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1、2011中考冲刺数学专题6综合型问题【备考点睛】综合型问题是在相对新颖的数学情境中综合运用数学思想、方法 、知识以解决问题，涉及的主要知识点有代数中的方程、函数、不等式，几何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四边形和圆；涉及的主要思想方法有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等；要求学生具有融会贯通迁移整合知识的能力、分析转化与归纳探索的能力、在新情境下解决新问题的创新能力学生做好以下两项工作，解决综合型问题的水平将有较大提高：全面掌握初中数学的基础知识、方法、技能，熟练掌握重点、热点知识及重要的数学思想、方法，注重归纳整理形成整体，防止知识出现断链。适度进行综合性
2、训练并善于总结解题体会，对知识形成发散、迁移及应用能力，提高解题技能，体会数学思想与方法的运用，形成解题策略，如运用转化思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题，借助几何直观去分析、推理等【经典例题】类型一、以几何图形为背景的综合题例题1 （2010四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点（点P不与点B、C重合），过点P作直线PQBD,交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x, PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。（1）求CPQ的度数。（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）当点R在矩形AB
3、CD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。解答：（1）四边形ABCD是矩形 AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=2,C=90 CD=6,BC=2 tanCBD= CBD=60PQBD CPQ=CBD=60（2）如题图（1）由轴对称的性质可知RPQCPQRPQ=CPQ,RP=CP.由（1）知RPQ=CPQ=60 RPB=60,RP=2BPCP=x RP=x ,PB=2-x. 在RPB中，有2（2-x）= x x=（3）当R点在矩形ABCD的外部时（如题图），x2 在RtPBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x） RP=CP=x ER=RF-PF=3x-4 在RtER
4、F中 EFR=PFB=30 ER=RFtan30=x-4 ERF=ERFR=(x-4)( 3x-4)=-12x+8 又PQR=CPQ=xx= y=PQR-ERF 当x2时，函数的解析式为y=-（-12x+8）=-+12x-8 （x2）y=-+12x-8 =-(x-2)+4当x2时，y随x的增大而增大函数值y的取值范围是y4例题2 （2010 山东东营） 如图，在锐角三角形ABC中，ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与，重合），且保持DEBC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG.（1） 当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；BADEFGCMN
5、（2）设DE = x，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.解答：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.SABC=48，BC=12，AM=8. DEBC，ADEABC, ，BADEFGC而AN=AMMN=AMDE，. 解之得.当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.（2）分两种情况：当正方形DEFG在ABC的内部时，如图（2），ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，DE=x，此时x的范围是4.8当正方形DEFG的一部分在AB
6、C的外部时，如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，MBADEFGCNPQABC的高AM交DE于N，DE=x，DEBC，ADEABC,分即，而AN=AMMN=AMEP, ，解得.所以, 即.由题意，x4.8，x12,所以.因此ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为(023.04，所以ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. 例题3 （2010 浙江义乌）如图1，已知ABC=90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.（1）如图2，当BP=BA时，EBF=
7、，猜想QFC= ；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；图1ACBEQFP图2ABEQPFC图1ACBEQFP（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式解答： （1） 30 = 60不妨设BP, 如图1所示BAP=BAE+EAP=60+EAP EAQ=QAP+EAP=60+EAPBAP=EAQ 在ABP和AEQ中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABPAEQAEQ=ABP=90BEF=60 (3)在图1中，过点F作FGBE于点G ABE是等边三角形 BE=AB=，由（1）得30 在RtBGF中， BF= EF=2
8、ABPAEQ QE=BP= QF=QEEF 过点Q作QHBC，垂足为H在RtQHF中，（x0）即y关于x的函数关系式是：例题4 （2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上. 另一等腰的顶点在第四象限，现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止（1）求在运动过程中形成的的面积与运动的时 间之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边的边上（点除外）存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图(2
9、)，现有，其两边分别与， 交于点，连接将绕着 点旋转（旋转角），使得，始终在边和边上试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由解答：（1）过点作于点（如图）， ， 在Rt中， （）当时，,；过点作于点（如图） 在Rt中， 即 （）当时，（如图），即故当时，当时，（2）或或或（3）的周长不发生变化延长至点，使，连结（如图）， 又 的周长不变，其周长为4类型二、以函数图像为背景的综合题例题5 （2010甘肃兰州） 如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
10、（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由图1 图2解答： （1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为由得当x=2时，该抛物线的最大值是4. （2） 点P不在直线ME上. 已知M点的坐
11、标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，设直线ME的关系式为y=kx+b.于是得 ，解得所以直线ME的关系式为y=-2x+8. 由已知条件易得，当时，OA=AP=， P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. 来源: 当时，点P不在直线ME上. 以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， OA=AP=t. 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) AN=-t 2+4t (0t3) , AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)0 , PN=-t 2+3 t （）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，
12、C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD， S=DCAD=32=3. （）当PN0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 PNCD，ADCD， S= (CD+PN)AD=3+(-t 2+3 t)2=-t 2+3 t+3当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2 而1、2都在0t3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N点的坐标（1,3）当t=2时，此时N点的坐标（2,4）说明：（）中的关系式，当t=0和t=3时也适合. 例题6 （2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）
13、的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.解答：（1）设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为. (2) 答：与相交. 证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于
14、点.可求出的解析式为.分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 例题7 （2010 四川成都）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设Q的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，Q与
15、两坐轴同时相切？解答：（1）沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ，。 将 代入，得。解得。 直线AC的函数表达式为。 抛物线的对称轴是直线解得抛物线的函数表达式为。（2）如图，过点B作BDAC于点D。 ， 。过点P作PEx轴于点E，PECO，APEACO，解得点P的坐标为（3）（）假设Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为。 当Q与y轴相切时，有，即。当时，得，当时，得， 当Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，当时，得，即，解得，。综上所述，存在符合条件的Q，其圆心Q的坐标分别为，。（）设点Q的坐标为。当Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，=此方程无解。由，得，即
16、，解得当Q的半径时，Q与两坐标轴同时相切。例题8 （2010湖南常德）如图, 已知抛物线与轴交于A (4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于F，连接CE，当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标;（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标解答：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：解得：故所求二次函数的解析式为（2）SCEF=2 SBEF, EF/AC, , BEFBAC, 得故E点的坐标为(,0).（3）解法一：由抛
17、物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，2）若设直线的解析式为，则有解得： 故直线的解析式为若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（则有：即当时，线段取大值，此时点的坐标为（2，3）解法二：延长交轴于点，则要使线段最长，则只须的面积取大值时即可.设点坐标为（，则有: 即时，的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（2，3）【技巧提炼】解数学综合题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。1、 以坐标系为桥梁，运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点
18、是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。2、 以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。3、 利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年
19、的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。4、 综合多个知识点，运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。【体验中考】1（2010 福建德化）已知：如图，点是正方形的对角线上的一个动点(、除外)，作于点，作于点，设正方形的边长为，矩形的周长为，在下列图象中，大致表示与之间的函数关系的是（ ）. xy0Axy0Dxy0Byx0CPDABCCEF2（2010 四川南充）如图，直线l1l2，
20、O与l1和l2分别相切于点A和点B点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移O的半径为1，160下列结论错误的是（）l1l2ABMNO1（A）（B）若MN与O相切，则（C）若MON90，则MN与O相切（D）l1和l2的距离为23（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上， 点在OA上，且点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是（ ）ABC4D64（2010湖北宜昌）如图,在圆心角为90的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿MNKM运动，最后回到点M的位置。设点P运动的路程为x，P与M两点之间的距离
21、为y，其图象可能是（ ）。5（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. 6（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C（1）求点C的坐标（2）求过点A、B、C三
22、点的抛物线的解析式（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标7（2010湖北荆州）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OABC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，OAB=45，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持DEF=45（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；（3）当AE
23、F是等腰三角形时，将AEF沿EF折叠，得到，求与五边形OEFBC重叠部分的面积8（2010湖北省咸宁）如图，直角梯形ABCD中，ABDC，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒） 全品中考网（1）当时，求线段的长；（2）当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由ABCD（备用图1）
24、ABCD（备用图2）QABCDlMPE9（2010江苏扬州）在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AEx，AEF的面积为y（1）求线段AD的长；（2）若EFAB，当点E在线段AB上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由答案1【答案】A 2【答案】B 3【答案】A 4【答案】B 5
25、【答案】(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，所以 令解之得.A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）(2) 在二次函数的图象上存在点P，使设则，又,二次函数的最小值为-4，.当时，.故P点坐标为（-2，5）或（4，5）（3）如图1，当直线经过A点时，可得 当直线经过B点时，可得由图可知符合题意的的取值范围为6【答案】（1）点C的坐标是（4，0）；（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A、B、C三点的坐标代入得：解得，抛物线的解析式是：y= x2+x+2（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t以P、Q、C为顶点的三角形为
26、等腰三角形，可分三种情况讨论若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t有2t=BC=，t=若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQBC交CB于点D，则有CD=PD由ABCQDC，可得出PD=CD=，解得t=若PQ=PC，如图所示，过点P作PEAC交AC于点E，则EC=QE=PC，t=（-t），解得t=（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，点P的坐标是（2，1），直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1，直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）7【答案】（1）D点的坐标是.（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在COA的平分线上，
27、则DOE=COD=45,又在梯形DOAB中，BAO=45,OD=AB=3由三角形外角定理得：1=DEA-45,又2=DEA-451=2, ODEAEF，即：y与x的解析式为：（3）当AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况. 当EF=AF时，如图（2）.FAE=FEA=DEF=45,AEF为等腰直角三角形.D在AE上（AEOA）,B在AF上（AFEF）AEF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积.（也可用） 当EF=AE时，如图（3），此时AEF与五边形OEFBC重叠部分面积为AEF面积.DEF=EFA=45， DEAB ， 又DBEA四边形DEAB是
28、平行四边形AE=DB=当AF=AE时，如图（4），四边形AEAF为菱形且AEF在五边形OEFBC内. 此时AEF与五边形OEFBC重叠部分面积为AEF面积. 由（2）知ODEAEF,则OD=OE=3 AE=AF=OA-OE= 过F作FHAE于H,则综上所述，AEF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或8【答案】（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形，QABCDlMPEF此时，RtAQMRtACF即，（2）为锐角，故有两种情况：当时，点P与点E重合ABCD（备用图1）QPElM此时，即，当时，如备用图1，此时RtPEQRtQMA，由（1）知，而， 综上所述，或（3）为定值当2时，如备用图2
29、，ABCD（备用图2）MQRFP由（1）得， 四边形AMQP为矩形 CRQCAB9【答案】（1）AC=3，BC=4AB=5ACBC=ABCD，CD=，AD= （2）当0x时 EFCDAEFADC即EF=xy=xx= 当x5时 易得BEFBDC，同理可求EF=（5x） y=x（5x）=当0x时，y随x的增大而增大.y=,即当x=时，y最大值为 当x5时， 当时，y的最大值为 当时，y的最大值为（3）假设存在 当0x5时，AF=6x 06x3 3x6 3x5 作FGAB与点G 由AFGACD可得 ，即FG= x= =3，即2x2-12x+5=0 解之得x1=，x2= 3x15 x1=符合题意 x2=3 x2不合题意，应舍去 存在这样的直线EF，此时，x=