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1、第四章 李雅普诺夫稳定性分析,1,学习幻灯,4.3 线性系统的稳定性分析 本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 矩阵李雅普诺夫方程的求解 线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理及稳定性分析,2,学习幻灯,由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。 由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。 目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻找建
2、立李雅普诺夫函数的方法。,3,学习幻灯,设线性定常连续系统的状态方程为 x=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0,即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。,4,学习幻灯,本节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统、 线性时变连续系统和 线性定常离散系统, 如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性。,5,学习幻灯,定理4-7 线性定常连续系统 x=Ax 的平衡态xe=0为
3、渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为矩阵方程 PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫函数。 ,4.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析,6,学习幻灯,证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+AP=-Q 的正定矩阵P存在,故令 V(x)=xPx. 由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V(x)=(xPx) =xPx+xPx =(Ax)Px+xPAx =x(PA+AP)x =-xQx 而Q为正定矩阵,故V(x)为负定函数,7,学习幻灯,上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法,该方法
4、 不需寻找李雅普诺夫函数, 不需求解系统矩阵A的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。 该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。,8,学习幻灯,在实际应用中: 如果V(x,t)=-xQx沿任意一条状态轨线不恒为零,那么Q可取为非负定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充要条件为: 存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程。 Q矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的,那么最终的判定结果将与Q的不同选择无关。 由定理4-7可知,运用此方法判定系统的渐近稳定性时,最方便的是选取Q为单位矩阵,即Q=I。 于是,矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程: PA+AP=-I 求解,然后根据P的正定性来判
5、定系统的渐近稳定性。,9,学习幻灯,下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方程来判定线性定常系统的稳定性。 例4-9 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,解 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xPx 由定理4-7可知,上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程 PA+AP=-I.,10,学习幻灯,于是,令对称矩阵P为,将P代入李雅普诺夫方程,可得,展开后得,有:,11,学习幻灯,因此,得如下联立方程组:,解出p11,p12和p22,得,12,学习幻灯,为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:,由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故矩阵P为正定的。因此,系
6、统为大范围渐近稳定的。 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的全导数分别为,13,学习幻灯,例4-10 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。,解 由图可写出系统的状态方程为,14,学习幻灯,不难看出,原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵,则,只在原点处才恒为零,其他非零状态轨迹不恒为零。 因此,对上述非负定的Q,李雅普诺夫代数方程和相应结论依然成立。,15,学习幻灯,设P为实对称矩阵并代入李雅普诺夫方程,可得,求得,为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为正定。,16,学习幻灯,采用合同变换法,有,从而得到P为正定矩阵的条件,即
7、 0k6 由上例可知,选择Q为某些非负定矩阵，也可以判断系统稳定性,益处是可使数学运算得到简化。,17,学习幻灯,4.3.2 线性时变连续系统的稳定性分析 设线性时变连续系统的状态方程为 x=A(t)x(t) xe=0 则有判定线性时变连续系统李雅普诺夫意义下渐近稳定性的定理如下。,18,学习幻灯,定理4-8 线性时变连续系统的平衡态xe为大范围渐近稳定的充分必要条件为: 对有限的t和任意给定的正定矩阵Q(t),都存在一个正定矩阵P(t)为李雅普诺夫矩阵微分方程 的解,并且正定函数 即为系统的一个李雅普诺夫函数。,19,学习幻灯,20,学习幻灯,在实际应用上述判别线性时变连续系统的渐近稳定性时
8、,可令Q(t)=I,则相应的李雅普诺夫矩阵微分方程为 并且其解为,21,学习幻灯,4.3.3 线性离散系统的稳定性分析 前两节讨论的为连续系统的李雅普诺夫稳定性的定义和稳定性判据定理,其稳定性定义可延伸至离散系统,但其稳定性判据则有较大差别。 下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据。,22,学习幻灯,定理4-9 设系统的状态方程为 x(k+1)=f(x(k),k) 其中xe=0为其平衡态。 如果存在一个连续的标量函数Vx(k),k且正定,则有: 1) 若Vx(k),k的差分Vx(k),k=Vx(k+1),k+1-Vx(k),k为负定的,则该系统在原点处的平衡态是渐近稳定的; 2) 若Vx(k
9、),k为非正定的,则该系统在原点处的平衡态是稳定的; 更进一步,若Vx(k),k对任意初始状态的解序列x(k),Vx(k),k不恒为零,那么该系统在原点处的平衡态是渐近稳定的;,23,学习幻灯,3) 更进一步,若|x(k)|,有Vx(k),k,那么该系统在原点处的渐近稳定平衡态是大范围渐近稳定的。 ,24,学习幻灯,类似于连续系统,亦可得到关于离散系统不稳定性的定理。 离散系统李雅普诺夫稳定性的判据也可总结如下:,Vx(k),k,Vx(k),k,结论,正定(0),负定(0),该平衡态渐近稳定,正定(0),半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡态渐近稳定,正定(0),半负定
10、(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解),该平衡态稳定 但非渐近稳定,正定(0),正定(0),该平衡态不稳定,正定(0),半正定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡态不稳定,25,学习幻灯,上述定理讨论的是一般离散系统的渐近稳定性的充分判据。 类似于线性定常连续系统,对线性定常离散系统,有如下简单实用的渐近稳定判据。 定理4-10 设系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k) 其中xe=0为其平衡态。则其平衡态为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为李雅普诺夫矩阵代数方程 GPG-P=-Q 的解,并且正定函数Vx(k)=x(k)Px(k
11、)即为系统的一个李雅普诺夫函数。,26,学习幻灯,且系统的李雅普诺夫函数是：,推导：,27,学习幻灯,与连续系统类似,有如下讨论: 1) 如果对于某个非负定矩阵Q,Vx(k),k=-x(k)Qx(k)沿任意一条状态轨线不恒为零,那么,系统在原点渐近稳定的条件为: 存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程。 2) 可令正定矩阵Q=I,则判定线性定常离散系统的渐近稳定性只需解如下李雅普诺夫矩阵代数方程即可: GPG-P=-I,28,学习幻灯,试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的k值范围。,根据 得：,解：,取：,例：已知线性离散时间系统状态方程为：,其中：,29,学习幻灯,根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则 ，即： k2，所以系统渐近稳定的k值范围为0k2,解得：,30,学习幻灯,31,学习幻灯,当系统的极点落在单位圆内，系统在平衡点处才是渐近稳定的。,32,学习幻灯,