln 0.5,2.2)，无最大值函数二阶可导且恒大于零，故无拐点，且在整个定义域内为下突函数2.已知曲线y 2x2 1,x 1,x 0,y 0所围成的平面图形.求:(1) 平面图形的面积；(2) 该平面图形绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积.解：(1)该图形的四个顶点为(0,0)，(0,1)，(1, 0)，(1,3)1 2 5图形的面积为S(2x 1)dx -34715(2)该图形绕X轴旋转一周所得的体积为1221424V (2x2 1)2dx(4x4 4x2 1)dx (0.81)0 0 3五、证明题(共1小题，共6 分)设f(x)在a,b上二阶可导，且f(a) f(b)，证明：至少存在一个(a,b)，2f ()b解：构造函数 F(x) (bx) f(x) f (a).x则 F (x)(bx)f(x)f (x) f (a)F(x)在a,b上二阶可导，由白于 F(a)F(b) bf(a)应用罗尔定理， 知必有 x1(a,b)，使得 F (%) f (a)(bXi)f (Xi)f(xj 0又 F (a) (b a)f (a)f(a) f(a)(b a) f (a)F (b) (b b)f (b)f(b) f(a)f(a) f(b) 0即有F (x1) F0由罗尔定理，知必有(xi , b )，使得F ()(b)f()2f ( ) 0即有f()b