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1、第三章刚体的转动3-1一飞轮受摩擦力矩作用减速转动，其角加速度与角速度成正比，即k ,式中k为比例常数。初始角速度为 0,求:(1)飞轮角速度随时间变化的关系;(2)角速度由0减为。/2所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数解：(1)由 , kdtddr分离变量 kdt,并由初始条件tk0,等式两边积分kdtln kt0e0(2)当角速度由减为j时kt0ekt0e分离变量dkt111n2d dt0ekt0e ktdt ,并由初始条件t 0 ,0;等式两边积分220dkt ekt0e dt00 kt e k k，一 1_ 代入t 11n 2,得飞轮转过的角度 k00 1n 20010e k kk
2、 k 2 2k飞轮转过的转数3-2 刚体由静止开始绕一固定轴作匀角加速转动。由实验可测得刚体上 某点的切向加速度为at ,法向加速度为an ,试证明an/at 2 , 为任意时间内 转过的角度。解：刚体定轴转动时，设刚体上某点作圆周运动的半径为 R,则该点的法向加速度为an 2R切向加速度为at22电 R at R22dM rdfg rdr又0包2at3-3 一根质量为m ,长为1的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦因数为，求杆转动时受摩擦力矩的大小。解：设杆的线密度为 。在杆上取一线元距转轴为r ,质量为dm dr。该 线元在转动时受桌面摩擦力为d
3、f dN d mg g dr摩擦力方向与r垂直，故线元受摩擦力矩的大小为0 ,且 00,00杆转动时受摩擦力矩的大小为1M dM g rdrl23-4 如图所示，一长为l ,质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m的小球，杆可绕通过其中心。且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转 动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，释放后，杆绕。轴转动。当杆转到水平位置时，求系统所受的合外力矩M与系统的角加速度大小。解：两小球对水平转轴的转动惯量为2, lJ m2当杆转到水平位置时,2l 3,22m -ml24，小球和直杆所受合外力矩为题3-4图由刚体的转动定律2mg 2mg12 mgl1
4、2 mgl32一 ml42g3l3-5 如图（a）所示，一轻绳绕于半径r 0.2m的飞轮边缘，现以恒力F 98N 拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。已知飞轮的转动惯量为J 0.5kg m2 ,飞轮尸=2(u j b i题3-5图与轴承之间的摩擦不计。(1)(2)求飞轮的角加速度；求绳子拉下5m时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能;(3)这动能和拉力F所做的功是否相等？为什么?(4)如以重量P 98N的物体m挂在纯端，如图（b）示，飞轮将如何运动？试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下 5m时飞轮获得的动能。这动能和重力对物体m所做的功是否相等？为什么?解：恒力F作用于飞轮的力矩M Fr 19.6N(
5、1)由刚体转动第二定律的角加速度M , 39.2radJ(2)绳子拉下5m时，飞轮转过的角度设经过的时间为-25rad rt,则t21.13s飞轮的角速度t 44.3rad s飞轮获得的动能Ek(3)拉力F所做的功为1j 22A Fl490J490J与飞轮获得的动能相等(4)若在纯端挂98N重量的物体则有JT ma解得绳子拉下5m时,飞轮的角速度为，由t飞轮获得动能重力对物体所做的功Ek 2JA Pl物体所获动能Ek题3-5图(a)PJmr 一 r21.8rad2l1一 33.0rad s 12 272.4J490J121mv - m222r 217.8J题3-5图(b)(2)如m2与桌面为光
6、滑接触，求系统的加题3-6图重力对物体所做的功为物体动能和飞轮动能之和。3-6 如图所示，两物体的质量分别为 mi和m2,滑轮转动惯量为J ,半径(1)若m2与桌面间滑动摩擦系数为，求系统的加速度a及纯中张力(设纯不可伸长, 纯与滑轮间无相对滑动)；速度与纯中张力;(3)若滑轮的质量不计则结果又如何?解：(1)若m2与桌面滑动摩擦系数为,则有如下方程组m1aJ解得mig 工TiT2 rT2 m2g a rmim2 gJmim2rJ mi m2m2 grJmim2rJ m2 mimi grJmi m2r(2)若m2与桌面光滑接触，则有migTiTi T2 aT2 rm2a rmiaJ解得Timi
7、gJ mim22rJmim2gmigrJm1m2二rmim2gmim2(3)若再忽略滑轮质量mi g T|miaTiT2 aT20m2a r解得TimigmiT2m2mm2gmim23-7如图所示，轻弹簧、定滑轮和物j-r体系统。已知弹簧倔强系数滑轮转动惯量J 0.5kg m2开始物体静止，弹簧无伸长,求当质量为m 60kg的物体落下0.4m时它的速度大小。题3-7图代入解：设物体m下落了 x时,由机械能守恒定律mgx1kx2 2i 2一 mv22J2v故有rmgx /22mgxx 0.4m, m 60kg , r 0.3m, J 0.5kgm2, k 2N miiv 2.678m sif3-
8、8 如图所示，一质量为m的物体 与绕在定滑轮上的绳子相联，纯子质量可 以忽略，它与滑轮之间无滑动。假设定滑滑轮轴光滑。求该物体由静止开始下落过轮质量为M ,半径为R ,转动惯量为MR2/2 ,题3-8图程中下落速度与时间的关系。解：方法一：由牛顿第二定律及刚体的转动定律得mgTRTJR1 -MR 2mamg题3-8图故物体m的下落速度为atmgt方法二：由机械能守恒定律其中h 2 at2解得3-9Jaa 1.93Jbb 1.14mgh水分子的形状如图所示。10 47 kg m2 ,对 BB1 mv22J2 vt2MR2mgt M m - 2从光谱分析知水分子对10 47kg m2。试由此数据和
9、各原子的质量求出氢和氧原子间的距离d和夹角。假设各原子都可当质点处理。解：水分子中两个氢分子对 AA轴和BB轴的转动惯量分别为JaaJ BBAA轴的转动惯量是轴的转动惯量是题3-9图J AAr* 2dmd sin - dm22MHd2sin2 2J BBdm2d cos- dm2222M H d cos已知氢原子质量MH1.6736710 27 kg、两式相除,把值代入式得J AAJ BB4721.93 10 kg m1.14 10 47kg m2tan2J AA2 JBB2 arctan 1.30104.86104 522J AA9.58 10 11m3-10 如图所示,从一个半径为R的均匀
10、薄板上挖去一个直径为 R的圆板。所形成的圆洞中心在距原薄板中心 R2处。所剩薄板白质量为m。求此时薄板对于通过圆中心而与板面垂直的轴的转动惯量。解：设均匀薄板被挖去圆板后的转动惯量为J ,挖去圆板前的转动惯量为Ji,被挖去的圆板对通过自己圆心 O并垂直于板面的转轴的转动惯量为被挖去的圆板对转轴的转动惯量为J2,则有J Ji J21R m ,由平行轴止理222,1RJ2 m m222R m m2 R R2J2 3 m 222 2 sin 60 l dl mR28.121 m 222J1 m m R m R - mR2233薄板对通过圆中心O的垂直轴的转动惯量J J1 J22 mR2 1 mR2
11、13 mR23 8243-11 如图所示，一根质量均匀的铁丝，质量为m ,长为L ,在其中心。处 弯成 120角，放在xOy平面内。(1)求对Ox、Oy轴和Oz轴的转动惯量；(2)如果 60 , (1)中结果如何？题3-11图解：(1)120 , 302对Ox在距。点为l处取线元dl ,距Ox轴为r l sin 。线元质量为dm mdl , 轴的转动惯量为dJ r2dm l2 sin2 mdl L铁丝对Ox轴的转动惯量LLm 22Jox 2 2dJ 2 2-sin l dl ox 00 l2m2sin2 30l3-mL2 480 L同理J0y mL2 , Joz - mL2y 1612(2)若
12、 60 , 60Jox-mL2162I112.1, 2Joy 48 mL Joz 12mL3-12 长为1m ,质量为2.5kg的匀质棒，垂直悬挂在转轴O点上，用F 100N的水平力撞击棒的下端，该力作用的时间为0.02s,求:(1)棒所获得的动量矩;(2)棒的端点上升的距离。解：棒对转轴的转动惯量为122J -ml2 0.833kg m2(1)在打击瞬间，重力对转轴不产生力矩，由角动量定理，棒所获得的动量矩题3-12图J Fl t 2.0kg m2 s 194o15(2)撞击后，棒转动到最高位置时角速度为零，以棒和地球为研究对象,此过程中机械能守恒。设棒的中心A上升的距离为2J2 mgh1,
13、 22-ml.22mg3 L_2mg 6g其中F_L 2.4rad s1代入上式Jh 0.098m棒的端点上升的距离H 2h 0.196m题3-13图3-13 如图所示，一根质量为m,长为2l的均匀细棒，可在竖直平面内绕 通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置。一质量为 m的小球，以速 度u垂直落到棒的端点。设小球与棒作弹性碰撞。求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度。 解：棒的转动惯量为J m 2l 2 - ml2123设碰撞后小球的速度为v,棒的角速度为。碰撞过程内力比外力大的多，碰撞 过程角动量守恒，则有m ulm vl J又因小球与棒作弹性碰撞，机械能守恒1mu21 mv2J222
14、21把J ml2代入两式解得3u m 3m6m uv m 3mm 3ml3-14 如图所示，一长l 0.40m,质量为m 1.0kg的均匀细木棒，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止，今有一质量m 8.0g的子弹以vo 200m s 1的速率水平射入棒中，射入点在轴下 d 31/4处。求:(1)子弹停在棒中时棒的角速度;(2)棒的最大偏转角。解：(1)子弹对转轴的转动惯量为J md20.72 10 3 kg m2细木棒的转动惯量1 J ml3题3-14图53.33 10 3 kg m2子弹射入棒前对转轴的角速度为强，射入后与棒一起转动的角速度为 d射入木棒前后，子弹与木棒的角动量守恒黑 8.88
15、rad s13l(2)设棒的最大偏转角为4cos31、一1 cos41 J2由机械能守恒定律mg21 cos Mg； 1 cos解得cos 0.0743-15 如图所示，质量为m ,长为l的均匀细杆可绕过端点O的固定水平轴转动。杆从水平位置由静止开始下摆，杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球看作质点，质量也为 m ,设碰撞是弹性的，忽略轴上摩擦，求碰后小球获得的速度V 。解：细杆的转动惯量为J杆摆在竖直位置时,质心下降了1 2-ml3_2由机械能守恒定律3g题3-15图题3-15图设碰撞后小球的速度为v ,杆的角速度为碰撞过程内力比外力大的多,碰撞过程角动量守恒，则有J mvl由于是弹性碰撞，机械能守恒1 mv21J 22J 01ml2代入两式得 322MH sin2 2,棒的中心和子弹上升的高度分别为