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1、二轮复习解析几何一 专题内容分析解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆 +极坐标、参数方程+线性规划二 解答策略与核心方法、核心思想圆锥曲线综合问题的解答策略：核心量的选择：常见的几何关系与几何特征的代数化：线段的中点：坐标公式线段的长：弦长公式；解三角形三角形面积：1底 高，正弦定理面积公式2夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称直线与圆的
2、位置关系等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征代数运算：设参、消参重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化， 学会把不同类型的几何问题转化成代数形式三典型例题分析1. （海淀区2017.4）已知椭圆 C：x2y21(a b 0) 的左、右顶点分别为A，B，且 | AB |4 ，离心率a22b为 1.2（）求椭圆C 的方程；（） 设点 Q(4,0) , 若点 P 在直线 x4 上，直线 BP 与椭圆交于另一点 M . 判断是否存在点P ，使得四边形 APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由 .yP22解法 1：（）椭圆 C 的方程为 xy1 .43（）假
3、设存在点P,使得四边形 APQM 为梯形 .由题可知，显然AM , PQ 不平行，所以AP 与 MQ 平行，即AkAPkMQ .设点 P(4, y0 ) ， M ( x1 , y1 ) ， kAPy0， kMQy1,6x14y0y1直线 PB 方程为 yy0 ( x2) ，6 x142由点 M 在直线 PB 上，则 y1y0 ( x12)2y0y0 (x12)联立，2，显然 y00 ，可解得 x11 .6x1 4又由点 M 在椭圆上，1y121，所以3，即343y1M(1, )，22将其代入，解得y03 ，P(4,3) .解法 2：（）椭圆 C 的方程为 x2y21 .4 3（）假设存在点 P
4、, 使得四边形 APQM 为梯形 .由题可知，显然AM , PQ 不平行，所以AP与MQ 平行,kAP kMQ ，显然直线 AP 斜率存在，设直线AP 方程为 yk( x2) .由 yk (x 2) ，所以 y6k ，所以 P(4,6 k) ，又 B(2,0)，所以 kPBx4PBy 3k( x2)y 3k( x 2)，消 y ，直线方程为，由4 y2123x20OBQxM6k3k .2得 (12k 21)x248k 2 x48k240 .又 B(2,0) , 所以 2x148k224k22，12k2，即 x112k211y13k(x1 2)12k .M (24k22,12k).12k2112
5、k2112k 216k12k由 k APkMQ 可得12k 21，624k2212k241解得 k1M (1,3) ， P(4,3) ，,22解法 3：（）椭圆 C 的方程为 x2y21 .4 3（）假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形 .由题可知，显然AM , PQ 不平行，所以AP 与 MQ 平行 , kAPkMQ .显然直线 MB 存在斜率且斜率不为0 ，设直线 MB 方程为 xty2 ( t 0) .由xty 2，得 P(4,2x4) .t2xty2kAPt1，由得 (3t24) y212ty0 ，63t3x24 y2120设 M (x, y) ，又因为B(2,0)，y12t
6、，1113t 24x1 ty126t 28，即 M(6t 2812t3t243t2,3t2) .44112t由 kAPkMQ ，所以3t24，解得t2，P (4,3) .3t6t 28343t24解法 4：假设存在点 P, 使得四边形APQM 为梯形 .由题可知，显然AM ,PQ 不平行，所以AP 与 MQ平行,|BQ| |BM |AB|BP|所以 |BM |1. 过点M作MHAB于H，则有 |BH|BM |1 ，|BP|2|BQ|BP|2Py|BH| 1，H (1,0)，即 x113，代入椭圆方程，求得 y1OBQ x2AP(4, 3) .M2.（东城区2016.4 理科）已知抛物线C :
7、y22px ( p0) ，焦点 F ， O 为坐标原点，直线AB （不垂直x 轴）过点 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点，直线 OA 与 OB 的斜率之积为p （）求抛物线C 的方程；OD.（）若 M 为线段 AB 的中点，射线 OM 交抛物线 C 于点 D ，求证：2OM备注：以抛物线为背景，核心变量的选择（直线方程的不同形式）；几何特征翻译代数关系（先转化再翻译）解：（）因为直线 AB 过点 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点， F ( P ,0) ，2设 A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，直线 AB （不垂直 x 轴）的方程可设为y k( xp ) (
8、k0) 2所以 y122 px1 ( p0) ， y222 px2 因为直线 OA与 OB 的斜率之积为p ，所以y1 y2p x1x2所以 ( y1 y2 ) 2p2 ，得 x1x2 4 4 分x1x2y k( xpk 2 p2由),消 y得 k2x2(k22p 2 p) x0y22 px,4其中 V (k 2 p 2 p)2k 2 p2k20所以 x1x2p2x2k2 P2P， x1k 24所以 p4 ，抛物线 C : y28x 8 分（）设M (x0 , y0 ), P(x3 , y3 ) ，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 x01 ( x1x2 )k 2 P2P2(k 22)， y
9、0 k( x02)4.22k2k 2k所以直线 OD 的斜率为 kopy02k.x0k 22直线 OD 的方程为 ykop x2kx 代入抛物线 C : y28x 的方程，k22得 x32( k22) 2k2.所以x3( k 22) .x0因为k2 0 ,ODx3(k22) 2.13 分所以x0OM3. （东城区2018.5x2y20) 的右焦点为 F (1,0)1文科）已知椭圆C :2b2 1(a b，离心率为a2（）求椭圆 C 的方程；（） A, B 是椭圆 C 在 y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线 AB 的距离为 3 ，证明： ABF的周长为定值解：（）椭圆C 的方程为 x2
10、y21 43（）当 AB 垂直于 x 轴时，可得AFBFAB4当 AB 不垂直于 x 轴时，设 AB 的方程为 ykxm 因为原点 O 到直线 AB 的距离为3 ，所以| m |3 ，即 m23(1 k 2 ) 1k 2ykxm,由 x2y2得 (34k 2 ) x28kmx 4m2120 ，41,3即 (34k 2 ) x28kmx12k 20 设 A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则 x1x28km，x1 x212k234k234k2所以 | AB|1 k 2 | x1x2 |1 k2 ( x1x2 )24x1x22| m|64k2248k2(34k2)1k 2(8k
11、m )2412m3(34k2)234k234k 24 | m |k |34 | m |k |334k 234k 2因为A,B在 y轴右侧，所以mk0，所以 |AB |4mk34k 222又 AF( x11)2y12( x11)23(1x1)41 x122 x14 ( 1 x12)2.42所以21x1 ，同理 | BF |21x2 22|AF |所以|AF |BF|41 (x1x2 )41 (8km2 ) 44km22234k34k所以|AF | |BF| |AB| 44km4km4 34k 234k 2综上， ABF 的周长等于椭圆C的长轴长 4解法 2：作 OHAB于H，所以 |OH |3
12、，所以|AH |2|OA |2|OH |2x12y123x123(1x12)3x12，44即 | AH | x1，2同理 |BH |x2，2所以 | AB | | AH | | BH | 1 ( x1x2 ) ，2又|AF| 21 x1 ，同理 | BF |21 x2 22所以|AF|BF |AB|21 x121 x21 ( x1x2 )4222综上， ABF 的周长等于椭圆C的长轴长 4解析几何选择填空题练习：1 （ 2018年全国 3 卷）设 F1, F2是双曲线x2y2的左、右焦点，O 是原点过 F2C :22 1(a 0,b 0).ab作 C 一条渐近线的垂线，垂足为P若 | PF1
13、|6|OP|，则 C 的离心率为（）A.5B.2C.3D.2分析：由题可知 | PF2 |b,| OF2| c，所以 |PO|a ，在 RtPOF2 中， cosPF2O| PF2|b，|OF2 |c又在PF1 F2 中， cosPF 2O| PF2 |2| FF12 |2| PF1 |2，2|PF2 |FF12 |b24c2(6a)2bb24c2(6a) 22b2c，所以c2b 2c所以 c23a2，所以离心率 ec3.故选 C.a解法二：过左焦点作渐近线的垂线，垂足为Q，利用直角三角形勾股定理建立关系，可求。2. 如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交
14、其准线 l 于点 C，若 BC 2BF，且 AF 3，则此抛物线的方程为 _.分析： BCB130， AFx60.则 AA1F 为等边三角形，过 F 作 FF1AA1 于 F1，则F1为1的中点，设l交x 轴于 K，AA113则 KF A1F12AA12AF，即 p 2，抛物线方程为 y2 3x.22223. （ 2018年北京高考）已知椭圆 M : x2y21 (a b 0)，双曲线 N : x 2y21若双曲线 N 的两条abmn渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线 N 的离心率为解析：连接 BF ，根据椭圆的定义可知， | BE
15、 |2c ， | BF | EF | 2a 由图中 ABCDEF 为正六边形，得FEB60o 所以，在直角三角形BFE 中， | EF| c ， | BF |3c 故椭圆的离心率为|BE |2c3 1 |BF | |EF | (13)c由题可知，双曲线的一条渐近线的方程为y3x 所以 b3 a双曲线的离心率为a 2b 2a23a 2=a2 a4.在极坐标系 Ox 中，方程2sin表示的圆为 DO1xO1xO1O1xx（A ）（B）（ C）（D）?3t ,5直线 l 的参数方程为?x=（ t 为参数），则 l 的倾斜角大小为C? y = 1+3tAB 3C3D666. 已知圆 C 的参数方程为x
16、cos,（ 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标ysin2,系，直线的极坐标方程为sincos1，则直线截圆C所得的弦长是_22 x y107.设集合 P(x, y) |xm0，集合Q( x, y) | x2 y 2 ，若 PQ ，则实数 m 的取值范围ym0是（A） (1（B ）2,), )(33（C） 1（D）,), )333答案提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（m, m ）位于直线 2xy 1 0 的下方，即 m2m1，由此解得m1。3原题等价于函数x2 y 的最大值小于 2，m2m2, 即 m2。3x3 y30，8. 若实数 x, y 满足不等式组xy10， 则 z2 | x |y 的取值范围是y1，（A） 1,3（B ） 1,11（ C） 1,3（D ） 1,11（ 6） D