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1、2018 年高考数学专题复习难点突破名师讲练：导数与函数、不等式综合问题一、考点突破函数与不等式解答题是高考命题的重要题型， 解答这类题需要用到导数的相关知识。 其命题热点经常是与导数知识的综合考查， 出现频率较高的题型是最值、 范围问题， 单调性或方程根的讨论等综合问题。二、重难点提示重点：导数的定义和几何意义；和差积商的导数；复合函数的导数。难点：导数与函数单调性、极值、最值的关系； 利用导数解决不等式、函数零点等问题。一、知识脉络图导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导导数的运算导数的运算法则数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值二、知识点拨1. 导数的定义：f (x0
2、x)f ( x0 )limf (x) f (x0 )limf ( x0 2 x) f (x0 )f ( x0 ) limxx x02 xx 0x x0x 02. 导数的几何意义：（ 1）函数 yf ( x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) ，就是曲线 yf ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线的斜率；（ 2）函数 ss(t) 在点 t0 处的导数 s (t0 ) ，就是物体的运动方程s s(t ) 在时刻 t 0 时的瞬时速度；3. 要熟记求导公式、 导数的运算法则、 复合函数的导数等。 尤其注意： (log ax )1log ae 和x0 的根及导数不存在的点，这些根或
3、点也称为可能极值点；axa x ln a 。4. 求函数单调区间的步骤：（ 1）确定 f（ x）的定义域（ 2）求 f（ x）的导数（ 3）令 y0（ y0时，f（ x）在相应区间上是增函数；当 yf（ x）（或 m0）。（）令 F （ x） xf（ x），讨论 F （x）在 ( 0,) 内的单调性并求极值；2（）求证：当 x1 时，恒有 xln x 2a ln x 1。g ( x) 在 x 1 处2.已知二次函数 yg( x) 的导函数的图像与直线y2x 平行，且 y取得最小值 m 1（ m0 ）。设函数 f ( x)g( x)x（ 1）若曲线 yf ( x) 上的点 P 到点 Q（ 0，
4、2）的距离的最小值为2 ，求 m 的值；（ 2） k(k R) 如何取值时，函数yf ( x)kx 存在零点，并求出零点。3.已知 x 3 是函数 f (x) aln(1x)x2 10x 的一个极值点。（）求 a ；（）求函数 f (x) 的单调区间；（）若直线 yb与函数 yf ( x) 的图像有3 个交点，求 b 的取值范围。一、选择题1. Df(0)=20 +2 0+b=0 ，解得 b=-1 ，所以因为 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，所以有当 x 0时， f(x)=2 x +2x-1，即 f(-1)=-f(1)=- （21 +21-1）=-3，故选 D2. A111由题意得：所求封
5、闭图形的面积为1231-0（ x-x)dx=1=，故选 A。34123. B2 1 320因为 f ( 1)0 ， f (0)010 ，所以选 B4. A2，所以ky x 1，故切线方程为y2 x1。y( x 2)225. A二、解答题：1. （）解：根据求导法则有f( x) 12ln xx故 F (x) xf ( x)x 2ln x2a， x0 ，于是 F ( x) 1 2x 2， x0 ，xx列表如下：x(0，2)22a， x0 ，(2， )F ( x)0F ( x)极小值 F (2)故知 F ( x) 在 (0，2) 内是减函数，在 (2， ) 内是增函数，所以，在x2 处取得极小值F
6、(2) 2 2ln 22a 。（）证明：由 a 0知， F (x) 的极小值 F (2)2 2ln 22a0。于是由上表知，对一切x(0， ) ，恒有 F ( x)xf ( x)0 。从而当 x0时，恒有f( x)0 ，故 f ( x) 在 (0， ) 内单调增加。所以当 x1时， f ( x)f (1)0，即 x 1 ln 2 x2a ln x0 。故当 x1 时，恒有 xln 2 x2a ln x 1 。2.解：（ 1）设 gxax2bxc ，则gx2ax b ；又 gx的图像与直线 y2x 平行2a2， a1又 gx在 x1 处取得极小值，b1 ， b22g 1 a b c 1 2 c
7、m 1， c m ；f xg xxm2 ，设 P( x0 , y0 )xx2m22x022x02m2x022 2 2m2则 PQy02x02x0x022 2m224 ， m22m（2）由 y f x kx 1 k x20 ，x得 1kx22xm0*当 k1*有一解 xmfxkx 有一零点 xm时，方程，函数 y2；2当 k1 时，方程*有两解44m 1k0 ，若 m 0 ， k1，1m函数 yfxkx 有两个零点： x244m 1k11m 1k；若 m0 ，2 1kk1k 11fxkx有两个零点：x244m 1k1 1m 1k，函数 y；m2 1kk1当 k1时，方程 *44m 1k0 ， k
8、11fxkx 有有一解，函数 ym一零点 x1k13. 解：（）因为f(x)a2x10 ，1xa所以 f(3)6 100 。因此 a16 。4当 a16 时， f( x)162x102 x24x 32 x 3 x 1，1xx1x1由此可知， 当 x1,3时， f ( x) 单调递减， 当x3,时， f (x) 单调递增， 所以，当 a16 时， x3是函数 f ( x)a ln(1x)x 210 x 的一个极值点。于是， a16 。（）由（）知，f ( x)16ln(1x) x210x， x (1，) ，f( x)2x3x1x1。当 x(11)，(3，) 时， f (x)0，当 x(13)， 时， f( x)0 ，所以 f( x) 的单调增区间是( 11)，(3，) ， f (x) 的单调减区间是(13)， 。（）yb 与 yfx的图象有 3 个交点；等价于fxb 有 3 个实数根；即f xb0有 3 个实数根；此时，函数fxb 的图象与 x轴有 3 个不同交点，令xfxb16ln 1xx210xb ，则x162 x102x1x3