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1、专题七第1讲专题七 数学思想方法第1讲 函数与方程思想 一、选择题1若2x 5y 2y 5x ，则有( ) A x y 0B x y 0C x y 0D x y 0 2对任意a 1,1，函数f (x )x 2(a 4)x 42a 的值总大于零，则x 的取值范围是( )A 1B x C 1D x 3已知向量a (3,2)，b (6,1)，而(a b )(a b )，则实数等于( )A 1或2B 2或12C 2D 0 4方程m 1x x 有解，则m 的最大值为( ) A 1 B 0C 1D 2 5f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，f (2)0，则函数y f (x )在区间(1,4)内
2、的零点个数为( )A 2B 3C 4D 56函数f (x )ax 2bx c (a 0)的图象关于直线x b 2a对称据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m f (x )2nf (x )p 0的解集都不可能是( )A 1,2B 1,4C 1,2,3,4D 1,4,16,64二、填空题7当x (1,2)时，不等式x 2mx 48若y 1sin 2x m cos x 的最小值为4，则m 的值为_9已知数列a n 是递增数列，且对于任意的n N *，a n n 2n 恒成立，则实数的取值范围是_10已知等差数列a n 共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的
3、和为30，则它的公差d _. 三、解答题11设P (x ，y )是椭圆x 24y 221上的动点，定点M (12，0)，求动点P 到定点M 距离的最大值与最小值 12已知a n 是一个等差数列，且a 21，a 55.(1)求a n 的通项公式；(2)求a n 前n 项和S n 的最大值 13已知二次函数f (x )ax 2bx (a ，b 为常数，且a 0)满足条件：f (x 1)f (3x )，且方程f (x )2x 有等根是否存在实数m ，n (m答案1B 2B 3B 4A 5D 6D7(，5859310311解 由x 24y 221得y 2212x 2， |PM |2(x 12)2y 2
4、x 2x 14212x 212(x 22x )9412(x 1)274，y 2212x 20， 2x 2.当x 1时，|PM |2取得最小值74，即|PM |的最小值为72； 当x 2时，|PM |2取得最大值254，即|PM |的最大值为52. 12解 (1)设a n 的公差为d ，由已知条件，得?a 1d 1，a 14d 5，解得a 13，d 2. 所以a n a 1(n 1)d 2n 5.(2)方法一 由? a n 0，a n 10，得?2n 50，2(n 1)50， 解得32n 52，n 2， 即当n 2时，数列a n 的前n 项和S n 取得最大值，最大值为S 2a 1a 2a 1a
5、 1d 4.方法二 S n na 1n (n 1)2d n 24n 4(n 2)2. 所以当n 2时，S n 取得最大值4.13解 方程ax 2bx 2x 有等根，(b 2)20，得b 2.由f (x 1)f (3x )知此函数图象的对称轴方程为x b 2a1得a 1，故f (x )x 22x (x 1)211，4n 1，即n 14. 而抛物线y x 22x 的对称轴为x 1，n 14时，f (x )在m ，n 上为增函数 若满足题设条件的m ，n 存在，则?f (m )4m ，f (n )4n ， 即? m 22m 4m ，n 22n 4n ?m 0或m 2，n 0或n 2. 又m ，m 2，n 0， 这时定义域为2,0，值域为8,0由以上知满足条件的m ，n 存在，且m 2，n 0.