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1、2013 年普通高等学校统一考试数学试题 一填空题。 1函数的最小正周期为 。) 4 2sin(3 xy 2设（ 为虚数单位） ，则复数的模为 。 2 )2(iziz 3双曲线的两条渐近线的方程为 。1 916 22 yx 4集合共有 个子集。1 , 0 , 1 5下图是一个算法的流程图，则输出的的值是 。n 6抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ，结果如下： 运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。 7现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取
2、，则都取到奇 nmY Xmn7m9nnm， 数的概率为 。 8如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥ABCCBA 111 FED， 1 AAACAB， 的体积为，三棱柱的体积为，则 。ADEF 1 VABCCBA 1112 V 21:V V A B C 1 A D E F 1 B 1 C 9抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部与边界） 。若点 2 xy 1xD 是区域内的任意一点，则的取值范围是 。),(yxPDyx2 10设分别是的边上的点，若ED，ABCBCAB，ABAD 2 1 BCBE 3 2 （为实数） ，则的值为 。ACABDE 21 21 ， 21 11已
3、知是定义在上的奇函数。当时，则不等式的解集用区间)(xfR0 xxxxf4)( 2 xxf)( 表示为 。 12在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线xOyC)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x F 为 ，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到 的距离为，若，lBBF 1 dFl 2 d 12 6dd 则椭圆的离心率为 。C 13在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点xOy),(aaAP x y 1 0 x 之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 。AP，22a 14在正项等比数列中，则满足的最大正整数 n a 2 1 5 a3 7
4、6 aa nn aaaaaa 2121 的值为 。n 二解答题： 15本小题满分 14 分。已知，。(cos ,sin)(cos,sin)ab ，0 （1）若，求证：；（2）设，若，求的值。|2ab ab (0,1)c abc , 16本小题满分 14 分。 如图，在三棱锥中，平面平面，过作，ABCS SABSBCBCAB ABAS ASBAF 垂足为，点分别是棱的中点.FGE，SCSA， 求证：（1）平面平面； （2）./EFGABCSABC A B C S G F E 17本小题满分 14 分。如图，在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径xOy)3 , 0(A42:xylC 为 ，圆心在
5、 上。1l （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；C1 xyAC （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。CMMOMA2Ca x y A l O 18本小题满分 16 分。如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直ACA 线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲乙两位游客从CABBC 处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停AACmin/50mmin2ABB 留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，min1Cmin/130mACm1260 经测量，。 13 12 cosA 5 3
6、cosC （1）求索道的长；AB （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？C3 C B A 19本小题满分 16 分。设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记 n aad)0(d n Sn ，其中为实数。 cn nS b n n 2 * Nnc （1）若，且成等比数列，证明：（） ；0c 421 bbb， knk SnS 2 * ,Nnk （2）若是等差数列，证明：。 n b0c 20本小题满分 16 分。 设函数，其中为实数。axxxf ln)(axexg x )(a （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。)(xg), 1()(xf