《2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源市高二(上)期末数学试卷(理科).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源市高二(上)期末数学试卷(理科).docx（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2017-2018 学年辽宁省朝阳市凌源市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（分）已知集合23x=0 ，则 AB=（）1 5A= 0，l， 3 ，B= x| xA 0 B 0，1C 0，3 D 0，1，32（52+2x80“成立的（）分） “x2“是“xA必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）函数的最大值是（）A 1 B1C6D74（ 5 分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）ABC
2、D5（5 分）若直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为，则可能使 l 的是（）ABCD6（5 分） A（， 1）为抛物线 x2=2py（p0）上一点，则 A 到其焦点 F 的距离为（）AB+C2D+17（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k 的值为 3，则输入的 a 的值可以是（）第1页（共 19页）A20 B21C22 D238（ 5 分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A向左平移个单位长度 B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度 D向右平移个单位长度9（5 分）若，则 sin2 等于（）ABCD10（ 5 分）若 x， y 满足约束条件，则的最大值是（）AB1C2D31
3、1（ 5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）第2页（共 19页）AB9 CD 1012（ 5 分）函数 f （x）的定义域为 1，1 ，图象如图 1 所示；函数 g（x）的定义域为 2， 2 ，图象如图 2 所示，方程 f（g（x） =0 有 m 个实数根，方程g （ f（ x ） =0有n个实数 根，则m+n= （）A6B8C10D12二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（ 5 分）已知 a0，b0，且 a+b=1，则的最小值是14（ 5 分）已知向量，且（+），则 y 的值为（分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆 x2+y22x
4、 2y+1=015 5的两条切线， A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB面积的最小值为16（5 分）椭圆上的任意一点 P（短轴端点除外） 与短轴上、下两个端点 B1，B2 的连线交 x 轴于点 M 和 N，则| OM|+| ON| 的最小值是三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17（ 10 分）已知 p：函数 y=x2 2x+a 在区间（ 1， 2）上有 1 个零点； q：函数y=x2+（2a3）x+1 图象与 x 轴交于不同的两点若 “p q”是假命题， “pq”是真命题，求实数a 的取值范围（分）在数列n 中， a1=， n+1
5、=n，nN* 18 12 aa?a第3页（共 19页）（ 1）求证：数列 为等比数列；（ 2）求数列 an 的前 n 项和 Sn19（ 12 分）已知顶点在单位圆上的ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2acosA=ccosB+bcosC（ 1） cosA的值；（ 2）若 b2+c2=4，求 ABC的面积20（12 分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市 1565 岁的人群抽样了 n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示组号分组回答正确回答正确的人数的人数占本组的概率第1组，）50.5 1525第 2 组 25， 35）a0.9第 3 组 35
6、，45）27x第 4组 45，55）b0.36第 5组 55，65）3y（ 1）分别求出 a，b，x，y 的值；（ 2）从第 2，3， 4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组应各抽取多少人？（ 3）在（ 2）的前提下，电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率21（12 分）已知椭圆的离心率为，且过点第4页（共 19页）（ 1）求椭圆 E 的方程；（ 2）设不过原点 O 的直线 l：y=kx+m（k0）与椭圆 E 交于 P， Q 两点，直线OP，OQ 的斜率分别为 k1， k2，满足 4k
7、=k1+k2，试问：当 k 变化时， m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由22（ 12 分）如图，在三棱锥ABCD中， CDBD，AB=AD，E 为 BC的中点（ 1）求证： AEBD；（ 2）设平面 ABD平面 BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角 BAC D 的正弦值第5页（共 19页）2017-2018 学年辽宁省朝阳市凌源市高二（上） 期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知集合 A= 0，l， 3 ，B= x| x23
8、x=0 ，则 AB=（）A 0 B 0，1C 0，3D 0，1，3【解答】 解：由 B 中方程变形得： x（x 3） =0，解得： x=0 或 x=3，即 B= 0，3 ， A= 0， 1， 3 ， AB= 0，3 ，故选： C22（5 分） “x2“是“x+2x80“成立的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】 解：由 x2+2x80 解得 x 2，或 x 42“x2“是 “x+2x80“成立的充分不必要条件故选： B3（5 分）函数的最大值是（）A 1 B1C6D7【解答】 解：函数，其定义域为 x| 3 x 4 ，显然存在最大值是大于0 的，则，当=
9、0 时， y 取得最大值为 1第6页（共 19页）故选： B4（ 5 分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）ABCD【解答】 解：双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的个焦点，设双曲线方程为，a0，是双曲线的一条渐近线， = ，解得 a2=4，双曲线方程为故选 D5（5 分）若直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为，则可能使 l 的是（）ABCD【解答】 解：在 A 中，=2，不可能使 l；在 B 中，=1+0+5=6，不可能使 l；在 C 中，=1，不可能使 l；在 D 中， =03+3=0，有可能使 l故选： D第7页
10、（共 19页）6（5 分） A（， 1）为抛物线 x2=2py（p0）上一点，则 A 到其焦点 F 的距离为（）AB+C2D+1【解答】 解：把 A（，1）代入抛物线方程得：2=2p， p=1抛物线的焦点为F（0，）抛物线的准线方程为y= A 到准线的距离为 1+ = AF= 故选： A7（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k 的值为 3，则输入的 a 的值可以是（）A20B21C22D23【解答】 解：由题意，模拟执行程序，可得k=0， S=0，满足条件 S a， S=20+3=3， k=0+1=1满足条件 S a， S=23+3=9， k=1+1=2第8页（共 19页）满足条件 S
11、 a， S=29+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21 a，退出循环，输出k 的值为 3，从而结合选项可得输入的a 的值为 20故选： A8（ 5 分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A向左平移个单位长度 B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度 D向右平移个单位长度【解答】 解：由函数 y=sin（2x）=sin2（x），且函数 y=cos2（ x）=cos（2x） =sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度故选： D9（5 分）若，则 sin2 等于（）ABCD【解答】 解：若，则 cos+ sin =2 （cos2sin2），即 1=
12、4（cossin ），平方可得 1=16（ 1 sin2 ）， sin2 = ，故选： A10（ 5 分）若 x， y 满足约束条件，则的最大值是（）第9页（共 19页）AB1C2D3【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）设 k=，则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知 OA 的斜率最大，由，解得 A（ 1，2），则 kOA= =2，即的最大值为 2故选： C11（ 5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）AB9 CD 10【解答】 解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体第 10 页（共 19 页）圆柱的底面半径为1，高为 3，球的半径为
13、1所以几何体的表面积为12+213+=9故选 B12（ 5 分）函数 f （x）的定义域为 1，1 ，图象如图 1 所示；函数 g（x）的定义域为 2， 2 ，图象如图 2 所示，方程 f（g（x） =0 有 m 个实数根，方程g （ f（ x ） =0有n个实数 根，则m+n= （）A6B8C10D12【解答】 解：由图象可知，若 f（ g（ x）=0，则 g（x） = 1 或 g（x）=0 或 g（x）=1；由图 2 知， g（ x） = 1 时， x= 1 或 x=1；g（x）=0 时， x 的值有 3 个；g（x）=1 时， x=2 或 x= 2；故 m=7；若 g（f（ x）=0，则
14、 f（ x）=1.5 或 f（x）=1.5 或 f（x）=0；由图 1知，f（x）=1.5 与 f（x） = 1.5 无解；f（x）=0 时， x= 1， x=1 或 x=0；故 n=3；故 m+n=10；第 11 页（共 19 页）故选： C二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（ 5 分）已知 a0，b0，且 a+b=1，则的最小值是4【解答】 解： a0，b0，且 a+b=1，则=（ a+b）=2+ 2+2=4，当且仅当 a=b= 时取等号的最小值是 4故答案为： 414（ 5 分）已知向量，且（+ ），则 y 的值为12【解答】 解：+ =（ 2， y 1，
15、5）， （+ ），?（ + ）=4（ y1）+15=0，则 y=12故答案为： 12（分）已知P 是直线 3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆 x2+y22x 2y+1=015 5的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为【解答】 解：圆的方程为： x2+y22x2y+1=0圆心 C（ 1， 1）、半径 r 为： 1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点 P 的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长 PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3 | PA| =| PB| =第 12 页（共 19 页）故答案为：16（5 分）椭圆上的任意一点 P（短轴端点除外）
16、 与短轴上、下两个端点 B1，B2 的连线交 x 轴于点 M 和 N，则 | OM|+| ON| 的最小值是2a【解答】 解：设 P（ x0，y0），? 化为 b2x0 2=a2（b2 y02）直线 B1P 的方程为： y=x+b，可得 M（， 0）；直线 B2P 的方程为： y=xb，可得 N（，0）则| OM| ?| ON| =（定值）则 | OM|+| ON| 2=2a故答案为： 2a三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17（ 10 分）已知 p：函数 y=x2 2x+a 在区间（ 1， 2）上有 1 个零点； q：函数y=x2+（2a
17、3）x+1 图象与 x 轴交于不同的两点若 “p q”是假命题， “pq”是真命题，求实数a 的取值范围2【解答】 解：对于 p：设 f（x）=x 2x+a所以，所以 0a1；对于 q：函数 y=x2+（2a3）x+1 与 x 轴交于不同的两点，所以（ 2a 3）2 4 0，即 4a212a+5 0，解得或因为 “pq”是假命题， “pq”是真命题，所以p， q 一真一假第 13 页（共 19 页）当 p 真 q 假时，有，所以；当 p 假 q 真时，有，所以或 a0所以实数 a 的取值范围是（分）在数列 an 中， a，+1=?an，nN* 18 121=an（ 1）求证：数列 为等比数列；
18、（ 2）求数列 an 的前 n 项和 Sn【解答】 解（ 1）证明：由 an+1=an 知=?， 是以为首项，为公比的等比数列（ 2）由（ 1）知 是首项为 ，公比为 的等比数列， =（ ） n， an= ， Sn=+ +，则 Sn = + + +，得Sn = + +=1， Sn=219（ 12 分）已知顶点在单位圆上的 ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2acosA=ccosB+bcosC（ 1） cosA的值；（ 2）若 b2+c2=4，求 ABC的面积【解答】 解：（1） 2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得： 2sinA?cosA=sinCcosB+
19、sinBcosC第 14 页（共 19 页）? 2sinA?cosA=sin（B+C） =sinA，又 0A? sinA 0， （6 分）（2）由，由于顶点在单位圆上的ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：由余弦定理可得： a2=b2+c2 2bccosA? bc=b2+c2a2=43=1 （ 10 分） （12 分）20（12 分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市 1565 岁的人群抽样了 n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示组号分组回答正确回答正确的人数的人数占本组的概率第 1 组 15， 25）50.5第 2 组 25， 35）a0.9第 3 组 3
20、5， 45）27x第 4 组 45， 55）b0.36第 5 组 55， 65）3y（ 1）分别求出 a，b，x，y 的值；（ 2）从第 2，3， 4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组应各抽取多少人？（ 3）在（ 2）的前提下，电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率第 15 页（共 19 页）【解答】 解：（1）第 1 组人数 5 0.5=10，所以 n=10 0.1=100；第 2 组人数 100 0.2=20，所以 a=200.9=18；第 3 组人数 100 0.3=30，所以
21、 x=2730=0.9；第 4 组人数 100 0.25=25，所以 b=250.36=9；第 5 组人数 100 0.15=15，所以 y=315=0.2（ 2）第 2，3，4 组回答正确的人的比为 18：27：9=2：3：1，所以第 2， 3，4 组每组应依次抽取 2 人， 3 人， 1 人（ 3）记抽取的 6 人中，第 2 组的记为 a1，a2，第 3 组的记为 b1，b2， b3，第 4组的记为 c，则从 6 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有15 种，它们是：（ a1，a2），（ a1，b1），（ a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（ a2，b1），（ a2，b2），（
22、a2，b3），（ a2，c），（b1， b2），（b1，b3），（ b1，c），（b2， b3 ），（b2，c），（b3，c），其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种，它们是：（ a1，a2），（ a1，b1），（ a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（ a2，b1），（ a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为p=21（12 分）已知椭圆的离心率为，且过点（ 1）求椭圆 E 的方程；（ 2）设不过原点 O 的直线 l：y=kx+m（k0）与椭圆 E 交于 P， Q 两点，直线第 16 页（共 19 页）OP，OQ 的斜率
23、分别为 k1， k2，满足 4k=k1+k2，试问：当 k 变化时， m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由【解答】 解：（1）依题意，得，解得 a2=4，b2=1所以椭圆 E 的方程是（ 2）当 k 变化时， m2 为定值证明如下：由得（ 1+4k2）x2+8kmx+4（m2 1）=0设 P（x1，y1），Q（x2， y2），（ * ）因为直线 OP，直线 OQ 的斜率分别为 k1，k2，且 4k=k1+k2，所以，得 2kx1x2=m（x1+x2），将（ * ）代入解得，经检验知成立故当 k 变化时， m2 为定值22（ 12 分）如图，在三棱锥ABCD中，
24、 CDBD，AB=AD，E 为 BC的中点（ 1）求证： AEBD；（ 2）设平面 ABD平面 BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角 BAC D 的正弦值第 17 页（共 19 页）【解答】 证明：（1）设 BD 的中点为 O，分别连接 AO，EO又因为 AB=AD，所以 AOBD因为 E 为 BC的中点， O 为 BD 的中点，所以 EO CD又因为 CDBD，所以 EOBD又因为 OAOE=O，OA， OE? 平面 AOE，所以 BD平面 AOE又因为 AE? 平面 AOE，所以 BD AE，即 AE BD解：（ 2）由（ 1）求解知 AOBD，EOBD因为平面 ABD平面 BCD，
25、平面 ABD平面 BCD=BD，AO? 平面 ABD，所以 AO平面 BCD又因为 EO? 平面 BCD，所以 AO EO所以 OE，OD，OA 两两相互垂直因为 CDBD，BC=4，CD=2，所以因为 O 为 BD 的中点， AOBD，AD=2，所以，以 O 为坐标原点， OE，OD，OA 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 O（0，0，0），A（0，0，1），所以，设平面 ABC的一个法向量为，则，所以，取，解得所以是平面 ABC的一个法向量同理可求平面 ADC的一个法向量设二面角 BAC D 的大小为 ，则因为 0，所以，所以二面角 BAC D 的正弦值为第 18 页（共 19 页）第 19 页（共 19 页）