《初中数学奥林匹克中的几何问题第4章斯特瓦尔特定理及应用附答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学奥林匹克中的几何问题第4章斯特瓦尔特定理及应用附答案.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四章第四章特瓦尔特定理及应用特瓦尔特定理及应用 【基础知识】 斯特瓦尔特定理设P为ABC的BC边上任一点（P B，P C） ，则有 AB2 PC AC2 BP AP2 BC BP PC BC 22或A P A B P CB PP C 2 B P A C B2C B CB CB CB C 证明如图 4-1，不失一般性，不妨设APC 90，则由余弦定理，有 A BP 图41 C AC2 AP2 PC2 2AP PC cosAPC， AB2 AP2 BP2 2AP BP cos(180APC) AP2 BP2 2AP BPcosAPC 对上述两式分别乘以BP，PC后相加整理，得式或式 斯特瓦尔特定
2、理的逆定理设B，P，C依次分别为从A点引出的三条射线AB，AP，AC上的点， 若 AB2 PC AC BP AP2 BC BP PC BC， P CB PP C 2 B P A C B2C， B CB CB CB C 则B，P，C三点共线 22或A P A B 证明令BPA 1 ，APC 2 ，对ABP和 APC分别应用余弦定理，有 AB2 AP2 PB2 2AP PB cos 1 ，AC2 AP2 PC2 2AP PC cos 2 将上述两式分别乘以PC，BP后相加，再与已知条件式相比较得 2AP BP PC cos 1 cos 2 0，由此推出 1 180 2 ，即证 斯特瓦尔特定理的推广
3、（1）设P为ABC的BC边延长线上任一点，则 PCBPPCBP AC2 BC2 BCBCBCBC （2）设P为ABC的BC边反向延长线上任一点，则 AP2 AB2 AP2 AB2 PCBPPCBP AC2 BC2 BCBCBCBC 注若用有向线段表示，则，式是一致的 推论 1设P为等腰ABC的底边BC上任一点，则AP2 AB2 BP PC 注此推论也可视为以A为圆心，AB为半径的圆中的圆幂定理 推论 2设AP为ABC的BC边上的中线，则AP2 111 AB2AC2BC2 224 推论 3设AP为ABC的A的内角平分线，则AP2 AB AC BP PC 推论 4设AP为ABC的A的外角平分线，则
4、AP2 AB AC BP PC 推论 5在ABC中，若P分线段BC满足 AP2(1)BC2 (1)AB2 AC2 BP ，则 BC 注若 1kkBP AB2AC2 BC2 k，则AP2 21 k1 k PC1 k 【典型例题与基本方法】 1选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键 例 1如图 4-2，凸四边形ABCD中，ABC 60，BAD BCD 90，AB 2，CD 1，对角 线AC，BD交于点O求sinAOB（1996 年北京中学生竞赛题） C D O P 图42 A B 解延长BA，CD相交于P，设BC x，则PB 2x，PC 3x，对 PBC及PB边上的点A，应 用
5、斯特瓦尔特定理，有 CA2 PC2 ABPA BC2 AB PA PBPB 3x 2 22x 2 x222x 2 2x2x x2 2x 4 D P C P A P B由RtADP RtCBP， 有P， 即3x 1 3 x 2x2 2 x ， 求得BC x 43 AC于 是 ，CA21 563又 在RtBCD中 ，BD2 x21 20 8 3， 从 而B D 4 5 2 3 3 52 3 10 3 12 而S ABCD S ABD S BCD 2 3 2 故 13 3 43 ， 22 13315 6 3 1 03 1 2 s iAOBn，即sinAOB 为所求 2226 例 2如图 4-3，在A
6、BC中，A 60，AB AC，点O是外心，两条高BE，CF交于H点，点M， N分别在线段BH，HF上，且满足BM CN，求 MH NH 的值 OH （2002 年全国高中联赛题） A T F O H EL S B C 图43 解延长BE交 O于L，由三角形垂心性质，知L为H关于AC的对称点，则LC CH 设 O的半径为R，OH d，CH x，BH y，由CLB =A 60，知LH LC CH x延长 OH两端交 O于T，S，如图4-3，由相交弦寇理有TH HS BH HL，即R dR dx y，即 R2 d2 xy 在 BCL及边BL上的点H，应用斯特瓦尔特定理，并注意到BC 2RsinA3R
7、，可得 BC2 LH LC2 BH LH BH BL CH2 BL， 即 3R 2 x x2 y x y x y x2x y， 亦即R2 于是，有 1 22x x y y 3 1 2x xy y2 d2 xy 3 2 亦即 x y d2 3，即 x y d 3 而当AB AC时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y， 故 x y MH NH 3为所求 OHd 2注意斯特瓦尔特定理的推论的应用 例 3如图 4-4， 自 O外一点引圆的两条切线PE，PF，E，F为切点， 过P点任意引圆的割线交 O 于A，B，交EF于C证明： 211 PCPAPB （2001 年湖南中学生
8、夏令营试题） E B A P C F 图44 证明由相交弦定理，有EC CF AC CB 由于PE PF，对等腰PEF及底边EF上的点C，应用斯特瓦尔特定理的推论 1，有PC2 PE2 EC CF，即有 PE2 PC2 EC CF PC2 AC CB PC2PC PAPB PC PC2 PC2 PA PB PC PB PC PA PA PC PB PC PA PB 而PE2 PA PB，从而2PA PB PA PC PB PC 211 P CP AP B 注此例结论表示线段PC是线段PA，PB的调和平均这个结论亦即为点P、C调和分割弦AB 例 4如图 4-5，设在ABC中，AB AC，AE平分
9、A，且交BC于E，在BC上有一点S，使 故 BS EC求证：AS2 AE2AB AC 2 A （1979 年江苏省竞赛题） BS 图45 EC 证明对ABC及边BC上的点S，应用斯特瓦尔特定理，有 AS2 AB2 SCBS AC2 BS SC BCBC 由AE平分A，对ABC及边BC上的点F，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有AE2 AB AC BE EC，从而 AS2 AE2 AB2 SCBS AC2 AB AC BE EC BS SC BCBC 因BS EC，有BE SC，即BE EC BS SC 由角平分线的性质，有 即 B EA BE CA C ，, B CA B A CB CA BA C
10、 S CB E B CB C A BB SE CA C , ABA CB CB CA BA C 2 从而，由式，有AS2 AE2AB AC 例 5凸多边形ABCD外切于 O，两组对边所在的直线分别交于点E、F，对角线交于点G求证： DGEF（ 中等数学 奥林匹克题高中251题） 证明如图 4-6， 设 O与边AB、BC、CD、DA分别切于点M、N、R、S， 则由牛顿定理知，AC、 BD、MR、NS四线共点于G由切线长定理，知EM ER A S M B O G N C R D F E 图46 由推论 1，有EG2 FS2 MG GR 同理，FG2 FS2 SG GN 联结MO、EO、SO，令 O
11、的半径为r，则 EM2 OE r2，FS2 OF2 r2 又由相交弦定理，有MG GR SG GN 于是，由、有EG2 ED2 FG2 FO2 由定差幂线定理，知OG EF 注（1）牛顿定理圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4 条直线共点 （2）定差幂线定理设MN、PQ是两条线段，则MN PQ的充要条件为PM2 PN2 QM2QN2 此定理可用勾股定理及逆定理证明这个定理放到空间也是成立的运用向量法可给出平面、空间的 统一证明如下： 2 2 2 2 由PM2QN2 PN2QM2 PM QN PN QM 2 PM PN PQ 2 2 2 PN PM PQ 2 2 2 2 2 2 PM
12、 PN PQ 2PN PQ PM PQ 2PM PQ PN 2PM PQ2PN PQ 2 PM PN PQ 2NM PQ 知N M P Q N M P Q 0 故M N P Q P2M 2P N 2O M 2NQ 例 6已知E、F分剔是ABC的边AB、AC的中点，CM、BN是边AB、AC上的高，联结EF、 MN交于点P又设Q、H分别是ABC的外心、垂心，联结AP、OH求证：APOH （2005 年国家队集训题） 证明如图 4-7， 联结AO、AH 设O 1 、H 1 分别为AO、AH的中点， 则H 1N 即知点H 1 在线段MN的中重线上，应用推论 1，有 A 11 AH，H 1M AM， 2
13、2 M E O O 1H 1 P F N H B 图47 C H 1P 2 H 1M 2 MP PN 注意到EF为ABC中位线，O在BC的中垂线上，由此知O 1 也在EF的中垂线上，应用推论 1，有 O 1P 2 O 1E 2 EP PF 再注意到ANM ABC AEF，知M、E、N、F四点共圆，并由直角三角形性质，有 MP PF EP PF 及 O 1E O1 A、H 1M H1A 由、得H 1 A2 H 1P 2 O 1A 2O 1P 2由定差幂线定理，O 1H1 AP 而O 1H OH ，故APOH 注此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例 15 例 7设D是ABC的边BC上一点，
14、满足CDA CAB， O经过B、D两点， 并分别与AB、AD 交于E、F两点，BF、DE交于点G，联结AO、AG，取AG的中点M求证：CM AO 证明如图 4-8，在AG的延长线上取点P，使得AG AP AF AD（即G、P、D、F四点共圆） ， 则由AE AB AF AD知E、B、P、G也四点共圆于是BPA 180 BED 180 BFD BFA，知B、P、F、A四点共圆，即有FG GB AG GP AF AD AG2 E M F O P B G D 图48 C 联结OD、OF、OE，并令O半径为R，则对ODE、ODF分别应用推论 1，有 OG2 OD2 EG GD R2 FG GB OA2
15、 OD2 AF AD R2 FG GB AG2 联结OM，由三角形中线长公式，并注意、，有 11 MO2 MA2(2OA2 2OG2 AG2)AG2 R2 44 联结OB、OC，对OBD应用推论 1，有CO2OB2CD CB R2CD CB 又由CDACAB，有CA2 CDCB，即有CO2CA2 R2 注P即为完全四边形的密克尔点，由、有MO2 MA2 CO2CA2由定差幂线定理，知CM AO 3注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理 斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理 证明如图 4-9，在ABC中，点P在BC上，由斯特瓦尔特定理，有 A B E P C 图49 AP2 BC AB2 PC AC2
16、BP BP PC BC 延长AP交ABC的外接圆于E，连BE，EC，由ABP CEP和ACP BEP，有AB AP CE AP，AC BP AP BE 又由相交弦定理，有BP PC AP PE 于是，得AP2 BC AB CE AP AC AP BE AP PE BC， 即B CA P P E ABC E，B EA C 亦即A B C EA C B EBC即为托勒密定理 由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理 证明如图 4-10，设圆内接四边形ABEC的对角线AE，BC交于P由托勒密定理，有 A B P E 图410 C AB EC AC BE BC AE 即A B E C A C B EBPPC
17、A E 由ABP CEP和 ACP BEP，有EC AB PCAC BP ，BE 由相交弦定理，有 APAP BP PC 将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理 AP 因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题 也能用斯特瓦尔特定理处理反之亦然 例 8若ABC的三边为连续整数，且最大角B是最小角A的两倍，求三角形的三边长 （IMO-10 试题） 解法 1作ABC的平分线BD（图略） ，则BD AD，令AD y，AB x，则 AC x 1，BC x 1，CD x 1 y PE 由斯特瓦尔特定理的推论 3，有y2 xx 1 yx 1 y，即y xx
18、1y ，有y x 1 y2x 1 xx 1 x 1 ，又 ABADx ，即 BCCDx1 x2 xx2 x 故由，求得x 5（舍去x 0） ，即AB 5，BC 4，AC 6 x12x 1 CD，B C DAC的中点D，解法 2作ABC的外接圆O， 取连AD，则ABD，为梯形， 其中CDBA 令 AB x，则AC x 1，BC x 1，且CD BC x 1，BD AC x 1对四边形ABCD应用托勒 密定理，有x 1 xx 1x 1，求得x 5 （下略） 【解题思维策略分析】 1获得线段倍分关系的一条途径 22 例 9如图 4-11，已知ABC的外接圆k的圆心为O，半径为R，内切圆的圆心为I，半
19、径为r，另 一个圆k 0 与边CA，CB分别切于点D，E，且与圆k内切求证：内心I是线段DE的中点 （IMO-34 预选题） A k k0 O 1 I B E C O D 图411 证明设圆k 0 的圆心为O 1 ，半径为，于是O 1 ，I，C三点共线，且CI r ，CO 1 ， 11 sinCsinC 22 则IO 1 r 1 sinC 2 ，且O 1E 于是， IO 1 rr 1 CO 1 连OC，OI，O 1O ，对COO 1 ，及边O 1C 上的点I，应用斯特瓦尔特定理，有 OO 1 2CI OC2 IO 1 OI2CO 1 CI IO 1 CO 1 注意到欧拉公式，OI2 R2 2R
20、r，及OO 1 R ，OC R，并将其代入式，得到 R 2 r r R2 11 sinCsinC 22 R2 2Rr 1 sinC 2 r r ， 111 sinCsinCsinC 222 rr 2 1 C 1化简得s i n 2 2 IO 12 1 从而 sinC CO ， CO 1 2 1 即IO 1 CO 1 2 O 1E 2 因为O 1ECE ，CO 1 DE且平分DE，令DE的中点为 I ，由射影定理，有 IO 1 CO 1 O 1E 2 比较式和式，知 I 与I重合，即得I为DE的中点 例 10如图 4-12，两个大圆 A， B相等且相交；两个小圆 C， D不相等但相交，且交点为P
21、， Q若 C， D既同时与 A内切，又同时与 B外切试证：直线PQ平分线段AB （ 中等数学奥林匹克问题高中58 题） D P C Q B AM 图412 证明由于 C， D半径不相等， 此两圆交点所在直线PQ必与线段AB相交， 设交点为M 连AC， MC，BC，AD，MD，BD，PC，PD，CD，显然PQCD，设垂足为N，又设 A， B的半 径均是， C， D的半径分别为R，r(R r)，则易得AC R，BC R，AD r， BD r， 因为PQCD，或MPCD，垂足为N，则 MC2 MD2=CN2 NM2MN2 ND2 2 CN2 ND2 (PC2 PN2)(PD2 PN2) PC2 PD
22、2 R2 r2 设AM x，MB y，对 CAB及边AB上的点M，应用斯特瓦尔特定理，有 x BC y AC2x yMC2x yx y x y MC2 x MB2 y AM2 对DAB及边AB上的点M，应用斯特瓦尔特定理，有 x BD2 y AD2x yMD2 xMB2 y AM2 ，得 xBC2 BD2 yAC2 AD2x yMC2MD2x yR2r2， 即x R r y Rrx yR2r2， 亦即2x yR r 0 因 0，R r，从而x y 0，即x y 故AM MB，即直线PQ平分线段AB 2求解三角形问题的一种工具 斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题A
23、 中的第 6 题，习题B 中 的第 7 题等可以看出在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用 2222 例 11设ABC的三边为a，b，c，其面积为S，则a2b2 c24 3S，当且仅当ABC为正三 角形时，等式成立（IMO-3 试题） 证明取BC的中点D，对ABC及BC边上的点D，应用斯特瓦尔特定理的推论2， 2有A D 111 2A CA2B 224 B2C 1 2 2b 1 2 2 1 ac 2 4 33 从而有a2b2 c2 2AD2a22 2AD2a 2 3 AD a 22 设ABC的BC边上的高为h，则ADh，于是 1 2 3 ADa2 3 2ah 4 3S 2 33 a，故a2
24、b2 c24 3S， 其中等号当且仅当2AD2a2且AD h时成立， 也即AD BC且AD 22 此时ABC恰为正三角形 例 12如图 4-13，在ABC中，D，E分别为AC和AB同方向延长线上的点，BD与CE相交于P， 且BD CE当P在BC边的中线上时，则AB AC A B E P Q C D 图413 证明设AP交BC于Q分别对BPQ及点A和CPQ及点A应用斯特瓦尔特定理的推广结论， 有 BA2 BP2 CA2 CP2 AQAP BQ2 AP AQ， PQPQ AQAP CQ2 AP AQ PQPQ AQAP BQ2CQ2 PQPQ 于是BA2CA2CP2 BP2 由于BD CE，对 P
25、BC及点A应用塞瓦定理，有 QBECDPPDQC 1，即 PEQBQCEPDB 当P点在BC边上的中线上时，有BQ QC 从而PD PE，由此知PC PB，故AB AC 例 13如图 4-14，若D是ABC的边BC延长线上一点，则AD平分A的外角的充分必要条件是 AD2 BDCD AB AC F A B C D 图414 证明必要性：若AD平分A的外角，则由推论 4 即有 AD2 BDCD AB AC 或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导 充分性：设直线AD交ABC的外接圆于E，连BE、CE 由割线定理有BD CD AD ED，并将其代入条件式AD2 BDCD AB AC可得 ADED AD
26、AB AC 由此可知E必在DA的延长线上（因ED AD 0） 于是AD AE AB AC 由 ACD BCD，有AC BD AD BE A B B由得A E B DE 又由 ECD BAD，有EC AD CD AB 由得，AE CD AC CE 由得，AE BC AB BE AC CE 对四边形EBCA应用托勒密定理，有 AE BC AB CE AC BE 于是AB CE AC BE AB BE AC CE 即AB ACCE BE 0，从而CE BE 因此CAD EBC ECB EAB 故AD平分A的外角 CA，例 14如图 4-15， 设正ABC的内切圆圆心为I， 半径为r， 在I内任取一点
27、P， 设点P到BC， AB的距离分别为d 1 ，d 2 ，d 3 求证：以d 1 ，d 2 ，d 3 为边可以构成一个三角形，且其面积为 3 2r PI2 4 （ 数学通报 问题 1356 题） A d3 I d1 B 图415 d2 P DC 证明设正三角形ABC的边长为 1，则 33 ，IA IB IC 2r 23 连AP并延长交BC于D，则由题设知 BDS APB d 3， DCS APC d 2 d 1 d 2 d 3 S BPC d 1 d 1 DP PAS BAC S BPC d 1 d d 3 d 1 d 2 d 3 由于BI IC，BA AC，对 BIC及边BC上的点D，对AB
28、C及边BC上的点D，均应用斯特瓦 尔特定理的推论 1，有 ID2 IB2 BD DC，AD2 AB2 BD DC 又由 d 3 d 3 d 2 BDd 3 BC ，知BD ，DC DCd 2 d 2 d 3 d 2 d 3 d 2 d 3 d 2d3 d 2d3 1 2AD 1于是ID2， 23d 2 d 3 2 d d 23 又对AID及边AD上的点P应用斯特瓦尔特定理，有 PADP IP2 ID2 IA2 DP PA ADAD d 2 d 3 d 1 d 1 DPPADP 由，知， PAd 2 d 3 ADd 1 d 2 d 3 ADd 1 d 2 d 3 将上述各式及式代入式，并注意IA
29、 33 ，d 1 d 2 d 3 ，2 3 4d 1 4d 2 4d 3 ，有 23 IP2 IA2 DPPA ID2 DP PA ADAD 1 d 2d3 d 2 d 3 d 1 1DPPA AD2 23 d 1 d 3 d 3 3 d 2 d 3 d 1 d 2 d 3 ADAD d 2d3 1 2 d 2 d 3 d d d 3 d d1 d d 2 d 3 1 123 12 3 d 1 d 2 d 3 d 2 d 3 d 1 d 2 d 2 d 1 d 2 d 3 2 2 3d 2d3 4d 1d2d3 14 d 1 d 2 d 3 333d 2 d 3 d 2d3 2 3 4d 1
30、14 d 1 d 2 d 3 333d 2 d 3 14 d 1d2 d 1d3 d 2d3 33 1 即IP214d 1d2 d d1 3 d d 23 3 22于是，d 1 2d 2 d 3 2d 1d2 d 1d3 d 2d3 d 1 d 2 d 3 4d 1d2 d 1d3 d 2d3 3 13IP2 3r2 IP2 4 此式可写成为 2 d 1 d 2 d 3 d 2 d 3 d 1 d 1 d 3 d 2 d 1 d 2 d 3 3r2 IP2 由于P点在I内部，则r2 IP2 0，从而，必有 如若不然， 比如d 2 d 3 d 1 0，d 2 d 3 d 1 0，d 1 d 3
31、d 2 0，d 1 d 2 d 3 0 d 1 d 3 d 2 0，则 d 2 d 3 d 1 d 1 d 3 d 2 0，即 d 3 0与已知矛盾，则知 d 2 d 3 d 1 ，d 1 d 3 d 2 ，d 1 d 2 d 3 可见，以d 1 ，d 2 ，d 3 为边可以构成三角形，且由海伦秦九韶公式及式知其面积为 3 2r PI2 4 【模拟实战】 习题 A 1 在ABC中，AB AC 2，BC边有 100 个不同的点P 1 ，P 2 ， ，P记m i A P 2 2 B P P C 100 ， i 2，100） ，求m 1 m 2 m 100 的值 2在ABC中，C的平分线交AB于D证
32、明：CD CACB （匈牙利中学生数学竞赛题） 3在ABC中，D是BC边上的点，已知AB 13，AD12，AC 15，BD 5，求DC 4在ABC中，AB 2 2，AC 2，BC 2，设P为BC边上任一点，则（） APA2 PB PCBPA2 PB PC i （i 1， CPA2 PB PCD PA2 与PB PC的大小关系不确定 1，C 45，ADB 60，5D是ABC的边AC上的一点， 且ADDC 2求证：AB是 BCD 的外接圆的切线 6设ABC的三边BC a，CA b，AB c，p 1 a bc设m a ，h a 分别为BC边上的中线长 2 分别为BC边所对的角的内、外角平分线长求证下
33、列各式：和高线长；t a ，t a （）m a （）t a 1 2b2c2a2； 2 2 bc pp a； bc 2 b c p bp c；（）ta b c 2 pp ap bp c a 7在ABC中，AB 2BC，B 2A，求证：ABC是直角三角形 8证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心 习题 B （）h a 1设a，b，c分别是共线的 三点A，B，C对于 O所作切线 的长求 证：a BC c AB b AC BC AC AB 2锐角ABC的外接圆过B，C的切线相交于N，点M是BC的中点求证：BAM CAN （IMO-26 预选题） 3PT 1 和PT 2 是 O的割线，分别交
34、O于S 1 ，S 2 ，且PT 1 PT 2 ，过P的直线交 O于Q，R（Q在 ，交T 1T2 ，S 1S2 于T，S求证R与P之间） 1111 PQPRPSPT 4A，B，C，D四点在同一圆周上， 且BC DC 4，AE 6， 线段BE和DE的长都是整数， 求BD 的长 5在正方形ABCD中，E在BC上，BE 2，CE 1，P点在BD上，则PE和PC的长度之和最小可 达到多少？ 6设凸四边形的边长是a，b，c，d，对角线长是e和f求证：2mina , b, c, d e2 f2， 当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立 7设I，O，G，H分别为ABC的内心，外心，重心，垂心，令BC a，CA
35、b，AB c， p 1 a bc，R，r分别为外接圆和内切圆的半径求证下列各式： 2 （）a IA2b IB2 c IC2 abc； （）IO2 R2 （）IG2 abc R22Rr； a bc 1 2ab2 c2 2bc2 a2 2ca2b2a2b2 c29abc 18p 2 2 5 2p a b2 c24Rr； 318 （）IH2 4R2 1 a2 b2 c2 abc 2p 8已知ABC满足ACB 2ABC，设D是BC边上一点，且CD 2BD延长线段AD至E，使 （IMO-39预选题）AD DE证明：ECB 180 2EBC 第四章 斯特瓦尔特定理应用 习题 A 2221因AB AC，由斯
36、特瓦特定理推论1，有AP，则AP AB2，即 i AB BP i PC ii BP i PC i 2m i AP AB2 4，即m 1 m 2 m 100 4100 400 i BP i PC i D 2 C AC B A D D B C AC BD C AC B2 由CD平分ACB， 由斯特瓦特定理推论3， 知C， 故C 2 CD 2 BD 3由斯特瓦尔特定理，有AD2 AB设DC x，则BC 5 x，则 AC BD DC BCBC x5 22122 13 15 x 5，解得x 1 9（舍去x 2 9） 5 x5 x PCPBPCPB 4由斯特瓦尔特定理，有PA2 AB AC2 PBBC (
37、2 2)2( 2)2 PB BCBC22 2PC 4PC PB PB PC，PA PBPC 4PC PB 2PBPC，又PB 2 PC，则PA2 PB 115 PC 4PC 2 PC 2(2 PC)PC 2PC2 PC 2 2(PC 2) 2(PC )2 0，故选（C） 48 122 1，由斯特瓦尔特定理推论5，有BD2AB2BC2AC25由ADDC 2 359 BDBC 由C 45，ADB 60，及，有3BD2 2BC2 sinCsinBDC 3 1，有AC2AD AC又由ADDC 2 2 于是有AB2 AD AC，由切割线定理即证 BC 1，有斯特瓦尔特定理推论5，有6设P为ABC的BC所
38、在直线上任一点，且BP AP2 ( 1)a2 b2 (1 c )2 1 ； 时，AP m a 即得（） 2 c 当 时，AP t a ，即得（） bc 1 ，即得（）当 时，AP t a ； b c a2b2c2 当 时，AP h a ，即得（） 2a2 ADAB 7作B的平分线交AC于D，则 2，对ABC及AC边上点D应用斯特瓦尔特定理推论3， DCBC 1 有BD2 ABBC ADDC，即(2DC)2 2BC22DC2，即DC2BC2，又 3 AC2 (AD DC)2 9DC2 3BD2，从而AC2 BC2 4BC2 AB2，故ABC为直角三角形 8设G为三条中线AD，BE，CF的交点，P
39、为ABC所在平面上任一点不妨设P在ABC内， 连PA，PB，PC，PD，PG，对APD及点G应用斯特瓦尔特定理，有 PA2DG PD2 AG PG2 AD AG GD AD 133 由DG AG，AD AG，则3PG2 PA2 2PD2AG2 222 111 在PBC和GBC中，D为BC中点，应用斯特瓦尔特定理推论2，则PD2PB2PC2BC2， 224 1111 GD2GB2GC2BC2，此两式相减，并注意GD AG， 2242 111 PD2(PB2 PC2)(GB2GC2)AG2，代入式，得 224 3PG2 (PA2 PB2 PC2)(GA2GB GC2)显然，当P异于G时，横有 PA
40、2 PB2 PC2 GA2 GB2 GC2故到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心 习题 1设O的半径为r，连OA，OB，OC，对OAC及AC边上的点B，应用斯特瓦尔特定理，有 OA2 BC OC2 AB OB2 AC AB BC AC，而OA2 r2 ，OB2 r2b，OC2 r2 c，于是 (r2 a)BC (r2c) AB (r2b) AC ABBC AC，化简即得结论 1 22对ABC及BC边上的点M，应用斯特瓦尔定理推论1，有AM2(2 AB2 2 AC2 BC )， 4 BC2BMBC 2222又AN AB BN 2ABBN cosABN AB BN cosA2cosA
41、4cos2A cosC1 ABBC(cosABN cosC)，于是AN2cos2A AB2cos2ABC2 cosA4 AB BC cosC cosA而cosAcosC cos(A C) sinAsinC sinAsinC sinB，则 1 AN2cos2A AB2cos2ABC2 ABBCsinAsinC ABBCcosA AB2(cos2Asin2A) 4 111 ） ，即BC2(AB2 BC2 AC2) (2AB2 2AC2 BC2) AM2（其中BCsinC ABsinA 424 AMCMANsin(180AC)A Ms i nB ， 又B MC M， 且， 故 cosA ANCNCN
42、sinCANB Ms i nB A M s i nB A Ms i nC，即证A N CD，另证： 设AN交圆于D， 连BD，对四边形ABCD应用托勒密定理， 有AD BC AC BD AB CD， ACANABAN 由ACNCDN，ABNBDM，有，而BN CN，则AC BD AB CDCNBDBN ADAB CD 注意 到BD 2BM，有2AD BM 2AB CD， 即， 又A B M A D C， 从 而 CDBM A D C A B M，故NAC BAM PS 1 PT 13由PT 1 PT 2 及PT 1 PS 1 PT 2 PS 2 ，有PS 1 PS 2 ，从而TT，而 1 2
43、S 1S2 ，即 PSPT PS PT 1 PS 1 PQPQ3， 则PS 1 2对S 1PS2 及S 1S2 边上的点S应用斯特瓦尔特定理推论1，PQPR， PT 有PS2 PS 1 2 S 1S SS2 ，又在O中S 1S SS2 RS SQ (PR PS)(PS PQ)，故 1111PS PS2PQPR(PR PS)(PS PQ)，故 PQPRPSPTPT BEDE 4对ABCD及BD边上的点E，应用斯特瓦尔特定理或其推论1，有CE2 42 42 BDBD BE DE BEDE 16 BEDE 16 BEDE 16 AECE 166CE解得CE 2（负值舍去） BD CD 8，于是BE
44、DE CE AE 12，而BD BC 即BE 3，DE 4或BE 4，DE 3，故BD 7 5由BECE 2，对BCP及BC边上的点E，应用斯特瓦尔特定理的推论5，有 12 PE2PB2PC22对BCD及BD边上点P应用推论 1，有 33 PC2 BC2 BPPD 9 PB23 2PB，于是PE2 PB2 2 2PB 4，故 33 PE PC (PB 2)2 (0 2)2(PB 2)2 (0 2)2 22 令PB x，上式表示x轴上动点Q(x , 0)到两定点A( 2 , 段AB与x轴交点( 2)，B(3 2 3 2 ,)的距离之和，当Q为线 22 66 2 , 0)时，即PB 2时，PE P
45、C取最小值13 55 6设凸四边形ABCD的对角线交点为E令AB a，BC b，CE c DA d，AC e，BD f， a2k bg kg h2AE g，BE h，CE k，DE l 不妨设h l， 则在ABC中， 有mina , b k g 22 （斯特瓦尔特定理） ( k g 2 hl 2 1 2) () (e f2)，于是 224 2mina , b , c , d 2mina , b4mina2, b2e2 f2，当且仅当a b，g k，h l， mina , b minc , d时等号成立，即ABCD为菱形 7由于四个结论都与内心I有关，不妨设AD平分A交BC于D，显然I在AD上设
46、P为ABC所 acab 在平面内任一点，连PB，PD，PC，PI，注意到BD ，CD ，对PBC及边上点D应 bcbc 2 bca2bc 22PB PC 用斯特瓦尔特定理，有PD b cb c(b c)2 b ca4bcpAIcbb c AD，ID AD，而AD2(p a)，对PAD及AD又，有AI 2(b c)2p2p IDBDCDa b caabc(p a) PD2PA2边上点I应用斯特瓦尔特定理，有PI2将 PD2 表达式代入上式， 2p2pp(b c) aPA2bPB2cPC2abc 得PI a bc （）当P与I重合时，由式即证 （）当P为外心O时，PA PB PC R，由式即证 4
47、 2 1 （）当P为中心G时，PA2 GA2m a (2b2 2c2a)，等等由式即证、 99 （）当P为垂心H时，PA2 HA2 a2cot2A a2(csc2A1) 4R2 a2，等等由式即证 a 8设CD的中点为H，则ABEH是平行四边形，延长BC至G，使CG CA设BD DH HC ， 3 CA b，AB c，BE AH x，AD DE y，CE z由2ABC ACB CGA ABCA CAG 2CGA 2CAG，则ABGCAG于是有或c2 b(a b) BGAG 2 在ACD，ABH，CDE中分别应用斯特瓦尔特定理推论2，得b2 y2 2x2a2， 9 222 x2c2 2y2a2，y2 z2 2c2a2从前两式中消去y，有x2c2 2b2 4x2a2，将式代 993 2a2 入得x2 (ba)(b)再求得z ba，故有x2 z(z a)或BE2 CE(CE BC) CEEP这里 333 BEEP ，又BEP CEB，知BEPCEB，从而P是CE上一点，且满足CP BC故