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1、基础部制作,高 等 数 学,第七章 定积分,在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中，经常需要计算某些“和式的极限”。如：曲边梯形的面积，变速直线运动的路程等。这就是第七章我们要学习的内容。 定积分就是从各种计算“和式的极限”问题抽象出的数学概念，它与不定积分是两个不同的数学概念。但是，微积分基本定理则把这把这两个概念联系起来，解决了定积分的计算问题，使定积分得到了广泛的应用。,第一节 定积分的概念,7.1.1 曲边梯形的面积 所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平面图形（如下图所示）。 如何求曲边梯形的面积？,求解思路：分割 取近似 求和 取极限,把大的曲边梯形沿着y轴方向 切割成许
2、多窄窄的小曲边梯 形，把每一个小曲边梯形近似 看作一个矩形，用矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积。 把这些近似值加起来，就是大 曲边梯形面积的近似值。显 然，分得越细，近似程度越 高。,如果把区间a, b无限细分，使每个区间的长度无限趋于0，这时小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。,即 （面积是和式的极限）,7.1.2 定积分的定义,关于定积分定义的几点说明：,定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量采用什么字母无关。 定积分的存在性：当f(x)在a,b上连续或只有有限个第一类间断点时，f(x)在a,b上的定积分存在。 规定 初等函数在定义区间内部都是可积的,7
3、.1.3 定积分的几何意义,如果f(x) 0，图形在x轴的上方（如右图） 由前面的曲边梯形面积的讨论可知积分值为正,且 2. 同理，如果f(x)0,图形在x轴的下方，积分值为负，且,3.如果f(x)在a,b上有正有负时（如右图所示） 则积分值就等于曲线y=f(x)在x轴上方部分与下方部分面积的代数和。,7.1.4 定积分的性质,假定下面有关函数在所给区间内都是连续的 性质1 函数的代数和可逐项积分，即 性质2 被积函数的常数因子可提到积分号外面，即 性质3 （可加性）不论a、b、c三点相互位置如何， 恒有,性质4 （积分的比较性质）在a,b上若f(x)g(x),则 性质5 （积分估计性质）设M
4、与m分别是f(x)在a,b上 的最大值与最小值，则 性质6 （积分中值定理）如果f(x)在a,b上连续，则至 少存在一点 使得,思考题 1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推证下列积分的值： 2.若当axb,有f(x) g(x) ,问下面两个式子是否均成立，为什么？,小结,7.2 微积分基本公式,7.2.1 变上限定积分,由上分析可得：,推论 连续函数的原函数一定存在。 （这就解决了上一章原函数存在问题，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 ）,例题：,7.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 (Newton-Leibniz),牛顿于1665-1666年间发明了微积分，1687
5、年公布在巨著自然哲学的数学原理中。莱布尼兹于1673-1676年间发明了微积分，1684年公布了论文。微积分到底是谁发明的，这在世界科学史上曾是一桩公案。 微积分“是牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的”（恩格斯：自然辩证法）。 下面将简介两位科学家,大科学家牛顿（Newton),牛顿-英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。,数学天才莱布尼兹,莱布尼兹（Gottfriend Wilelm Leibniz,1646-1716）是
6、17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。,返回,关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹于1684年10月发表在教师学报上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法
7、，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了。）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。,牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x
8、的微分，表示积分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发表了微积分的历史和起源一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。,定理2：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，又函数F(x)是函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则 注：1、此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积 分与原函数(不定积分）之间的联系。它表明：一个连续函数在 区间a,b上的定积分等于它的任一个原函数在区间a,b上的增量。因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。 2、通常也把牛顿-莱布尼兹公式称作微积分基本公式。,例题,思考题,2.在牛顿-莱布尼兹公式中，要求被积
9、函数f(x)在积分区间a,b上连续。问当f(x)在区间a,b上有第一类间断点时，还能否用牛顿-来布尼兹公式计算定积分？,7.3.1 定积分的换元法,几点说明：,“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限. 从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量,这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼兹公式求出定积分的值. 从左到右应用上公式,相当于不定积分的第二换元法,这时换元必换限,不用回代,这与不定积分的第二换元法是完全不同的.,例题：,换元必 换限,说明：这一解法没有引入新的积分变量，计算时，原积分的上、下限
10、不要改变。比较以上几个例子可知，对于能用“凑微分法”求原函数的积分，应尽可能用此方法，从而简化计算。,证: (1),(2) 由(1)的证明过程可知,例5. 证明,证:,特别地有,思考题：,7.3.2 分部积分法,定理2. 设u(x), v(x)在a ,b上有连续 导数, 则有,上式称为定积分的分部积分公式 此公式的应用关键是： 的选取。,例1.,解: 由公式得,例2.,解:,例3.,解:,则,而易求得,则当n为偶数时,则当n为奇数时,思考题,解,令,思考题分析,正确解法是,小结,7.4.1 无穷区间上的广义积分,例1 计算广义积分,解,例2 计算广义积分,解,证,证,7.4.2 无界函数的广义积分,定义中C为瑕点，以上积分也称为瑕积分.,例5 计算广义积分,解,证,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,例8 计算广义积分,解,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷区间上的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,小结,思考题解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,