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1、2011 年 2017 年新课标全国卷文科数学分类汇编3导数及其应用一、选择题【 2016， 12】若函数f ( x)x1 sin 2x a sin x 在,3上单调递增，则a 的取值范围是（）A 1,1B 1,1C1 , 1333D1,13【 2014，12】已知函数 f( x)ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点x0 ，且 x00 ，则 a的取值范围是A(2,)B (1,)C( , 2)D( ,1)二、填空题【 2017， 14】曲线 yx21在 1,2处的切线方程为x【 2012， 13】 13曲线 yx(3lnx1)在点（ 1， 1）处的切线方程为 _ 三、解答题【 201
2、7， 21】已知函数fxexexaa2x （ 1）讨论 f ( x) 的单调性；（ 2）若f( x) 0 ，求 a的取值范围【 2016， 21】已知函数 f xx 2 exa2x 1 （ 1）讨论 f x 的单调性；（ 2）若 fx有两个零点，求a 的取值范围【 2015， 21】设函数 f x e2xaln x （ 1）讨论 f x 的导函数 fx 零点的个数 ;（ 2）求证：当 a0 时， f x 2a a ln 2a【 2014，21】设函数 f ( x) a ln x(1 a) x2bx (a1) ，曲线 yf ( x) 在点 (1, f(1)处的切线斜率2为 0()求 b ;()若
3、存在 x01，使得 f ( x0 )a ，求 a 的取值范围 a1【 2013， 20】已知函数 f(x) ex(ax b) x2 4x，曲线 y f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程为y 4x 4(1)求 a， b 的值； (2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值【 2012， 21】 21设函数f ( x) ex ax 2 （ 1）求 f (x) 的单调区间；（ 2）若 a1 ， k 为整数，且当x0 时， ( xk) f (x)x10 ，求 k 的最大值【 2011， 21】已知函数f ( x)a ln xb ，曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程
4、为 x 2y 3 0 x 1x1a2x 0 ，且 x1时，f (x)（ ）求， b 的值；（ ）证明：当ln x x 12011 年 2017 年新课标全国卷文科数学分类汇编3导数及其应用（解析版）一、选择题【 2016， 12】若函数f ( x)x1 sin 2x a sin x 在,3上单调递增，则a 的取值范围是（）A 1,1B 1,1C1 , 1333D1,13解析：选 C问题转化为fx12 cos2xa cosx 0 对 xR 恒成立，3故 122cos2 x1a cosx 0 ，即 a cosx4 cos2 x5 0 恒成立333令 cosxt ，得4 t 2at5 0 对 t1,
5、1 恒成立33解法一：构造 gt4 t 2at5，开口向下的二次函数gt的最小值的可能值为端点值，33g11a 011故只需保证3，解得1a故选 Cg 1a 0333解法二：当 t0 时，不等式恒成立； 当 0t,1时，a 1 4t5恒成立，由 y1 4t5 在 0 t, 13t3t4t45，故 a；当时， a4t恒成立 由上单调递增， 所以 151111,t 0,153t,333t3y14t5在1,t 0上单调递增，14t51451，所以 a,13t3t333综上可得，1 a1故选 C33【 2014，12】已知函数f ( x)ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点x0 ，且 x0
6、0 ，则 a的取值范围是（）A(2,)B (1,)C (,2)D (,1)解：依题 a0， f (x)=3 ax2-6x，令 f (x)=0 ，解得 x=0 或 x=2 ，a当 a0 时，在 (-, 0)与 ( 2 ,+ )上，f (x)0 ，f(x)是增函数在(0, 2 ) 上，f (x)0 ，aaf(x)有小于零的零点，不符合题意22当 a0 时，在 (- , )与 (0,+)上， f (x)0 ，f(x)是增函数要使f(x)有唯一的零点 x0，且 x00，只要 f ( 2)0 ，即 a2 4，所以 a-2 故选 Caa0， f( x)存在唯一的正零点，等价于a11t1另解：依题33 有唯
7、一的正零根，令，则问题又xxx等价于 a=-t3+ 3t有唯一的正零根，即y=a 与 y=-t3 + 3t有唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记 g(t)=- t3+ 3t， g(t)=-3 t2+ 3，由 g (t)=0 ，解得 t=1，在 (-,-1)与 (1,+)上， g (t)0， g(t)是增函数要使3有唯一的正零根，只要a 0 时， fln a0，得0 a1当 a0时， fxex20 满足条件alnalnaa22a2 ln当 a0 时， fx minflneea223 a2a2 lna0，42a3a333lne40a4 ，又因为 a，所以2e4a02422e3综上所述， a 的取值范
8、围是2e4 ,1【 2016， 21】已知函数 f xx2 exax21（ 1）讨论 f x的单调性；（ 2）若 fx有两个零点，求a 的取值范围解析：（ 1）由题意 fxx1 ex2ax1=x1ex2a当 2a 0 ，即 a 0时，xea0恒成立令fx0，则x1，2所以 fx 的单调增区间为1,同理可得fx的单调减区间为,1 当 2a0 ，即 a0 时，令 fx0 ，则 x1 或 ln2a（）当 ln 2a1，即 aex0，则 x1 或 xln2a时，令 f，2所以 fx 的单调增区间为,1 和 ln2a ,同理 fx 的单调减区间为 1,ln2a ；（）当 ln 2a1 ，即 ae时，2当
9、 x, 1 时， x1,0 ， ex2a,e1e0 ，所以 fx 0 同理 x1时， fx0 故 fx 的单调增区间为,；（）当 ln2a1 ，即ea0 时令 fx0 ，则 xln2a或 x1 ，2所以 fx的单调增区间为,ln2a和 1,，同理 fx 的单调减区间为ln2a,1 综上所述， 当 ae时， fx的单调增区间为,1和 ln2a ,，单调减区间为1,ln2a；2当 ae时， fx的单调增区间为,；2ea0时， fx 的单调增区间为,ln2a和 1,，单调减区间为ln2a,1；当2当 a 0 时， fx的单调增区间为1,，单调减区间为,1 （ 2）解法一（直接讨论法） ：易见 f 1
10、e0，如（ 1）中讨论，下面先研究（）（）（）三种情况当 aexfln2af1 0 ，故不满足题意；时，由 f单调性可知，2当 aex,时， f在上单调递增，显然不满足题意；2当ea0 时，由 fx的单调性，可知f1fln2a，2且 f ln2aln2a22aaln2a2ln2a2a0 ，故不满足题意；1a2下面研究 a 0，当 a0 时， fxx2ex ，令 fx0，则 x2 ，因此 fx 只有 1 个零点，故舍去；当 a0 时， f1e0， f 2a0 ，所以 fx在 1,上有 1个零点；a, 1 时，由 ln aln aln aaa ln a2ln 2 a3 ln a（ i ）当 00
11、，而 f21a0，22222222所以 fx在,1上有1个零点；（ i i ）当 a1时，由20，而 f24 e 29a9a40，e2所以 fx 在,1 上有 1 个零点；可见当 a0 时 fx 有两个零点所以所求a 的取值范围为0,解法二（分离参数法） ：显然 x1 不是 fx 的零点，当 x1时，由 fx0 ，得 a2x2 exx1 x1设 gx2x2exx 1 ，则问题转化为直线y a 与 g x 图像有两个交点，x1ex x1x21对 gx求导得 gx2，4x 1所以 gx在,1 单调递增，在1,单调递减当 a,0时，若 x,1 ， gx0，直线 ya 与 gx 图像没有交点，若 x1
12、,， gx 单调递减，直线ya 与 gx 图像不可能有两个交点，故 a, 0 不满足条件；若 a0 时，取 x1min11 , 3，则 g x1x112 a ，a21而 g 20a ，结合 gx在 1,单调递减，可知在区间x1,2 上直线 ya 与 gx图像有一个交点，取 x2min12， x32,0，aa则 g x22a ， g x32x32a ，x22x32x321结合 gx 在,1 单调递增，可知在区间x3x2 上直线 ya 与 gx 图像有一个交点，综上所述， a0 时直线 ya 与 gx 图像有两个交点，函数f x有两个零点【 2015， 21】设函数f x e2xaln x （1）
13、讨论f x的导函数f x零点的个数 （ ）求证：当 a0 时，f x 2a a ln2; 2a2xa， x0 2分解： ( ) f (x)=2ex(1)若 a0时， f (x)0 在(0,+)恒成立，所以f (x)没有零点； 3分(2)若 a0 时， f (x)单调递增当 x0, f (x)-；当 x+,f(x)+，所以 f (x)存在一个零点 6分( )设 f (x)的唯一零点为 k，由 ( )知 (0, k)上， f (x)0 ，f(x)单调递增所以f(x)取最小值 f( k) 8分2k2ka2k=a，2kln2ln k ，所以 f(x) f(k)= e-alnk，又 f (k)= 2ek
14、=0 ，所以 e2ka所以 f(k)=aa(ln 22k)a2kaa ln a 2aa ln a ，2ka2k222aa ln12 分所以 f(x) 2a21 解析 （ 1） fxe2 xa ln x x0， f x2e2xa x显然当 a ,0时， fx0 恒成立， fx 无零点当 a0 时，取 gxfx2e2xa，则 g x4e2xa0 ，即fx单调递增axa x2令 g xf x2e2x0 ，即 2e2 xxx画出 y2e2 x 与 ya 的图像，如图所示x由图可知，fx必有零点，所以导函数fx存在唯一零点yy=2e2xay=xOx（ 2）由（ 1）可知f x有唯一零点，设零点为x0 ，由图可知，当 x0, x0时， f x0 ，即 fx 单调递减；当 xx0 ,时， fx0 ，即f x 单调递增所以fx在 xx0 处取得极小值，即fx minfx0e2x0a ln x0 又 fx02e2 x0a0 ，解得 e2 x0ax02x0两边分别取自然对数，得2x0 ln aln 2x0 ，即 ln x0ln a2x0 2所以 fx0aa ln a2x0a2ax0a ln a2x022x022aa2aa ln2a2ax0，即 x01a lna（当且仅当时取等号）22x02【 2014，21】设函