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1、专题 01质数那些事阅读与思考一个大于1 的自然数如果只能被1 和本身整除， 就叫作质数 (也叫素数 )；如果能被1 和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数 1 既不是质数，也不是合数，叫作单位数这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：单位 1正整数质数合数关于质数、合数有下列重要性质：1质数有无穷多个，最小的质数是21 既不是质数，也不是合数；2，但不存在最大的质数，最小的合数是2 是唯一的偶质数43若质数p |ab，则必有p | a 或p | b 4算术基本定理：任意一个大于1 的整数N 能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系 )：N=Pa1 Pa212Pakk，
2、其中P1P2P ，kP 为质数，ia 为非负数i( i=1， 2，3， ，k )正整数N 的正约数的个数为(1 a1 )(1a1 )(1a1 )，所有正约数的和为(1 P1 P1a1)(1P2 P2a2)(1Pk Pkak )例题与求解【例1】已知三个质数a， b ，c满足a b c abc，那么a b b cc a的值等于=99_ (江苏省竞赛试题 )解题思想： 运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a ， b ， c 的值【例 2】若 p 为质数， p3 5 仍为质数，则p5 7 为 ()A 质数B可为质数，也可为合数C合数D既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想： 从简单情形
3、入手，实验、归纳与猜想【例 3】求这样的质数，当它加上10 和 14 时，仍为质数(上海市竞赛试题)解题思想： 由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论【例4】 将1，2， ，2004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n ，求证：n 一定是合数 若n 是大于2 的正整数，求证：2n 1 与 2n 1 中至多有一个质数 求360 的所有正约数的倒数和(江苏省竞赛试题)解题思想： 将1 到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排， 所得数都有非 1 和本身的约数；只需说明可；逐个求解正约数太麻
4、烦，考虑整体求解2n 1 与 2n 1 中必有一个是合数，不能同为质数即【例 5】设 x 和 y 是正整数，x y ， p 是奇质数，并且112，求 x y 的值xyp解题思想： 由题意变形得出p 整除 x 或 y ，不妨设 xtp 由质数的定义得到 2 t 1=1 或 2 t 1= p 由 x y 及 2 t 1 为质数即可得出结论【例 6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”如 2，3， 5，7，11，13(31) ，17(71) ，37(73) ，79(97) ，113(131，311)，199(919 ，991)，337(373，733)， 都是质数 求
5、证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1， 3， 7，9(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想： 一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字 0， 2， 4，5， 6， 8，否则，进行适当排列后，这个数能被2 或 5 整除能力训练A 级若a， b ，c， d 为整数， a2b2c2d2=1997，则a2b2c2d2=_12在 1， 2， 3， ， n 这个 n 自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数， k个奇数， m 个偶数，则 ( q m ) ( p k )=_ 3设 a ， b 为自然数，满足1176 a = b3 ，则 a 的最小值为 _(“希
6、望杯”邀请赛试题)已知 p 是质数，并且p63也是质数，则1148的值为_4p(北京市竞赛试题)5任意调换 A 412345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是B8C12D0()6在 2 005， 2 007，2 009 这三个数中，质数有(A0 个B1个C2个)D3 个(“希望杯”邀请赛试题)7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有 ()A1个B3 个C5个D6 个(“希望杯”邀请赛试题)8设 p ， q ， r 都是质数，并且p q = r ， p q 求 p 9写出十个连续的自然数，使得个个都是合数(上海市竞赛试题)10在黑板上写
7、出下面的数2，3， 4， ， 1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去， 若最后剩下的两个数互质， 则甲胜； 若最后剩下的两个数不互质， 则乙胜， 你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由(五城市联赛试题)11用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x cm 规格的地砖，恰用n 块，若选用边长为 ycm规格的地砖， 则要比前一种刚好多用124块，已知x， y ， 都是正整数， 且( x，y)=1，n试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B 级1若质数 m ， n 满足 5 m 7 n =129，则 m n 的值为 _ppqq2已知 p ， q 均为
8、质数，并且存在两个正整数m ， n ，使得 p = m n ， q = m n ，则mnnm的值为 _3自然数 a ， b ， c ， d ， e 都大于1，其乘积 abcde=2 000，则其和 a b c d e 的最大值为 _，最小值为_ (“五羊杯”竞赛试题)4机器人对自然数从1 开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_ (北京市“迎春杯”竞赛试题)5若a ， b 均为质数，且满足a11 b =2 089 ，则49 b a =_A 0B 2 007C 2 008D 2
9、010(“五羊杯”竞赛试题)设a为质数，并且7 a2 8和8 a2 7也都为质数，记x =77a， y=88 a，则在以下情形687中，必定成立的是 ()A x ， y 都是质数B x ， y 都是合数C x ， y 一个是质数，一个是合数D对不同的 a ，以上皆可能出现(江西省竞赛试题 )7a， b ，c， d 是自然数，并且a2b2c2d2 ，求证：a b c d 一定是合数设(北京市竞赛试题)8请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： 6 个数中任意两个都互质； 6 个数任取2 个， 3 个， 4 个， 5 个， 6 个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由9已知正整数p ， q
10、 都是质数，并且7 p q 与 pq 11 也都是质数，试求pqqp 的值(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41 名运动员所穿运动衣号码是1， 2， ， 40，41 这 41 个自然数，问：(l) 能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由专题 01 质数那些事例1 34例 2 C例 33 符合要求提示：当p=3 k1 时， p 10=3k 11， p14=3( k 5)，显然 p14 是合数，当p=3k2 时， p 10=3(k 4)是合
11、数，当p=3k 时，只有 k=1 才符合题意例 4 （ 1）因 1 2 2004= 1 2004（ 1 2004）=1002 2005 为 3 的倍数，故无论怎样交换这20042个数的顺序，所得数都有3 这个约数（2）因 n 是大于 2 的正整数， 则 2n 1 7， 2n 1、 2n 、 2n 1 是不小于7 的三个连续的正整数，其中必有一个被3 整除，但3 不整除2n ，故 2n 1 与 2n 1 中至多有一个数是质数（3）设正整数a 的所有正约数之和为b， d1 ， d2 ， d3 ， ， dn 为 a 的正约数从小到大的排列，1111于 是 d1 =1 ， dn =a 由 于 Sd2d
12、3中 各分 数 分 母 的 最 小 公 倍数 dn =a ， 故d1d nS= dndn 1d1 = d1d2dn= b ，而 a=360= 23 32 5 ，故 b=（ 12 22 23 ）（ 1dndndndna 3 32 ）（ 15） =1170 b = 1170 = 3 1 a 3604例 5由 x y =2 ，得 x y= 2xy =k（ k 为正整数），可得 2xy=kp，所以 p 整除 2xy 且 p 为奇质数，故xypptp为整数又 t 与 2t1 互质，故 2t1整除 p，p 整除 x 或 y，不放设 x=tp，则 tp y=2ty，得 y=2t1p 为质数，所以 2t 1=
13、1 或 2t 1= p若 2t 1= ，得 t=1，x=y=p，与 xy 矛盾；若 2t 1=p，则 xxyy =2 ，p2xy=p（x y） p 是奇质数，则 x y 为偶数， x、y 同奇偶性，只能同为xy= p xy必有某数含2因数 p令 x=ap， ay= apy ， 2ay=ap y y=ap，故 a， 2a 1 互质， 2a 1 整除 p，又 p22a1是质数，则2a 1=p，a=p 1 ，故 x=p1 p =p p1 ， x y= pp 1 p1=p1 2。222222例 6设 N 是一个同时含有数字1，3，7，9 的绝对质数 因为 k0 =7931 ， k =1793， k2
14、=9137， k3 =7913，k4 =7193 ， k5 =1937 ， k6 =7139 除以 7 所得余数分别为0，1， 2，3， 4，5， 6故如下 7 个正整数：N0C1C2Cn 4 7931=L L 104k0 ，N1C1C2Cn 41793 =L L 104k1 ，N6C1C2Cn 4 7139 =LL 104k6 ，其中，一定有一个能被7 整除，则这个数就不是质数，故矛盾A 级1 19982 13 634 20005D6 A7 B8由 r =p q 可知 r 不是最小的质数，则为奇数，故p， q 为一奇一偶，又因为p q故 p 既是质数又是偶数，则p=29设十个连续合数为k 2
15、，k 3，k4， ，k10，k 11，这里 k 为自然数， 则只要取 k 是 2，3，4， ，11 的倍数即可10选甲 提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（ 2，3），（ 4， 5），（6， 7）， ，（ 1992， 1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数11设这块地面积为S，则 S= nx 2=（ n 124） y2 n x2y 2 =124 y2x y（ x， y） =1（ x2， y2 ） =1（ x 2y2 ， y 2 ） =1 得 x2y2 124 124=22，22（）（
16、 ）31xy=yxxyxy31，或xy62y1xy2xx16，或x32（舍）15y30y124 y2此时 n=900 x2y2 S= nx2 =900 16 2 =230400c m 2 =23 04m 2 。B 级119 或 25312提示： q=mn，则 m、 n 只能一个为1，另一个为q33 133234 20015 B 提示：唯有 a=2，b=2089 211=2089 2048=41 是质数，符合题意6 A 提示：当 a=3 时，符合题意；当a 3时， a2 被 3 处余 1，设 a2=3n 1，则 7 a2 8=21 n 15，8 a2 7=24n15，它们都不是质数，与条件矛盾故
17、a=3 7 a2 a， b2 b， c2 c， d 2 d 都是偶数，即 M= a 2b2c2d 2 （ a b c d）是偶数因为 a2b2= c 2d 2 ，所以 a 2b2c2d 2=2（ a 2b2 ）是偶数，从而有 a b cd= a2b2c2d 2 M=2 （ a 2b 2 ） M，它一定是偶数，但ab c d2，于是 a b c d 是个合数8 取六个数 ai i (1 2 3 45 6) 1(i 1，2， ， 6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设 a2 与 a5 不互质，设 d 是 a2 与 a5 的最大公约数，则d 必是 (5 2) 1 2 3 4 5 6，即 31
18、 2 3 4 56 的一个因子，但从a2 2 1 23 4 56 1知， d 不整除 a2，这与假设d 是 a2与 a5 的最大公约数矛盾，故a2 与 a5 互质9 由 pq 11 11 且 pq 11 是质数知， pq 11 必为正奇数，从而p 2 或 q 2(1) 若 p 2，此时 7p q 及 2q 11 均为质数 设 q 3k 1，则 q 14 3(k 5)不是质数； 设 q 3k 2，则 2q113(2k 5)不是质数，因此 q 应为 3k 型的质数，当然只能是q 3(2) 若 q 2，此时 7p q 与 2p 11 均为质数，设p 3k1，则 7p 2 3(7k 3)不是质数；设
19、p 3k 2，则 2p 11 3(2k 5)不是质数，因此， p 应为3k 型的质数， p 3综合 (1)， (2) 知 p 3， q2或 p 2， q 3，所以 pq 十 qp 1710 (1)能办到提示：注意到 41 与 43 都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3， 5，7， ， 41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1， 40，3， 38，5， 36， 7， 34， ，8， 35，6， 37，4， 39， 2， 41.这样任何相邻两数之和都是41 或 43.满足题目要求(2) 不能办到提示：若把 1，2，3， ， 40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶但现有20 个偶数， 21 个奇数，总共是 41 个号码，由此引出矛盾，故不能办到，