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1、概率方法在不等式证明中的应用研究摘 要：不等式的证明方法是多种多样的，本文就利用概率论的思想来证明不等式给出了解题方法，把概率论的思想渗透到不等式的证明中，有助于拓宽接替思路，提高解题能力，理解数学各科间的紧密联系，通过利用概率论的基本性质，随机概率模型，函数的凸凹性，论述不等式证明中的一些概率方法，总结应用概率论的思想证明不等式的方法与技巧。关键词：概率 随机变量 凸函数 jensen不等式 Probability method in inequality proof applied researchBaidan Anhui Normal university mathematics and
2、 computer science instituteAbstract: The inequality proof method is many and varied, this article using the theory of probability thought proved that the inequality has given the problem solving method, seeps the theory of probability thought to the inequality proof, is helpful in expands replaces t
3、he mentality, sharpens the problem solving ability, understood that mathematics during various branches the close relation, through the use theory of probabilitys basic property, the stochastic probabilistic model, function convex-concave, in the elaboration inequality proofs some probability method
4、, summarizes the applied probability thought proof inequality method and the skill.Key word: Probability Random variable convex function jensen inequality引 言概率思想广泛应用于其它学科，用概率方法来解决不等式证明的问题，是概率论研究的重要课题之一。概率方法灵活多样，只要概率模型构造恰当，它可以应用于多种数学问题中。不等式证明中一些不太好解决的问题，用概率知识去解是很方便的，这样我们就能在不等式证明中找到概率的应用。这样的探讨对概率论的发展具
5、有很大意义，对教学工作者的教学也有着一定的作用。针对不同的不等式问题，构造适当的概率模型十分重要，用概率方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而且可以为学习高等属性提供概率论背景，有机结合不同学科之间的关系。概率方法在不等式证明中的应用一直为众多学者所关注，许多学者在这方面做了大量的研究工作，本文在前人研究工作的基础上对此进行归纳总结。1 构造概率模型证明不等式有些不等式的证明往往比较复杂, 而且具体的直观含义也比较抽象. 如果能够建立起适当的概率模型, 赋以一些随机事件或随机变量的具体含义, 再利用概率论的理论加以证明, 则常常能使证明过程得到简化. 同时还可以为抽象的数学问题提供具体的概
6、率背景, 沟通各数学分支之间的联系.1.1 构造离散型概率模型证明不等式例1 （holder不等式）设（x,）,i=1,n是n组正数，,j=1,n,且.则 (1) 证明 设离散型随机变量的概率分布为P（=）=，0,i=1,2,n 则= .因为lnx是（0，+）上的上凸函数，故有 Ln()=ln()=ln()即有 (2)现取，,以此代入（2），得上式两端关于j求和，得： 所以结论成立.(2)式是赫尔德不等式的最一般的形式事实上, 对任一对共扼指数：p1,q1,w我们只要在（2）式中取 n=2, j=1,1,m便得到赫尔德不等式的最常用的形式： (3)特别，当p=q=2时, (3)式就是著名的许瓦
7、兹(Schwarz)不等式: 例2 设，且满足，又设， 是n个非负实数，=,i=1,n则 证明 设离散型随机变量的概率分布为：P(=)=,j=1,2,n则=.因为是下凸函数，故有上式两端关于i求和, 即得: 1.2构造连续型概率模型证明不等式例3设f (x ) 是区间a, b 上的下凸函数,则)证明: 设连续型随机变量的分布密度为 =而 因为f (x ) 在区间a, b 上为下凸函数, 所以f即)特别地, 当f (x ) =时，有例4 设f(x)是a,b 上不恒为零的正实值连续函数,则有+证明 设连续型随机变量X 的概率密度函数为则 E(cosX)= =E(sinX)= =E(sinX)= E
8、(cosX)= 由 得 即 +1.3构造随机型概率模型证明不等式例5 设函数x(t)0在(0,1)内连续，且，则 证明 建立随机模型, 设某仪器向区间(0,+ ) 内发射A粒子的时间T 在(0, 1) 内均匀分布, 则其概率密度为f(t)=1, t(0, 1),而以X (T ) 表记所发射的粒子在(0, + ) 内的位置. 再定义函数g(y)= lny 与y= (x 0, xR ). 因为g(y)=lny为凸函数，故有E(g(y)g(EY),这里g(EY)=ln(EY)=ln()=ln()E(g(Y)=故有 = E(g(Y) g(EY)= 取c=0,有 =取c=0在(a,b)内连续时（仍有），
9、有（其离散形式为:设0,i=1,n, ,则有例6 证明 1分析 若能证级数收敛，且，从而就可证明此不等式.为此构造一个广义贝努利模型.证明 设随机试验E 只有两个基本结果和，将E独立重复的做n次，再第k次试验中,A出现的概率为（02）记的充要条件为=0，若取=，则有另一方面注意到： ， 所以 ， 从而 。在证明不等式的过程中，除了构造适当的概率模型这种方法外，我们还可以利用概率的性质来证明不等式，包括概率的期望，方差以及我们常接触和使用的jensen不等式.2 利用概率的性质证明不等式在利用概率性质证明不等式时，关键要熟悉概率的性质，在证明时选择适当的性质，在解题中加以灵活运用2.1 利用期望
10、的性质证明不等式例1 证明分析 由数学期望的性质：及当随机变量与相互独立时有，可得，从而。证明 设随机变量随机变量与相互独立，的概率分部为p(=）= (i=1,2,n), 的概率分部为p(=）=，(i=1,2,n).则E=,E=,又因为，从而 即 例2 设(i=1,2,n),则有证明 建立随机模型, 设随机变量的概率分布为p(=)=,其中,i=1,1,n. 由数学期望的性质：E(ln), , 即 2.2 利用方差的性质证明不等式 例2 证明，其中0且=1.分析根据随机变量方差公式及可得.证明 构造随机变量概率分布为p(=)=(n=1,2, 0, =1.),则当的期望存在时，E=,=,由，得例3
11、 已知都是正数且其和为1，求证：分析根据随机变量方差公式证明 设p(x= )=,i=1,2,3,n(规定)则 EX=.根据 0，可得2.3 利用Jensen不等式证明不等式定理4（Jensen不等式）设随机变量取值于区间(a,b),，若g(x)是区间(a,b)上连续的凸（凹）函数，则当E,Eg()存在时，有 （）例4 设,1=1,2,n,则有 证明 设随机变量是离散型的均匀分部，其概率函数为p(=)=,i=1,2,n,取g(x)=,则g(x)是一个在上连续的凸函数，计算得E= E= 利用Jensen不等式得 ，即例5 设xi=1,2,n,则 ，当且仅当时式中等号成立.证明 设随机变量，取的概率
12、分布为：P=(i=1,2,n),则 E=令g(x)= 由Jensen不等式：可知：结束语以上证明阐述了概率方法在不等式证明中的中的应用,显示了概率应用的巧妙性和优越性，通过对以上归纳的不等式的证明,可以看出,要利用概率论的方法对不等式进行证明,关键在于针对不等式的具体形式,构造相应的概率模型,再利用概率论的相关性质、定理加以证明,从而可以使一些不等式的证明大大简化。参考文献：1.费荣昌. 概率论统计解题分析M. 南京:江苏科学技术出版社,1984.2.方开泰等:谈谈数理统计中的概率方法.J 数理统计与应用概率,1987 (3) 355 3673.陆传荣, 林正炎. 概率论极限理论引论M. 北京: 高等教育出版社, 19894.徐静. 一类不等式的证明于应用J. 数学通报，2009.125.魏宗舒等编，概率论与数理统计M.北京:高等教育出版社，1983.106.陈国良: 概率论与数理统计M,北京,机械工业出版社,1995 年7.匡继昌: 常用不等式(第二版)M ,湖南教育出版社1993 年5 月8.魏宗舒.概率论与数理统计M.北京: 高等教育出版社,19949.Kreyszig E. Introductory of functional analysis with applicationsJ. New York: Wiley, 1978