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1、分数相对性的数学模型及其应用什么是分数的相对性呢？分数可以表示整体与部分的关系；对于任何一个整体量，它的每一个部分量都可以用一个确定的分数来表示，反之亦然。 例如，对于整体量12，它的各部分与分数之间一一对应关系可以画下面的线段图来表征：0 2 4 6 8 10 12 0 1这个线段图等价于下面的比例表： 绝对数量 2 4 6 8 10 12相对数量 1弗赖登塔尔曾经特别指出：“在一条直线上双重刻度与比例表是同构的。”（数学教育刺探在中国的讲学）把直线上双重刻度的线段图作为分数相对性的直观的数学模型，具有高度的统摄性。它的应用十分广泛。想一想：下面的线段图，分别可以表征哪些关于分数的数学问题呢
2、？0 ？ 120 1 图10 10 120 ？ 1 图20 10 ？0 1 图3图1可以表征如下的数学问题：（1）12的是多少？（2）12减少，剩下多少？图2可以表征如下的数学问题：（1）10是12的几分之几？（2）12减少2，还剩几分之几？图3可以表征如下的数学问题：（1）10是什么数的 ？（2）什么数减少，还剩下10？解决实际问题，首先要从中提出数学问题。从分数的实际问题提出的数学问题，都可以用上述的线段图来表征，然后根据线段图的意义列出算式或方程，这就是“从现实世界引到符号世界”的横向数学化的过程。接着，则是纵向数学化，即计算或解方程。例1小华攒了35元的零用钱，他拿出其中的捐给地震灾区
3、的希望小学，小华捐了多少钱？从这个实际问题提出的数学问题可以表征如下： 0 ？ 35 0 1图4根据图4，有两种算法：算法1： 35537321（元）。算法2： 3521（元）。答：小华捐了21元。例1可以变式：小华向地震灾区的希望小学捐了21元，是他攒的零用钱的，小华原来攒了多少钱？从这个实际问题提出的数学问题可以表征如下： 0 21 ？ 0 1图5根据图5，有三种算法：算法1： 21357535（元）。算法2： 设：小华原来攒了x元。 x21，两边同乘，得 x21， x35。学过分数除法后，还有如下一种算法：算法3： 212135。答：小华原来攒了35元。例1还有一种问题变式：小华攒了35
4、元的零用钱，他拿出21元捐给地震灾区的希望小学，小华捐的钱是他攒的零用钱的几分之几？这个问题就留给读者自己去解决。例22001年某地超级杂交水稻的种植面积是25万公顷，比2000年增加，2000年超级杂交水稻的种植面积是多少万公顷？从这个实际问题提出的数学问题可以用下图表征： 0 ？ 25 0 1 1图6根据图6，有三种算法：算法1：25545420（万公顷）。算法2：设：2000年超级杂交水稻的种植面积为x万公顷。 （1）x25， x25， x20。算法3：25（1）252520。答：2000年超级杂交水稻的种植面积是20万公顷。在新世纪版的小学数学教材中，上述引入方程的解法是为了化解直接列
5、分数除法算式的难点。到了六年级下册，学习了正比例关系后，根据上图直接列出除法算式也不难。关于例2可以怎样变式，也留给读者自己去探讨。如果把例1、例2中的分数改为60、改为25，那么分数的实际问题就变成了百分数的实际问题了。所以，上述线段图稍加修改，同样可以用于表征从百分数实际问题提出的数学问题。甚至，按比分配问题，可以转化为分数的应用问题，因此上述线段图在解决按比分配的实际问题中仍有用武之地。例3如果有140个橘子，按3 ：2怎样分？为了把按比分配问题转化为分数的应用问题，就要把140视为整体量。把它按3 ：2分成两个部分，就必须知道每一部分占整体的几分之几。为此，要对3 ：2进行等比变形，即
6、325，根据分数的基本性质，有3 ：2 ：，且1。于是，从按比分配的实际问题中提出的数学问题可以表征为： 0 ？ ？ 140 0 1 图7学习正比例关系后，我们知道在直线双重刻度的数学模型中，蕴含着相等的数学关系，即绝对数量与它对应的相对数量成正比；0 a b0 c d图8图8中蕴含的等量关系是acbd。这个等量关系还有如下等价形式：abcd，adbc，等。可见，分数相对性的数学模型，可以把分数的应用、百分数的应用、比的应用以及正比例关系全部贯通都来，数学变得如此和谐、简单。抓住绝对数量与相对数量之间的等量关系，那么，不论是分数、百分数或者比的实际问题，只要能够用直线上的双重刻度来表征其中的数
7、学问题，就能够列出算式或方程加以解决，不需要用死记硬背，也不需要生搬硬套了。例41985年，笑笑家的食品支出与其他支出分别占总支出的65和35，食品支出比其他支出多210元。你知道笑笑家这一年的总支出是多少元吗？从这个实际问题提出的数学问题可以表征为： 210 0 ？ ？ ？ 0 35 65 1 图9解：设：笑笑家1985年的总支出是x元。则图9可以充实为下图： 210 0 35x 65x x 0 35 65 1 65x35x210， 30x210， x700。答：1985年笑笑家的总支出是700元。例4也有算术解法，但用算术解法，还须进一步分析图9中的数学关系，提出如下两个简单的数学问题： 210是总支出的百分之几？（653530） 210是什么数的30？（21030700）而方程的解法只要直接从图9找等量关系。比较两种解法和思路，不难体会方程解法的优越性。