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1、云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中)2021届高三第一次联考(11月)数学(理)试题云南省部分名校高2014届11月份统一考试（玉溪一中、昆明三中）理科数学试卷命题：昆明三中高2014届数学备课组本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共5页。满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2、干净后，再选涂其它答案标号。3. 答非选择题时，必须使用黑色碳素笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数20132013121i z i +=-（i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2. 已知集合|13,|4,A x x B x x x Z =，则A B =（ ） A （1，3）B 1，3C 1，3D 1，2，33.已知函数()2sin sin )
3、1f x x x x =-+，若()f x ?-为偶函数，则?可以为（ ） A 2B 3C 4D 6 4. 已知2,3,a b a =+ ，则a b - =（ ）A BCD 5一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A.B.C.D.6. 若1sin()34-=，则cos(2)3+=（ ）A. 78-B. 14- 俯视图C.14D.78 7. 等比数列n a 中,已知对任意正整数n ,12321n n a a a a +=- ,则2222123n a a a a + 等于（ ）A )14(31-nB )12(31-nC 14-n D 2)12(-n8.已知程序框图如图所示，则该程序
4、框图的功能是( ) A 求数列1n ?的前10项和 (n N *)B 求数列1n ?的前11项和(n N *)C 求数列12n ?的前10项和(n N *) D 求数列12n ?的前11项和(n N *) 9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ?的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9，则p =( ) A 2B 4C 6D 810. 记实数1x ，2x ，n x 中的最大数为12max ,n x x x ,，最小数为12min ,n x x x ,，则2max min 116x x x x +-+-+=，（
5、）A 34B 1C 3D 7211. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=的左焦点F 作圆22214x y a +=的切线，切点为E ，直线EF交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率是（ ）A B CD 12. 已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x ，若()f x 满足：(1)()()0-x f x f x ，22(2)()-=x f x f x e ，则下列判断一定正确的是（ ）A (1)(0)B (2)(0)f efC 3(3)(0)f e fD 4(4)(0)第卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每
6、小题5分，共20分。将答案填在答题卡上） 注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上13.在昆明市2014届第一次统测中我校的理科数学考试成绩()290,(0)N ,统计结果显示(60120)0.8P =,假设我校参加此次考试的人数为420人，那么试估计此次考试中.我校成绩高于120分的有 人.14.已知半径为5的球O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为 .15. 在区间15,?和24,?分别取一个数,记为a b , 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴的椭圆的概率为 . 16.设数列n a 满足1231,4,9a a a
7、 =,123(n 4,5,)n n n n a a a a -=+-= ,则2013a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分12分）在ABC ?中，角A B C 、所对的边分别为a b c 、sin cC=，（1）求A 的大小；（2）若6=a ，求ABC ?的周长的取值范围.18. （本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为010，分为五个级别，02 畅 通；24 基本畅通；46 轻度拥堵；68 中度拥堵；810 严重拥堵早高峰时段，从昆明市交通指挥中心随机选
8、取了二环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图（1） 据此估计，早高峰二环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（2）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD /BC ，ADC =90，平面PAD 底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD （1）求证：平面PQB 平面PAD ；（2）若二面角M QB C
9、-为30?，试确定点M 的位置. 20. （本小题满分12分）已知圆222:()16(0)M x y a a +=及定点,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点G 在MP 上，且满足GP GN =，G 点的轨迹为曲线C 。（1）求曲线C 的方程；（2）若点(1,0)A 关于直线0(0)x y t t +-=的对称点在曲线C 上，求a 的取值范围。21. （本小题满分12分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a .（1）若对任意的0,+)x ,有2()f x kx 成立，求实数k 的最小值；（2）证明：=12ln (2+1)i n i -*()n N.请考生在第22
10、、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号22（本小题满分10分）【选修41：几何选讲】在ABC ?中，AB AC =，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D 。 （1）求证：PC PDAC BD=； （2）若AC =3，求AP AD ?的值。PDCBA 23.（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为?=?sin cos b y a x （0b a ，?为参数），在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线1C 上的点)23,1(
11、M 对应的参数3?=，射线3=与曲线2C 交于点)3,1(D （1）求曲线1C ，2C 的方程； （2）若点),(1A ，)2,(2+B 在曲线1C 上，求222111+的值 24（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】(1)求M ;云南省部分名校高2014届11月份统一考试理科数学答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.4215.1532分析：方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴且离心率小于的椭圆时，有22a b c e a ?=，即22224a b a b ?求得阴影部分的面积为154，故152432S P =?阴影 16.8049三、解答题：本大题共6
12、小题，共70分 17. （本小题满分12分）解：sin sin c aC A=从而sin A A =，tan A = 0A A =5分（）法一：由正弦定理得：6sin sin sin 3b c B C =.b B =，c C =，7分 2sin )sin sin()3b c B C B B ?+=+=+-? 31sin 12cos 22B B B B ?=+?12sin 6B ?=+ ?.9分5666B 10分 612sin 126B ?从而ABC ?的周长的取值范围是(12,18.12分法二：由已知：0,0b c ，6b c a +=由余弦定理得：222362cos ()33b c bc b
13、 c bc =+-=+-22231()()()44b c b c b c +-+=+（当且仅当b c =时等号成立） （2()436b c +?，又6b c +， 612b c 从而ABC ?的周长的取值范围是(12,18.12分 18. （本小题满分12分）解：（1）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.1P A =2分 事件B “至少一个路段严重拥堵”，则3()(1()0.729P B P A =-=()1()0.271P B P B =-=所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.2715分（239.96EX =此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟12分 19.（本小题
14、满分12分） （1）AD / BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， 四边形BCDQ 为平行四边形，CD / BQ ADC =90 AQB =90 即QB AD 又平面PAD 平面ABCD 且平面PAD 平面ABCD=AD ， BQ 平面PAD BQ ?平面PQB ，平面PQB 平面PAD 5分 （2）PA =PD ，Q 为AD 的中点， PQ AD 平面PAD 平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD=AD ， PQ 平面ABCD 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q，P ，B，(C -设(,)M x y z，则(,P
15、M x y z =，(1,)MC x y z =-，PM tMC =， 6分 (1)(x t x y t y z t z =-?=-?=-?）， 1t x t y z ?=-?+?=?=? 9分在平面MBQ中，QB =，(1t QM t =-+ ， 平面MBQ法向量为)m t = 10分二面角M-BQ-C 为30，cos30n m n m ?= 3t = 12分20. （本小题满分12分） （1）解：设(,)G x y ，4,PG GM a PG GN +=且4,GM GN a +=由椭圆定义得：曲线C 的方程为222214x y a a+= 5分（1） 设(1,0)A 关于直线0(t 0)x
16、 y t +-=的对称点为(m,n)A ，则(1)111022nm m n t ?-=-?-?+?+-=?，1m t n t =?=-?7分 (,1)A t t -，(,1)A t t -在曲线C :222214x y a a+=上，2224(1)4t t a +-=，化简得：2258440(0)t t a t -+-=，9分 此方程有正根，令22()5844,f t t t a =-+-其对称轴为405t =， 22(8)45(44)0a ?=-?-，a a ， 0a ，a 。12分 21. （本小题满分12分）解：(1)f (x )的定义域为(a ，) f (x )11x a x a 1x
17、 a.由f (x )0，得x 1a a . （1分） 当x 变化时，f (x )，f (x )的变化情况如下表：因此，f (x )在x 故由题意f (1a )1a 0，所以a 1. （2分） 【法一】：当k 0时，取x 1，有f (1)1ln20， 故k 0不合题意当k 0时，令g (x )f (x )kx 2， 即g (x )x ln(x 1)kx 2.g (x )xx 12kx x 2kx (12k )x 1.令g (x )0，得x 10，x 212k2k1.当k 12时， 12k 2k 0，g (x )0在(0，)上恒成立，因此g (x )在0，)上单调递减，从而对任意的x 0，)，总有
18、g (x )g (0)0，即f (x )kx 2在0，)上恒成立，故k 12符合题意当0k 12时，12k 2k 0, 对于x ?0，12k 2k ，g (x )0，故g (x )在?0，12k 2k 内单调递增，因此当取x 0?0，12k 2k 时，g (x 0)g (0)0，即f (x 0)kx 20不成立，故0k 12不合题意综上，k 的最小值为12.（7分）【法二】： 2ln(1)x x k x -+，令2ln(1)()x x F x x -+=，从而max (x)k F （3分） 2322(1)ln(1)(x)(1)x x x x F x x -+=+，令2()22(1)ln(1)g
19、 x x x x x =-+ 则()22ln(1)g x x x =-+ 2()21g x x =-+， 显然()g x 在(0,)+上单调递减，()g(0)0g x =，()g x 在(0,)+上单调递减， ()g(0)0g x =，()g x 在(0,)+上单调递减，()g(0)0g x =，()0F x ，从而()F x 在(0,)+上单调递减，（6分）所以()max 2 02 11ln(1)1(x)lim ()limlim2111lim22x x x x x x x k F F x x x x -+=+=洛必达法则洛必达法则k 的最小值为12. （7分） (2) 在(1)中取k 12，
20、得f (x )x 22(x 0)，（8分）证明：当n 1时，不等式左边2ln32右边，所以不等式成立（9分） 当n 2时，i 1nf ?22i 1i 1n ?22i 1ln ?122i 1i 1n 22i 1i 1n ln(2i 1)ln(2i 1) i 1n 22i 1ln(2n 1)（10分） 从而f ?22i 12(2i 1)22(2i 3)(2i 1)(i ，i 2)， 所以有i 1n22i 1ln(2n 1)i 1n f ?22i 1f (2)i 2n f ?22i 12ln3i 2n 2(2i 3)(2i 1) 2ln3i 2n?12i 312i 12ln3112n 12.综上，i
21、 1n 22i 1ln(2n 1)2. （12分） 22（本小题满分10分）【选修41：几何选讲】 ()证明：D D ABC CPD =, ， DPC ?DBA ?，BDPDAB PC = 又BDPDAC PC AC AB =, 5分 ()解： ,CAP CAP APC ACD = APC ?ACD ?ADACAC AP =，92=?=AD AP AC 10分 23.（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3?=，代入?=?sin cos b y a x ，得?=3sin 233cos 1b a ， 即?=12b a ，2分所以曲线1C 的方
22、程为?=?sin cos 2y x （?为参数），或1422=+y x.3分设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为cos 2R =,(或222)(R y R x =+-).将点)3,1(D 代入cos 2R =,得3cos 21R =,即1=R .(或由)3,1(D ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ),所以曲线2C 的方程为cos 2=,或1)1(22=+-y x .5分（II ）因为点),(1A ，)2,(2+B 在在曲线1C 上,所以1sin 4cos 221221=+,1cos 4sin 222222=+,所以45)cos 4sin ()sin 4cos (1122222221=+=+. 24（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】 略