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1、4.1 函数与方程,潘继林,问题提出,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系?,填表:,一元二次方程,方程的根,二次函数,二次函数的图象,图象与x轴的交点,X2-2x-3=0,X2-2x+1=0,X2-2x+3=0,X1=-1,x2=3,X1=x2=1,y=x2-2x-3,y=x2-2x+1,y=x2-2x+3,(-1,0),(3,0),(1,0),无实数根,无交点,=(x-1)2-4,=b2-4ac,0,=0,0,ax2+bx+c=0的实根,有两个不等的实根x1,x2,有两个相等的实根x1=x2,无实数根,无交点,y=ax2+bx+
2、c图象与x轴的交点,(x1,0),(x2,0),(x1,0),对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)关系.,问题提出,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系?,归纳:,方程 ax2+bx+c=0(a0)有实数根 二次函数y= ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有交点,问题提出,方程 ax2+bx+c=0(a0)没有实数根 二次函数y= ax2+bx+c(a0)的图象与x轴没有交点,问题:能否把二次函数y=ax2+bx+c(a0)和一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的关系推广到一
3、般函数与方程的关系上?,方程f(x)=0的实根情况（有没有?有几个?),函数y=f(x)图象与x轴的交点情况(有没有?有几个?),函数零点的概念:,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.,结论:函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标.即,方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点,例:观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象(如图),我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间-2,1上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间2,4上是否也具有这种特点呢
4、?,函数零点的性质:,如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也
5、就是方程f(x)=0的根.,例1:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.,解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象.,由表和图可知,f(2)0,则f(2) f(3)0,这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数f(x)在定义域(0,+ )内是增函数,所以它仅有一个零点,不计算函数值,不列出数据表格,也不画函数f(x)=lnx+2x-6的图象.能得到本题的结论吗?,方法1:寻找函数值符号的变化规律.,方法2:将函数f(x)=lnx+2x-6零点个数转化为函数y=lnx,y=-2x+6的图象交点的个数.,小结: 1方程的根与函数的零点的关系;,2.判定方程在某个区间上存在根的基本步骤.,3体现特殊到一般的思想,数形结合,转化的思想.,