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1、6.2平面向量的坐标表不随堂演练巩固1 .已知向量 a=(1 , 0) , b=(0 , 1) , c=ka+b(ke R), d=a b,如果 c / d,贝U k=【答案】一1【解析】因为 c=k(1,0)+(0,1)=(k,1), d=(1, 1),由 c / d 知一k 1=0,故 k= 1.2 .若平面向量a,b满足| a+b|=1, a+b平行于x轴，b=(2, 1),贝U a= .【答案】(一1,1)或(一3,1)【解析】a+b=(1,0)或(一1,0),则 a=(1,0) (2, 1)=( -1,1)或 a=( 1,0) (2,1)=( -3,1).3 .已知两点P(3,4),
2、 Q(12,7),点R在直线PQ上，且|PR |= 1 | PQ |,则点R的坐3标是 .【答案】(6,5)或(0,3)【解析】PR = - PQ 时，即(Xr 3, yR 4)= - (9,3),R(6,5);3 3同理，当 PR = -1 PQ 时，R0,3).3.点R的坐标是(6 , 5)或(0,3).4 .在平行四边形 ABC用，AC与BD交于点 Q E是线段OD的中点，AE的延长线与 CD交于点F,若 AC =a,BD =b,则 AF = .(用a和b表示)21【答案】2a+1b【解析】如图所示，由于E为BD的一个四等分点，且4AB殍 DEF故处=型=3.FE ED AF = 4 A
3、E,而 AE= AO + OE = 1 AC + 1 BD=1 a +1 b.32424AF =4 AE = 2a+1b.333课后作业夯基1.已知向量a=(1 , 1) , b=(2 , x),若a+b与4b 2a平行，则实数 x的值是【答案】2【解析】因为 a=(1 , 1) , b=(2 , x),所以 a+b=(3 , x+1),4b 2a=(6, 4x-2),由a+b与4b 2a平行,2.设 a=(sin x,得 6(x+1) 3(4x2)=0,解得 x=2.【解析】a=(sin x,),b=(1 , 1 cosx),且 a / b,，1sin23xcos x 441=0, 3即si
4、n2 x1=0.44sin2 x=1.又x为锐角，ji n2x= , x=.3已知向量a=(1,一 x),b=(x1,1),则|a+b|的最小值是x【解析】 a+b=(x,1、21,-),|a+b|= Jx2 + 八2 (当且仅当x=1时取等号).4.设a、b是不共线的两个非零向量，已知AB =2a+pb,BC =a+b, CD = a_2b.若 A、R D三点共线，则p的值为【答案】一1【解析】本题考查两向量共线的充要条件BD = BC + CD =2a-b,AB =2a+pb,由 A、R D三点共线 = AB = X BD= 2a+pb=2 入 a 入b=2 九=2= p= 1. 巾二一九
5、-),b=( 1, 1 cosx),且 a / b,则锐角 x 为5 . ABC勺三内角AB,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,ca),若p/ q,则角C的大小为.【解析】由p/ q,得(a+c)( c a)=b(b a),即b2+a2-c2=ab,利用余弦定理可得 cosC=,2ji因为C为三角形的内角，从而C=g.6 .与向量a=(12,5)平行的单位向量是【答案】(12, -5)(-12, -A) 13 131313【解析】土 =(12;5)=(12,).|a|,122 5213 137 .在平面直角坐标系中，双曲线 r的中心在原点，它的一个焦点坐标
6、为（J5 ,0）,e（2,1）、e2=（2, - 1）分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线 r上的点 P,若OP =ae1+be2（a、bCR）,则a、b满足的一个等式是 .【答案】4 ab=11X2【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为土，可得双曲线方程为-一 2422=入,即L=1.又双曲线的一个焦点坐标为（-、5 ,0）,.4入+入=5,解得入=1.2.双曲线的方程为 y2=1.4而 OP =ae1+be2=(2 a, a)+(2 b, b)=(2 a+2b, a b),又 P在双曲线上，(2a2b)2/、2 ,- L(a-b) =1.4整理得4ab=1.8.已知向量 OA=(
7、 3, 1), OB= (2,3), OC =OA+OB ,则向量OC的坐标是，将向量 OC按逆时针方向旋转90。得到向量 OD,如右图所示，则向量OD的坐标是7【解析】OC= OA+ OB =( 3, 1)+(2,3)=(1,2), OD=(9.给定两个长度为1的平面向量OA和OB ,它们的夹角为120 .如图所示,2,-1).点C在以O为圆心的圆弧 AB上变动.若OC =xOA+yOB ,其中x, y C R则x+y的最大值是【答案】2【解析】设/AOC” ,OC oA = xoA OA,OC OB = xOA OB + yOB OB,1 cos： = x - y,21 cos(120 -
8、二)- =3 x y. -x+y=2 cos a+cos(120 a) =cosa+V3sin a =2sin( a +) 2.610.已知梯形ABC珅，| Ab |=2| DC | ,M N分别是DC AB的中点，若AB =e1,AD =e2,用 a, e2表示 DC , BC , MN .【解】| AB |=2| DC |, DC = _ AB = 1 ei= ei+0e2, 222112连结DN MN则而=CB ,BC = AC - AB = AD + DC AB = ei+e2ei= ei+e2. 2MN =MD + DN =- ：DC+(-BC 尸-11.已知 A(2 , 3) ,
9、B(5 , 4) , C(7 , 10) , AP =i i i ei e2+ ei= ei e2.AB +入AC.则当入为何值时,(i)点p在第一、三象限的角平分线上；(2)点p到两坐标轴的距离相等？【解】(i)由已知 aB=(3, i), AC =(5 , 7),则 AB + 入 AC =(3,i)+ 入(5,7)=(3+5 入,i+7 入).设 P(x, y),则 AP =(x 2, y 3),X -2 =3+5九，x=5 + 5九，x 3=i +7 九.J=4+7M点P在第一、三象限的角平分线上，一一 一 1x=y,即 5+5 入=4+7 入.入=.(2)若点P到两坐标轴的距离相等，则
10、 |x|二| y|,即 |5+5 入 |=|4+7 入 |,入=1或入=3.2412.如图，已知点 G是 ABO勺重心.求 GA+GB + Go ；(2)若 PQii ABO勺重心 G,且OA=a, OB =b, OP =ma, OQ=nb,求证：+ - =3.m n.4【解】(1) GA + GB + GO =0.(2)显然 OM = 1 ( a+b).2因为G是 ABC勺重心，所以 OG = 2 OM = 1 ( a+b). 33由P, G Q三点共线，有PG , Gq共线，所以，有且只有一个实数 入，使PG =九GQ .而 PG =OG OP = - ( a+b) ma=( - m) a+- b, 33311一 一 m = 一一,33GQ = OQ - OG =nb ( a+b)= a+( n ) b,所以(1 m) a+1b=入1 a+( n1) b，又因为a,b不共线，所以3333消去入，整理得3mn=m+n,故工+ 1 =3.m n