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1、2015 年浙江卷理科数学一、选择题：每小题5分, 共 40分。1. 已 知 集 合 P= x|x2- 2x 0,Q= x|10, dS40B. a1d0, dS40, dS4 0D. a1d04.命题“ nN*, f (n)N *且 f(n) n”的否定形式是（）A.nN*, f ( n)N * 且 f(n)nB.nN *,f ( n)N * 或 f(n)nC.n0N *, f (n0 )N * 且 f(n0)n0D.n0N*,f (n0 )N * 或 f( n0)n05.如图 ,2的焦点为 F, 不经过焦点的直设抛物线 y =4x线上有三个不同的点A, B, C,其中点 A, B 在抛物线
2、上 ,点 C 在 y 轴上 , 则 BCF 与 ACF 的面积之比是（）yAFxOBC|BF|1|BF |21A.1B.1|AF|AF|2|BF |1|BF |21C.1D.1|AF|AF|26.设 A, B 是有限集 , 定义 d(A, B) =card( A B) - card( A B), 其中 card(A)表示有限集A 中的元素个数 ,命题： 对任意有限集 A, B, “ AB”是“ d(A, B)0” 的充分必要条件；命题：对任意有限集 A, B, C, d(A, C) d(A， B)+ d(B，C)， 则（ ）A. 命题和命题都成立B. 命题和命题都不成立C.命题成立 ,命题不成
3、立D. 命题不成立 , 命题成立7.存在函数 f(x)满足：对于任意x R 都有（）A. f(sin2x)=sinxB. f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D. f(x2+2x)=|x+1|8.如图 , 已知 ABC, D 是 AB 的中点 , 沿直线 CD 将ACD 折成 A CD , 所成二面角 ACD B 的平面角为 ，则（）A.ADB B.ADBC.ACBD.ACB二、填空题：多空题每题6 分, 单空题每题 4分 , 共36 分。9.双曲线 x 2y21的焦距是, 渐近线方程是2。x23, x110.已知函数 f(x)=x, 则 f(f(- 3)=lg( x21)
4、, x1f(x)的最小值是。11.函数 f(x)= sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是。12.若 a=log 43,则2a2 a =。13.如图 , 三棱锥 A-BCD中 , AB=AC=BD =CD=3,AD=BC=2, 点 M, N 分别是 AD , BC 的中点 , 则异面直线 AN, CM 所成的角的余弦值是。AMBDNC14.若实数 x, y 满足 x2+y2 1, 则 |2x+y- 2|+|6- x- 3y|的最小值是。115.已知 e1 , e2 是空间单位向量,e1 e2=1, 若空间向2量 b 满足 b e1 =2, b e2 =5, 且对于任意x
5、, y R ,2| b (xey e ) | | b( x eye ) |=1(x0, y0 R),120102则 x0=, y0=,| b |=。三、解答题：本大题共5小题, 共 74分16.（ 14 分）在 ABC 中 , 内角 A, B, C 所对的边分别为221 2a, b, c, 已知 A=, b - a =c 。42（ I）求 tanC 的值；（ II ）若 ABC 的面积为 3, 求 b 的值。18（. 15 分）已知函数f(x)=x2+ax+b(a, bR), 记 M(a, b)是 |f( x)|在区间 - 1,1 上的最大值。（ I）证明 : 当 |a|2 时 , M(a,
6、b) 2;（ II ）当 a, b 满足 M(a, b) 2, 求 |a|+|b|的最大值17. （15 分）如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BAC=90, AB=AC=2, A1A=4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点 ,D 为 B1C1的中点 .C 1A1DB 1CAB（ I）证明 : A1D 平面 A1BC;（ II ）求二面角 A1 - BD - B1 的平面角的余弦值219.（ 15 分）已知椭圆x2y2 =1 上两个不同的点A, B2关于直线y=mx+ 1 对称2yOxBA（ I）求实数 m 的取值范围；（ II ）求 AOB 面积的最大值 (O 为坐标
7、原点 )20.（15 分）已知数列 an 满足 a1= 1 , 且 an 1 = an - an22(nN*)（ I）证明： 1 an 2 (n N*)an 1（ II ）设数列 an2 的前 n 项和为 Sn，证明1 Sn2(n2)n1N*)(n2(n1)32015 年浙江省高考数学 (理 )参考答案1.C2.C3.B4.D 5.A6.A7.D8.B9. 23 , x2 y=010. 0,2 2-3 11., k3+, k8+ 7 , k Z812.4313. 714. 315. 1, 2, 223816.解: (I) a2=b2+c2- 2bccosA=b2+c2 -2 bc 又b2 -
8、a2= 1 c22 bc- c2= 1 c2 即 3c= 22 b22 3sinC=22 sinB=2 2 sin(C+)=2(sin C+cosC)4 sinC=2cosC, 故 tanC=2(II)S ABC=1 bcsinA=2 bc=62又bc=324c=22b22b2=62 b2=9, 故 b=333法二 : (I) b2- a2=1c2,A= sin 2B1=1sin2C2422即 - cos2B=sin2C sin2C=- cos2(3C )=sin2 C=2sin CcosC 即4sinC=2cosC, 故 tanC=2(II)由 tanC=2, 0C,得 cosC=11tan
9、2 C,215sinC=25sin 2B=1(1+sin 2C)=9210sinB=332322102252sinC, 从而 c=b23又 SABC =1bcsinA=2122故 b=324bc=b = 3 b =9,317.解 : (I) 设 BC 的中点为 O, 则 A1O 平面 A1B1C1, 即 A1O 平面 ABC A1OA1D又 A1B1=A1C1 , B1D=DC 1 A1D B1C1 A1D BC, BC A1O=OA1D 平面 A1BC(II) 建立如图所示的坐标系O- xyz, 则 A1D =( - 2, 0,0), DB =(2, 2,- 14)设 平 面A1BD的 法
10、向 量 为 n =(x,y,z),则n A1Dn DB =0x0, 令 z=1, 得 n =(0, 7, 1)y7 zx0设 平 面BB1D的 法 向 量 为 m =(u,v,w),则m DB1 m DB =0,又 DB =(0,2,0)v0,令 w=1,得1uv7w 0m =( 7 , 0, 1) cos=m n1| m | n |8又二面角 A1- BD - B1 的平面角是钝角 , 故所求的平面角的余弦值为18法二 : 过 A1 作 A1HBD 交 BD 于 H, 连结 B1H,由 BAC =90,AB=AC=2 AO=OB=2A1O=A1A2OA214,从而A1B= A1O2OB2=4
11、=BB1又 A1D =B1D =2 A1BD B1BD(此题数据设计的要点 , 非常规 , 不易发现 )故由 A1H BD 得 B1H BD A1HB 1 是二面角 A1- BD - B1 的平面角由 B1C1 A1D , B1C1 A1O 得 B1C1 平面 A1DO B1C1OD 从而 B1C1 BB1B1D B1B4 A1H= B1H =B1B23B1D 2 cosA1HB 1= 2B1 H 2A1 B1212BH281因此 , 二面角 A1 - BD - B1 的平面角的余弦值是18a | 1, 故 f(x) 在 - 1,18.解 :(I) |a| 2 |1上为单调函数2M( a,b)
12、=max| f(- 1)|,|f(1)|=max|1+ b- a|,|1+b+a| =|1+b|+|a| 2 (最佳表达式 , 重复应用 )(II)由 (I)知 |a| 2, |a M(a,| 12b)=max| f(- 1)|, |f(1)|, f(a )2 |b|- 1+|a| |1+b|+|a|=max| f(- 1)|, |f(1)| M( a, b)2 |a|+|b| 3, 当 a= - 2, b= - 1 时 , M(a, b)=2, | a|+|b|=3(每一点的知识都不难,串起来才难 )因此 , |a|+|b|的最大值为 3法二 : (I) 由已知得C 1 M(a, b)|f(
13、- 1)| M( a, b), |f(1)|又 f(- 1)=1 - a+b, f(1)=1+ a+bz D- f(- 1)(隐2a=f(1)含着通过函数值反求系数A1B 1, 常法) 4 2|a| |f(1)|+|f(- 1)| 2M(a, b) M(a, b) 2(II) 由 (I) 知 a+b=f(1)- 1, a- b=1- f(- 1)C- 1|, |1- f(- 1)| |a|+|b|=max| a+b|, |a- b| =max| f(1)O M(a, b)+1x3y22- 2 - 2, 2, |x|当 a= - 2, b= - 1 时 , f(x)= x - 2x- 1=( x
14、- 1)AB 1, 此时 M (a, b)=2, |a|+|b|=3因此 , |a|+|b|的最大值为319.解 : (I) 设 A(x1 , y1), B(x2, y2 ), AB 的中点 M(x0, y0), 则42x0=x1+x2, 2y0=y1+y2显然 m 0, 故可设直线 AB 的斜率 k=y1y21x1x2=m由 x122 y122 ,x222 y222,相 减 得(x1- x2)( x1+x2)+2( y1- y2)(y1+y2)=0 即 x02 y0=0m又点 M(x1上 , y0=mx0 +10, y0) 在直线y=mx+, 故221 1得 x0=, y0=m2又点 M 在
15、椭圆 x 2y21的内部 ,故得113因此 ,m6 或 m0m2m2 )(b整 理 得m2+2- m2b2 0(*)且 x0=12bm, y0=1bm2(x1+x2)=x0+b=22m22mm2又点 M(x0, y0)在直线 y=mx+1上 , y1,20=mx0+2m2整理得 bm=22m代入 (*) 式得 m2 +2(m22)20 即 4m2- (m2+2)0,4m2解得 m223因此 ,m6 或 m6(其中也可得 x0=1 ,133my0 =)213(II) 由 k=,则 0k2. 由 (I) 可得直线AB:1m12y+=k(x- k)即 kx- y- k2=0221k2原点 O 到直线
16、AB 的距离 d=21k 2由ykxk 21222=02得 x - 2kx+ 1(2k +1)2k2x22 y2221(利用 |x1- x2|=)|AB|=1k 2|x1- x2|=1k24k22(2k21)81k264k22k212k 21故SAOB=1|AB|d=21(2k21)(64k 2 )18(k 21) 282,4422且 0k2 3 2因此 , 当 k2= 1 即 m=2 时 , AOB 的面积 S AOB2有最大值2220.解 : (I) an- an +1= an2 0 an+1 an an a1= 1an=(1 an 1 )an 12由得an= (1 an1)(1a2)(1
17、 a) a 0 , 故 0 an 1n112anan1an 1, 2即 1 从而an (1 an ) 1 anan 1an 1 2法二 : 在 0 an 1 基础上证 an 2an+1 可用分析法2要 使an 2an+1,只 要an 2(an-a22a2n )nan0 an1, 2an+1成立2故 an(II)an2=an- an+1Sn=a1 - a2+a2- a3+- a=a1- a1 - an+1+ann+1n +1=2111由an+1=an(1- an)an 1an1an111 1, 2, 00” 的充分必要条件；量的性质的背景作出文氏图,易得d(A,B)+d(B,C) - d(A,C
18、)=card(BCU(A C)+card( AC)CUB) 07.存在函数 f(x)满足 ,对任意 x R 都有 ()A. f(sin2x)=sinxB. f(sin2x)= x2+xC.f(x2+1)=| x+1|D.f(x2 +2x)=|x+1|解 : (排除法 , 利用函数的单值性)在A 选项中,令 x=0,可得 f(0)=0 或 1,排除 A22+,排除BB 选项中 , 令 x=0,可得 f(0)=0 或C 选项中 , 令 x=1, - 1 得 f(2)=0 或 2, 排除 C事实上,在 D选项中,令 x2+2x=t, 则 (x+1) 2 =t+1f(t)=t 1即存在 f( x)=x
19、18.如图 , 已知 ABC, D 是 AB 的中点 ,沿直线 CD 将ACD 折成 A CD , 所成二面角ACDB 的平面角为,则 ()A.ADB B.ADB C.ACBD.ACB 解: 过 B作 BHCD 交于 H, 过 A作 AE/CD交 BH的延长线于 E, 点 E 折后对应点 E设 AD =BD =x, BH =HE=d, AE= A E =2y=2DH , 则 x d, 且 x2- d2=y2, E HB =易知A EE BA B2E B2A E 2 = 2d 22d 2 cos4 y2cosA DB=2x2A B 22( x2d 2 )2d 2 cos4y 22x22x 22d2 c o s2y2 2d 2 cos cos ,故 得2 x22x2ADBAM13.如图, 三棱锥A-BCD 中 ,命题：对任意有限集A, B, C, d(A, C) d(A, B)+ d(B,C), 则()A. 命题和命题都成立B. 命题和命题都不成立C.命题成立 ,命题