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1、21.3.1 二次函数与一元二次方程间的关系教学目标【知识与技能】掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点个数与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似 解.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的联系. 【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解.【难点】用数形结合的思想解方程.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与 x 轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与 x 轴
2、平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与 x 轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与 x 轴有 1 个交点时,你能求出 它与 x 轴交点的坐标吗?比如一次函数 y=2x-3,它的图象与 x 轴交点的坐标是多 少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与 x 轴可能会有几个交点?我们可以借助什 么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数 y=x2+3x+2 的图象如图所示,根据图象回答问题:1. 它与 x 轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2. 当 x 取公共点的横坐标时,函数的值是多
3、少?3.由此你能求出方程 x2+3x+2=0 的根吗?4.方程 x2+3x+2=0 的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题. 学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与 x 轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2 和-1.这时函 数值都为 0,所以方程 x2+3x+2=0 的根为-2 和-1.方程 x2+3x+2=0 的解与交点的横 坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程 ax2+bx+c=0 的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨
4、论.生:函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的个数与方程 ax2+bx+c=0 根的个数一样,所以也有三种情况:令 =b2-4ac,当 0 时,函数图象与 x 轴有两个交点,方 程有两个根;当 =0 时,函数图象与 x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当 0 时,函数图象与 x 轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出 二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】 用图象法求一元二次方程 x2+2x-1=0 的近似解(精确到 0.1).解:画出函数 y=x
5、2+2x-1 的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3 和-2 之间,另一个在 0 和 1 之间. 先求位于-3 和-2 之间的根.由图象可估计这个根是-2.5 或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:xy-2.50.25-2.4-0.04观察上表可以发现,当 x 分别取-2.5 和-2.4 时,对应的 y 由正变负,可见在-2.5与-2.4 之间肯定有一个 x 使 y=0,即有方程 x2+2x-1=0 的一个根.题目只要求精确到 0.1,这时取 x=-2.5 或 x=-2.4 作为根都符合要求.但当 x=-2.4 时,y=-0.04 比 y=0.25(x=-2.5)更接近 0,
6、故选 x=-2.4.同理,可求出方程 x2+2x-1=0 在 0 和 1 之间精确到 0.1 的另一个根.方程 x2+2x-1=0 的近似解还可以这样求:分别画出函数 y=x2和 y=-2x+1 的图象,如图,它们的交点 A、B 的横坐标就是方程 x2+2x-1=0 的根.如有条件,可以在计算机上用几何画板处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别是 .【答案】x =1,x =-51 22.判断下列二次函数的图象与
7、 x 轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有, 请说明理由.(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8;(4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点, =b2-4ac=32-415=-110;(3)无交点, =b2-4ac=(-7)2-438=-47-且 k0.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第 33 页练习的 1、2. 学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要
8、充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函 数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更 高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方 法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割 裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在 一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联 系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性质去解决现实生活中的一些问题, 进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的 思想,更体现了学好数学的重要意义.