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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4 页，均为非选择题(第 1 题 第 20 题，共 20 题 )。本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、
2、加粗。参考公式：样本数据 x1, x2, , xn 的方差 s2 1nn12xi x，其中 xi 1nnxi i 1柱体的体积 VSh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高锥体的体积 V1 Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合A1,0,1,6 ， B x | x0, xR ，则 A I B.2已知复数(a2i)(1i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数a 的值是.3下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是.4函数 y76xx2 的定义域是.5已知一组数据6， 7， 8
3、， 8， 9， 10，则该组数据的方差是 .6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是.7在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x2y2 1(b 0) 经过点（ 3， 4)，则该双曲线的b2渐近线方程是.8已知数列 an( nN * ) 是等差数列， Sn 是其前 n 项和 .若 a2a5 a80, S927 ，则 S8 的值是.9如图，长方体ABCDA1B1C1D1 的体积是120， E 为 CC1 的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是.410在平面直角坐标系xOy 中， P 是曲线 y x( x 0) 上的一个动点，则
4、点P 到直线xx+y=0 的距离的最小值是 .11在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点 （ -e，-1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是.12如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE=2EA， AD 与 CE 交于点 O .uuur uuuruuur uuurAB 的值是 .若 AB AC6 AO EC ，则AC13已知tan2 ，则 sin2 的值是.tan34414设 f ( x), g(x) 是定义在 R 上的两个周期函数，f ( x) 的周期为4， g( x) 的周期为2，且k( x 2
5、),0x1f (x) 是奇函数 .当 x(0, 2 时， f ( x)1(x1)2 ， g( x)12，,1 x2其中 k0.若在区间 (0， 9上，关于 x 的方程 f ( x)g(x) 有 8 个不同的实数根，则k 的取值范围是 .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为a， b， c（ 1）若 a=3 c， b= 2， cosB=2 ，求 c 的值；3（ 2）若 sin AcosB ，求 sin( B) 的值a2b216（本小题满分14 分）如图，
6、在直三棱柱ABC A1B1C1 中， D ，E 分别为 BC， AC 的中点， AB=BC求证：（ 1） A1B1平面 DEC1；（ 2）BE C1E17（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C: x2y21(a b 0) 的焦点为1a2b2F（ 1、0），F2（ 1， 0）过 F 2 作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方， l 与圆 F2: (x 1)2y24a2 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF 1 并延长交圆 F 2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连结 DF 1已知 DF 1= 5 2（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）求点
7、 E 的坐标18（本小题满分 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥 AB（ AB是圆 O 的直径） 规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求 :线段 PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （C、 D 为垂足），测得 AB =10， AC=6， BD=12 （单位 :百米）（ 1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路PB 的长；（ 2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（ 3）对规划要求下，若道路PB 和QA
8、的长度均为d（单位：百米）.求当d 最小时， P、Q 两点间的距离19（本小题满分16 分）设函数 f ( x)( xa)( xb)( xc), a, b, cR 、 f ( x) 为 f（ x）的导函数（ 1）若 a=b=c， f（ 4）=8，求 a 的值；（ 2）若 a b，b=c，且 f（x）和 f ( x) 的零点均在集合 3,1,3 中，求 f（ x）的极小值；（ 3）若 a0,0 b, 1,c1 ，且 f （x）的极大值为 M，求证 :M 4 2720（本小满分16 分）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M数列” .（ 1）已知等比数列 an (nN * ) 满足： a2a4
9、 a5 , a34a2 4a4 0 ，求证 :数列 an为“ M 数列”；（ 2）已知数列 bn 满足 : b11221,bn，其中 Sn 为数列 bn 的前 n 项和Snbn 1求数列 bn 的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M 数列” cn ( nN * ) ，对任意正整数k，当 k m 时，都有 ck剟bkck 1 成立，求 m 的最大值数学 ( 附加题 )21【选做题】本题包括A 、 B、 C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵A3122
10、（ 1）求 A2；（ 2）求矩阵 A 的特征值 .B. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点 A 3, , B 2,，直线 l的方程为 sin3 .424（ 1）求 A， B两点间的距离；（ 2）求点 B到直线 l的距离 . C.选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10分）设 x R ，解不等式 |x|+|2 x 1|2 .【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 设 (1x)na0a1 xa2x2Lan xn , n4,
11、nN * . 已 知a322a2 a4 .（1）求 n的值；（ 2）设 (13) na b 3 ，其中 a,b N* ，求 a23b2 的值 .23（.本小题满分 10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集 An(0,0),(1,0),(2,0),( n,0) ，Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,( n,2), n N .令 M nAn U Bn U Cn .从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离 .（ 1）当 n=1时，求 X的概率分布；2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学答案一、填空题：本题考查基础知识
12、、基本运算和基本思想方法.每小题 5分，共计 70分 .1.1,62.23.54. 1,756.77. y2x5.1038.169.1010.411. (e, 1)12. 313.214.1 ,21034二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力 .满分 14分 .解：（ 1）因为 a3c, b2,cos B2，3由余弦定理 cos Ba2c2b2，得2(3c)2c2( 2) 2，即 c21.2ac323cc33.所以 c3（ 2）因为 sin Acos B ，a2b由正弦定理ab，得 cos Bsin B ，所以 cosB2sin
13、 B .sin Asin B2bb4从而 cos2 B(2sin B)2 ，即 cos2 B4 1 cos2 B ，故 cos2 B.5因为 sin B0 ，所以 cosB2sin B0，从而 cos B25.5因此 sin B25.2cosB516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分 .证明：（ 1）因为 D ，E 分别为 BC， AC 的中点，所以 ED AB .在直三棱柱ABC-A1 B1C1 中， ABA1B1，所以 A1B1 ED .又因为 ED? 平面 DEC1 1 1平面 DEC 1， A B，所以
14、 A1B1平面 DEC 1.（ 2）因为 AB=BC， E 为 AC 的中点，所以BE AC.因为三棱柱ABC-A1 B1C1 是直棱柱，所以CC1平面 ABC.又因为 BE? 平面 ABC，所以 CC1 BE.因为 C1C? 平面 A1ACC1， AC? 平面 A1ACC1， C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E? 平面 A1ACC1，所以 BE C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分 .解：（ 1）设椭圆C 的焦距为2c.因为 F1(1，
15、 0)， F 2(1， 0)，所以 F 1F 2=2，c=1.又因为 DF 1 =5 ， AF 2x 轴，所以DF 2=DF12F1 F22( 5 )2223 ，222因此 2a=DF 1+DF 2=4，从而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.因此，椭圆 C 的标准方程为x2y21.43（ 2）解法一：由（ 1）知，椭圆 C： x2y21， a=2，43因为 AF 2 x 轴，所以点A 的横坐标为1.将 x=1 代入圆 F2 的方程 (x-1) 2+y2=16 ，解得 y= 4.因为点 A 在 x 轴上方，所以A(1，4).又 F1(-1， 0)，所以直线 AF1： y=2x+2.y
16、2x2，得 5x26x11 0 ，由1)2y2( x16解得 x1 或 x11.11512将 x代入 y2x 2 ，得 y，55因此 B(11,12) .又 F 2(1， 0)，所以直线 BF2： y3 (x1) .554y3 ( x1)13由4，得2，解得x1或 xy27x 6x 13 0.x21743又因为E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 x1 .将 x1 代入 y3 ( x1) ，得 y3 .因此 E( 1, 3 ) .422解法二：由（ 1）知，椭圆 C： x2y2141 .如图，连结 EF .3因为 BF 2=2 a，EF 1+EF2=2a，所以 EF1 =EB，从而 BF 1
17、E= B.因为 F2A=F 2B，所以 A= B，所以 A= BF1E，从而 EF 1 F 2A.因为 AF 2 x 轴，所以EF 1 x 轴 .x13因为 F1(-1 ，0) ，由x2y2，得 y.4123又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以y3.23因此 E( 1,) .18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 16分 .解：解法一：（ 1）过 A作 AEBD ，垂足为 E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形， DE BE AC 6, AE CD 8.因为 PB AB，所以 cos PBDs
18、in84ABE.105BD12所以 PB15 .cos PBD45因此道路 PB的长为 15（百米） .（ 2）若 P在 D 处，由（ 1）可得 E在圆上，则线段 BE 上的点（除 B， E）到点 O的距离均小于圆 O的半径，所以 P选在 D 处不满足规划要求 .若 Q在 D处，连结 AD ，由（ 1）知 ADAE 2ED 210 ，AD 2 AB 2BD 27，所以 BAD 为锐角 .从而 cos BAD02 AD AB25所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 .因此， Q选在 D 处也不满足规划要求.综上， P和 Q均不能选在 D处 .（ 3）先讨论点 P的位置 .当 OBP9
19、0时，在 PPB 中， PBPB11由上可知， d15.再讨论点 Q的位置 .由（ 2）知，要使得QA15，点 Q只有位于点15 .C的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时，CQQA2AC 2152623 21 .此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径 .综上，当 PB AB ，点 Q位于点 C右侧，且 CQ= 321时， d最小，此时 P， Q两点间的距离PQ=PD +CD +CQ=17+ 321 .因此， d最小时， P， Q两点间的距离为17+ 321 （百米） .解法二：（ 1）如图，过 O作 OH l ，垂足为 H.以 O为坐标原点，直线OH为 y轴，建立平
20、面直角坐标系.因为 BD=12， AC=6，所以 OH =9，直线 l的方程为 y=9，点 A， B的纵坐标分别为3， - 3.因为 AB为圆 O的直径， AB=10 ，所以圆 O的方程为 x2+y2=25.从而 A（ 4， 3）， B（- 4， - 3），直线 AB的斜率为 3.4因为 PB AB，所以直线 PB的斜率为4 ，4253x直线 PB的方程为 y.33所以 P（ - 13， 9）， PB( 13 4) 2(9 3)215 .因此道路 PB的长为 15（百米） .（ 2）若 P在D 处，取线段 BD上一点 E（ - 4， 0），则 EO=45 ，所以 P选在 D处不满足规划要求 .
21、若 Q在 D处，连结 AD ，由（ 1）知 D（ - 4， 9），又 A（ 4， 3），所以线段 AD： y3x 6( 4剟x 4) .4在线段 AD 上取点 M（ 3， 15 ），因为 OM3215232425 ，44所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 .因此 Q选在 D 处也不满足规划要求.综上， P和 Q均不能选在 D处 .（ 3）先讨论点 P的位置 .当 OBP90时，在 PPB1中， PB PB1 15 .由上可知， d15.再讨论点 Q的位置 .由（ 2）知，要使得 QA15，点 Q只有位于点 C的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时，设Q（ a，9），由 AQ
22、(a 4) 2(9 3)215(a 4) ，得a= 4 321 ，所以 Q（ 43 21 ，9），此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径 .综上，当 P（ - 13， 9）， Q（ 43 21， 9）时， d最小，此时 P， Q两点间的距离PQ 4 3 21( 13) 173 21 .因此， d最小时， P， Q两点间的距离为17 3 21 （百米） .19本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分16分解：（ 1）因为 a b c ，所以 f (x)(xa)( x b)( xc)( xa)3 因为 f (4)8 ，所以
23、 (4a)38 ，解得 a2 （2）因为 bc ，所以 f ( x)( x a)( xb)2x3(a2b)x2b(2 a b) xab 2 ，从而 f ( x)3( x b) x2a b 令 f ( x) 0 ，得 xb 或 x2a b 33因为 a, b, 2ab ，都在集合 3,1,3 中，且 ab ，3所以 2a b1,a 3,b3 3此时 f ( x)( x 3)(x3)2 ， f ( x)3(x3)( x 1) 令 f (x)0，得x3或 x1列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)f ( x)+00+f ( x)Z极大值极小值Z所以 f ( x) 的极小值为f (1)(1 3)(
24、1 3)232 （3）因为 a0, c1，所以 f (x)x( xb)( x1)x3(b1) x2bx ，f ( x) 3x22(b1)xb 因为 0b1 ，所以4(b1)212b(2 b1)230 ，则 f (x) 有 2个不同的零点，设为x1 , x2 x1x2由 f (x)0，得 x1b 1b2b 1 , x2b 1b2b 1 33列表如下：x(, x1 )x1x1 , x2x2( x2 ,)f ( x)+00+f ( x)Z极大值极小值Z所以 f ( x) 的极大值 Mf x1解法一：M f x1x13(b 1)x12bx13x122(b1)x1bx1b12 b2b1b(b1)9x13
25、992 b2b1 (b1)b(b1)223bb 127927b(b1)2( b1)2 (b1)2(b(b1)1)3272727b(b1)24 因此 M4 27272727解法二：因为 0b1 ，所以 x1(0,1) 当 x(0,1) 时， f ( x)x(x b)( x1)x( x1)2 令 g ( x)x(x1)2 , x(0,1) ，则 g ( x)3 x1 ( x 1) 31令 g ( x)0 ，得 x列表如下：3x(0, 1)1( 1 ,1)333g ( x)+0g ( x)Z极大值所以当 x1 时， g( x) 取得极大值，且是最大值，故g (x)maxg 14 3327所以当 x(
26、0,1) 时， f (x)g ( x)44，因此 M272720本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分解：（ 1）设等比数列 an 的公比为 q，所以 a1 0， q0.a2a4 a5a12 q4a1q4a11由4a24a1 0，得，解得a3a1q24a1q 4a1 0q 2因此数列 an 为“ M 数列” .（ 2）因为122，所以 bn0 Snbnbn1由 b11,S1b11222 .得1，则 b21b2122，得Snbnbn 1，由bnbn2(bn 1bn )Sn1当 n 2 时，由 bnSnSn 1，得 bnbnbn 1bn 1bnbn，2 bn 12 bn bn 1整理得 bn 1 bn 12bn 所以数列 bn 是首项和公差均为1的等差数列 .因此，数列 bnnn N*. 的通项公式为 b =n由知， bk=k， kN* .因为数列 cn 为“M 数列 ”，设公比为 q，所以 c1=1， q0.因为 ckbkck+1，所以 qk1kqk，其中k=12 3，m.， ，当 k=1时，有 q 1；当 k=2，3， m