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1、.理科数学复习专题统计与概率离散型随机变量及其分布列知识点一1、离散型随机变量： 随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y x, hggg表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。2、离散型随机变量的分布列及其性质：（ 1）定义：一般的，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1, x2,ggg, xi ,ggg, xn , X 取每一个值 xi (i = 1,2,ggg, n) 的概率为 P (X = xi ) = pi ，则表Xx1x2gggxigggxnpp1p2gggpigggpn称为离散型随机变量离散型随机变量X，简称 X 的分布列。n（ 2）分布
2、列的性质： pi ? 0,i1,2,ggg, n ； ? pi= 1i = 1（ 3）常见离散型随机变量的分布列：x01两点分布：若随机变量 X 的分布列为 ,pp1-p则称 X 服从两点分布，并称 p = P (x = 1) 为成功概率超几何分布：一般的，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有kn - kC M gC N - MX 件 次 品 ， 则 P (X = k) =C Nn(k = 0,1,2,gggm, 其 中 m =min M , n ， 且n N , MN , n, M , N ? N * ) ,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，
3、则称随机变量X 服从超几何分布X01gggm0n- 01n - 1mn- mPCM gCN - MCMgC N - MgggC MgC N - MnnnCNCNC N3、随机变量的数学期望（均值）与方差可编辑.题型一由统计数据求离散型随机变量的分布列【例 1 】已知一随机变量的分布列如下，且E()6.3 ，则 a 值为 ()4a9P0.50.1bA. 5B. 6C. 7D. 8【变式 1】 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12% ；一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200投资成功投资失败例类似项目开发的实施结果：192 次8 次则该公司一年后估
4、计可获收益的期望是题型二由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布）【例 2 】在一次购物抽奖活动中，假设某10 张券中有一等奖券1 张，可获价值50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求：(1) 该顾客中奖的概率；(2) 该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列可编辑.【变式 2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8 杯，其颜色完全相同，并且其中4 杯为 A饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8 杯饮料中选出4杯 A 饮料若
5、4 杯都选对，则月工资定为 3 500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2 800 元；否则月工资定为 2 100 元令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力(1) 求 X 的分布列； (2) 求此员工月工资的期望知识点二1 条件概率及其性质可编辑.对于两个事件 A 和 B，在已知事件 B 发生的条件下，事件A 发生的概率叫做条件概率，用P(AB )符号 P(A|B)来表示，其公式为 P(A|B) P( B)(P( B)0) n(AB )在古典概型中，若用 n (B)表示事件 B 中基本事件的个数，则P( A|B) n(B).2 相互独立事件(
6、1) 对于事件A、 B，若事件 A 的发生与事件B 的发生互不影响，称A、 B 是相互独立事件(2) 若 A 与 B 相互独立，则 P(AB) P(A)P(B)(3) 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立(4) 若 P(AB ) P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立3 二项分布(1) 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 _两 _种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2) 在 n 次独立重复试验中， 用 X 表示事件 A 发生的次数， 设每次试验中事
7、件A 发生的概率为p，则(k) Cnkpk(1 p)n k( 0,1,2 ， )，此时称随机变量X服从二项分布，记P Xkn为 X B(n， p)，并称 p 为成功概率题型三条件概率例 1 (1) 从 1,2,3,4,5 中任取 2个不同的数，事件 A 为“取到的2 个数之和为偶数” ，事件B 为“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)_.(2) 如图所示， EFGH 是以 O 为圆心， 半径为 1的圆的内接正方形， 将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分 )内”，则 P(B|A )_.可编辑.练：某地空气质
8、量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75 ，连续两天为优良的概率是0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_题型四由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布）例 1在一场娱乐晚会上，有5 位民间歌手 (1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3 名歌手，其中观众甲是1 号歌手的歌迷，他必选1 号，不选2 号，另在3 至 5 号中随机选2 名观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在1 至 5 号中随机选3 名歌手(1) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)
9、 X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求 X2”的事件概率例 2 在一次数学考试中，第21 题和第 22 题为选做题规定每位考生必须且只须在其中选1做一题设4 名学生选做每一道题的概率均为.2(1) 求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2) 设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ，求 的概率分布练习：一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不可编辑.出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10 分，出现两次音乐获得20 分，出现三次音乐获得100 分，没有出现音乐则扣除200 分 (即获得 200 分 )设每次击鼓出现
10、1音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立2(1) 设每盘游戏获得的分数为X，求 X 的概率分布(2) 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【误区解密】抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？例：某学校10 个学生的考试成绩如下： （98 分为优秀）（1）10 人中选 3 人，求至多 1 人优秀的概率（2）用 10人的数据估计全级，从全级的学生中任选3 人，用 X 表示优秀人数的个数，求X 的分布列可编辑.练： 18 、某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名
11、年龄阶段在10,20 ，20,30 ， 30,40 ， 40,50 ， 50,60 的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示 .（）求随机抽取的市民中年龄在30,40 的人数；（）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5 从，求50,60 年龄段抽取的人数；（）从（）中方式得到的5 人中再抽到2 人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在 50,60 年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50 个作为样本， 称出它们的重量 （单位： 克），重量分组区间为（ 5，15 ，（15 ，25 （ 25 ，35 ，（35 ，45 ，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图可编辑.（）求 a 的值；（）根据样本数据， 试估计盒子中小球重量的平均值；（）从盒子中随机抽取3 个小球，其中重量在（5 ，15 内的小球个数为，求 的分布列和数学期望及方差可编辑