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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。三角形各种心的性质研究一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心三角形的心是三角形的重要几何点在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨1重心：设是的重心，的延长线交于，则， （ 2） ；（3），（4）2.外心：设（）是的外接圆，于交于，则（1）；（2）或；（3）=；（4）（正弦定理）3.内心：设的内心圆（切边于，的延长线交外接圆于，则 （1）; (2)；(3)；(4);4.垂心：设分别是的外心，重心，垂心，于，的延长线交外接圆于，则，（1）
2、；（2）与关于成轴对称；（3）；（4）三点共线，且；5旁心：设在内的旁切圆（与的延长线切于，则，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）6三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在中，内切圆分别与三边相切于点，边上的帝切圆与边切于点，且分别与边和这的延长线相切于点、点设三边、分别为，分别为，内切圆半径为，旁切圆半径分别为，外接圆半径为，三角形面积为，则有如下关系式：（1），；（2）；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）；（5）；（6）7界心如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点其中三角形的周界是指由三
3、角形的三边所组成的围由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）三角形的周界中线交于一点定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心二、例题分析例1设的外接圆的半径为，内心为，的外角平分线交圆于，证明：（1）；（2）【证明】（1）延长交外接圆于，连结，易知，故为正三角形，易证，同理，即在以为圆心，为半径的圆上， 设的延长线交于，则、分别为的内、外角平分线，即为的直径，又在中，但与为等圆，故（2）连接，同上易证，又，为等边三角形，记为由知，从而有，即，又，
4、故例2锐角的外心为，线段的中点分别为、，求【解】设，则，又；从而即为等腰三角形，又，例3如图分别为的外心和内心，是边上的高。在线段求证：的外接圆半径等于边上的旁切圆半径。证明（1）记，设的延长线交的外接圆于，则是圆的半径，记为，因为，所以，从而 (1)=，=，=，所以 （2）由（1）、（2）得，所以设的边上的旁切圆半径为，则。所以 ，即的外接半径等于边上的旁切圆半径。证明（2）记，的边上的旁切圆半径为，的边上的高为，设交于，交外接圆于，连，又由，知，有，即,但，有，代入上式，得，即的外接半径等于边上的旁切圆半径。证明（3），的边上的旁切圆半径为，的外接半径，作于，于。=，。， 又，。证明（4）
5、记，设的延长线交的外接圆于，连交于，则，作于，则，由三点共线，故，又，。证明（5）连并延长交的外接圆于，设旁切圆圆心，则在的延长线上，连，过作于。连，则，分别为外接圆半径及旁切圆半径。又四点共圆。，设为的外接圆的圆心，即。又，又，=，而共线，故=，=，故=，即例4设是的边上作一内点，分别是、的内切圆半径；分别是这些三角形在、内的旁切圆半径试证：【证明】设又设的内切圆的圆心为，且与切于（如图），于是，从而有：由于三角形的角的内、外平分线互相垂直，因而类似地有：进而有：；类似的结论对于和也成立，故有和，以上式子相乘即可得结论：例5设为的内心，其内切圆切三边、和于点、，过点平行于的直线分别交直线和于
6、点和求证：为锐角【证明】为了证为锐角由余弦定理，只要证为此我们来计算。由，考虑及，于是同理：，而，同理：， 由正弦定理，有，因此。又，所以又，所以考虑直角，有注意到，因此所以，下面讨论界心的两个性质例6设分别为的边上的周界中点，、分别为的外接圆和内切圆半径，则（1）；（2）【证明】设，则由题设条件易知，由三角形面积比的性质，有，同理有：；从而：把三角形恒等式和代入并整理，得，由欧拉不等式，得，三、训练题1已知是的垂心，且，试求的度数2分别为的边上的点，且，又设、均为锐角三角形，其垂心依次为，求证：（1）；（2）3已知内切于的外接圆，并且与分别相切于证明的内心平分4已知中，高在其内部，过、的内心
7、引直线分别交于（1）若，则；（2）若，则也成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由，并指出不成立的情形5已知的内切圆与边切于，是的直径，的延长线交于，求证：6在等腰中，是它的外心，是它的内心，点在边上，使得与垂直，证明：直线与平行三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得
8、名） 。重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 燕尾定理：因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的中点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。SABC中，SAOB：SAOC=SBDO：SCDO=BD：CD； 同理，SAOC：SBOC=SAFO：SBFO=AF：BF；
9、 SBOC：SBOA=SCEO：SAEO=EC：AE。二、三角形外心定理：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质有： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是ABC的外心，则BOC=2A（A为锐角或直角）或BOC=360-2A（A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2
10、+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 外心公式： 三、三角形垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH=1:2。（此线称为三角形的欧拉线（Euler line） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明: 已知：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于
11、点F ，求证：CFAB 证明： 连接DE ADB=AEB=90度 A、B、D、E四点共圆 ADE=ABE EAO=DAC AEO=ADCAEOADC AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90度ACF+BAC=90度 CFAB ,因此，垂心定理成立！ 垂心坐标公式： 四、三角形内心定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P为ABC所在空间中任意一点，点0是ABC内心的充要条件是：向量P0=(a向量P
12、A+b向量PB+c向量PC)/(a+b+c). 4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、点O是平面ABC上任意一点，点I是ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0 6、(欧拉定理)ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr 7、（内角平分线分三边长度关系）：ABC中，0为内心，A 、B、 C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
13、 8、内心到三角形三边距离相等。 三角形内心坐标公式：五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 旁心的性质： 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。 如图，点M就是ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁） 三角形有五颗心，重外垂内和旁
14、心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混 重 心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好 外 心 三角形有六元素，三个内角有三边 作三边的中垂线，三线相交共一点 此点定义为外心，用它可作外接圆 内心外心莫记混，内切外接是关键 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内 心 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，
15、如此定义理当然 五心性质别记混，做起题来真是好。五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如： （1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）三角形的外心到三顶点的距离相等； （3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （4）三角形的内心、旁心到三边距离相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心 （9）三角形的任一顶点到垂心的距离
16、，等于外心到对边的距离的二倍. 下面是更为详细的性质： 1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。 性质1 垂心H关于三边的对称点，均在ABC的外接圆上。 性质2 ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。 性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。 性质4 ABC,ABH,BCH,ACH的外接圆是等圆。 性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/APt
17、anB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。 性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 性质7 设O，H分别为ABC的外心和垂心，则BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。 性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 2、内心三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质： 性质1 设I为ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到ABC三边的距离相等。
18、 性质2 设I为ABC的内心，则BIC=90+12A，类似地还有两式；反之亦然。 性质3 设I为ABC内一点，AI所在直线交ABC的外接圆于D。I为ABC内心的充要条件是ID=DB=DC。 性质4 设I为ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r，令p= (1/2)(a+b+c)，则(1)SABC=pr；(2)r=2SABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=pAIBICI。 性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为ABC
19、的A平分线AD(D在ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为ABC的内心。 性质6 设I为ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，A的平分线交BC于K,交ABC的外接圆于D，则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。 3、外心三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性质： 性质1三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。 性质2 设O为ABC的外心，则BOC=2A，或BOC=360-2A(还有两式)。 性质3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S，则R=abc/4S。 性质4 过ABC的外心O
20、任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则AB/AP sin2B+ AC/AQsin2C=sin2A+sin2B+sin2C。 性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。 4、重心性质1 设G为ABC的重心，ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F，则当Q与G重合时QDQEQF最大；反之亦然。 性质2 设G为ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交ABC的三边于D、E、F,则SAGF=SBGD=SCGE；反之亦然。 性质3 设G为ABC的重心，则SABG=SBCG=SACG= (1/3)SABC；反之亦然。 5、旁心 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。12 / 12