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1、第六章 矩阵特征值问题,本章先引出矩阵特征值与特征向量的概念, 利用线性方程租的求解方法,提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法, 并给出矩阵对角化的条件, 介绍实对称矩阵对角化的方法.,本章的主要内容,6.1 矩阵的特征值与特征向量 6.2 相似矩阵与矩阵对角化 6.3 实对称矩阵的对角化,1. 矩阵的特征值与特征向量的定义,3. 矩阵的特征值与特征向量的性质,6.1 矩阵的特征值与特征向量,2. 矩阵的特征值与特征向量的计算,1、基本概念,定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A
2、 对应于特征值 l 的特征向量 注 特征值和特征向量只针对方阵而言 例,则 l = 1 为矩阵 的特征值；,为对应于l = 1 的特征向量.,2、特征值与特征向量的计算,已知,所以齐次线性方程组有非零解.,特征方程,特征多项式,特征方程 | AlI | = 0 特征多项式 f(l)=| AlI | ( l 为未知数的一元 n 次多项式),求特征值、特征向量的方法:,求出即为特征值;,把得到的特征值代入上式,求齐次线性方程组,的非零解 x,即为所求特征向量.,特征值就是特征方程的根,注 在复数范围内 n 阶矩阵有 n 个特征值(重根按重数计算),称集合 1 , , n 为矩阵A的谱(spectr
3、um).,将|1| , |1| , , |n|的最大值称为A的谱半径,记作(A),即,例,解,例,解,解,第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,特征值为,第二步：对每个特征值,代入齐次方程组,求非零解.,齐次线性方程组为,系数矩阵,解,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,特征值为,得基础解系,是对应于,系数矩阵,解,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,特征值为,得基础解系,是对应于,齐次线性方程组为,性质1 设 n 阶方阵A的n个特征值为,则,矩阵A的主对角元素之和称为矩阵A的迹.,3、特征值和特征向量的性质,若A的特征值是, X是A的对应于的特征向量,性质2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常数),(m是正整数),证,再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就得,若A的特征值是, X是A的对应于的特征向量,性质2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常数),(m是正整数),(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1 ,的特征值是,且x仍然是矩阵,分别对应于,的特征向量.,证,若A的特征值是, X是A的对应于的特征向量,性质2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常数),(m是正整数),(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1 ,的特征值是,且x仍然是矩阵,分别对应于,的特征向量.,为x的多项式, 则f (A)的特征值为,