1、 第16章 习题课习题课多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续平面点集平面点集多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续性连续性极限运算极限运算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念数学分析数学分析2 2目录 上页 下页 返回 结束 一、点集拓扑初步一、点集拓扑初步1.两点之间的距离满足三角不等式2.定义E 的直径为设当且仅当d(E)为有限数时，E为一有界点集；否则，当E为一无界点集；数学分析数学分析3 3目录 上页 下页 返回 结束 3.点 P0的 邻域邻域点 P0 的 空心邻域邻域数学分析数学分析4 4目录 上页 下页 返回 结束 4.点与点集的关系点与点集的
2、关系()设点P0R2，E R2.按“内-外”而论，有P0是 E 的内点内点-P0是 E 的外点外点-P0是 E 的界点界点-且intE(E的内部)-E的所有内点的集合；E(E的边界)-E的所有界点的集合；数学分析数学分析5 5目录 上页 下页 返回 结束()按“疏-密”而论，有P0是 E 的聚点聚点-P0不是 E 的聚点-若P0 E 的，则P0必为 E的外点的外点;若P0 E 的，则P0为 E的孤立点的孤立点;孤立点即为：孤立点即为：P0是 E 的聚点聚点的充要条件：Ed(E的导集)-E的所有聚的集合；(E的闭包)-数学分析数学分析6 6目录 上页 下页 返回 结束 常用结论(1)孤立点必为界
3、点；(2)属于E 的界点或者是E 的孤立点，或者是E 的聚点;(3)不属于E 的界点必是E 的聚点;(4)聚点或者是内点或者是界点;(5)既非聚点又非孤立点，则必为外点；反之亦然.(6)数学分析数学分析7 7目录 上页 下页 返回 结束 5.开集与闭集开集与闭集若intE=E，则称 E 为开集；(即Ed E，表示E的所有聚点全都属于E),则称 E 为闭集；数学分析数学分析8 8目录 上页 下页 返回 结束 E 为开集，F 为闭集(4)约定既是开集又是闭集.(5)当Ed=时，亦认为E是一个闭集.(6)FE 为闭集,EF 为开集.所以由有限个孤立点组成的集合必 为闭集.E 为开集(1)Ec为闭集；
4、E 为闭集Ec为开集；E1，E2 为开集(2)E1E2,E1 E2 为开集;E1，E2 为闭集(3)E1E2,E1 E2 为闭集;重要性质数学分析数学分析9 9目录 上页 下页 返回 结束 6.开域、闭域和区域开域、闭域和区域 开域连同它的边界一起称为闭域.连通的开集称为开域;开域、闭域，或者开域连同其一部分点边界所成点集统称为区域区域.若D为开域，则闭域DD=DDd;(1)闭域必为闭集，而闭集不一定是闭域；(2)连通闭集不一定是闭域；(3)当D D为一开域时，D本身也不一定是闭域.(4)数学分析数学分析1010目录 上页 下页 返回 结束 二、二元函数的极限二、二元函数的极限1.极限定义极限
5、定义(也称为 二重极限)P0 是 D 的聚点.记作非正常极限非正常极限数学分析数学分析1111目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1.设E1D,P0是E1的聚点.若不存在，则不存在.但2.定理定理P0是E的聚点,总有推论推论2.设E1,E2D,P0是它们的聚点.若则不存在.推论推论3.总有 收敛.数学分析数学分析1212目录 上页 下页 返回 结束 3.累次极限累次极限4.重极限与累次极限重极限与累次极限关系关系若重极限与累次极限均存在,则它们必相等.推论推论1 若重极限与累次极限均存在,则它们必相等.推论推论2 若累次极限存在但不相等,则重极限必不存在.数学分析数学分析1313目录 上页
6、下页 返回 结束 三三、二元函数的连续性元函数的连续性 1.定义定义 定义在 D 上,若 f 在 D 上任何点都关于集合D连续,则称 f 为 D 上则称 f 关于集合 D 在点P0连续.(它或者是设二元函数D的聚点，或者是D的孤立点).只要若对任意正数 ,总存在正数,就有的连续函数.数学分析数学分析1414目录 上页 下页 返回 结束 2.全增量全增量与与偏增量偏增量:全增量全增量偏增量偏增量连续 连续 令数学分析数学分析1515目录 上页 下页 返回 结束 3.有界闭域上连续函数的性质有界闭域上连续函数的性质在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介
7、值定理)(4)在 D 上一致连续.(一致连续性)定理定理：若 f(P)在有界闭域有界闭域 D 上连续,则数学分析数学分析1616目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证：证：充分性充分性 由条件可知由条件可知必要性必要性 由由E是闭集，且不含孤立点，可知是闭集，且不含孤立点，可知数学分析数学分析1717目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证：证：数学分析数学分析1818目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证：证：(1)下面依次证明 (1)(2)(3)数学分析数学分析1919目录 上页 下页 返回 结束(2)(3)数学分析数学分析2020目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证：证：充分性充
8、分性 必要性必要性 数学分析数学分析2121目录 上页 下页 返回 结束 数学分析数学分析2222目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证：证：数学分析数学分析2323目录 上页 下页 返回 结束 例例6.解法一解法一 解法二解法二 数学分析数学分析2424目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解解:数学分析数学分析2525目录 上页 下页 返回 结束(2)解解:数学分析数学分析2626目录 上页 下页 返回 结束 例例8.解解:数学分析数学分析2727目录 上页 下页 返回 结束 数学分析数学分析2828目录 上页 下页 返回 结束 数学分析数学分析2929目录 上页 下页 返回 结束 例例
9、9.数学分析数学分析3030目录 上页 下页 返回 结束 讨论二重极限解法解法1解法解法2 令解法解法3 令时,下列算法是否正确是否正确?例例10.数学分析数学分析3131目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:解法1解法2 令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为 1.第二步 未考虑分母变化的所有情况,数学分析数学分析3232目录 上页 下页 返回 结束 解法3 令此法忽略了 的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,
10、的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.数学分析数学分析3333目录 上页 下页 返回 结束 例例11.证证:由定义有当令(1)(1)中令于是设当有当有即又数学分析数学分析3434目录 上页 下页 返回 结束 解解:利用 故f 在(0,0)连续.知在点(0,0)处连续.例例12.证明证明:数学分析数学分析3535目录 上页 下页 返回 结束 例例13.解：解：数学分析数学分析3636目录 上页 下页 返回 结束 例例14.解：解：数学分析数学分析3737目录 上页 下页 返回 结束 数学分析数学分析3838目录 上页 下页 返回 结束 例例15.证：证：数学分析数学分析3939目录 上页 下页 返回 结束
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