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1、基本不等式（很全面）1 / 14基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式(1)若 a,bR，贝U a2 b2 2ab若a,b» 2 2R，则 ab a b22、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R*，贝U a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形(1)若 a,bR*，则宁- ab若a,b R*，则ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论(1)(2)(3)(4)(5)若x 0,则x - 2 （当且仅当x 1时
2、取“=”）x若x 0，则x -2 （当且仅当x 1时取“二”）x若ab 0，则a bb a2 （当且仅当ab时取=”)若a,b若a, bR，则 ab (U)22R*，贝V宀 ab1 1a2 b22a ba2 b2T 2基本不等式(很全面)特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6、柯西不等式(1) 若 a, b,c, d R，则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(2) 若 aiQwQbb R，则有:2 2 2 2 2 2 2(ai a2 a3 )(ib b? th ) (aQ azd asd)(3) 设ai,a2, ,an与d®, ,6是两组实数，则有2 2 2
3、2 2 2 2(ai a2an )(b, b2bn ) (aQ a2b2and)【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设a,b均为正数，证明不等式:.ab >1 1a b题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca题目3、已知a b c 1,求证：a2 b2 c2 13题目 4、已知 a,b,c R，且 a b c 1,求证：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc题目5、已知a,b,c R，且a b c 1,求证：丄1-1-18a b c题目6、(新课标H卷数学(理)设 a,b,c均为正数，且a b c 1,证明:12b22(I) a
4、b bc ca -; ( II) 一 1.3、b c a题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域1(1) y 3x2二(2) y x(4 x)2x11(3) y x (x 0)(4) y x (x 0)xx题型三：利用不等式求最值(一)(凑项)仁已知x 2，求函数y 22 4化的最小值;5 / 14基本不等式(很全面)变式仁已知x 2，求函数y 2x启的最小值;变式2:已知x 2，求函数y 2x吕的最大值;9 / 14变式3：已知x 2，求函数y2x氏的最大值练习:1、已知x5，求函数y4x2右的最小值;题目2、已知x4，求函数y 4x 2右的最大值;题型四：利用不等式求最值 （二
5、）（凑系数） 题目1、当I时，求y x（8 2x）的最大值;变式1：当 K"时，求y 4X(8 2x)的最大值;变式2：设° x j，求函数y 4x(3 2x)的最大值。题目2、若0x2，求y ,x(6 3x)的最大值;变式：若0 x 4，求y .，(厂2x)的最大值;题目3、求函数y，2x 1，5 2x(1 x 5)的最大值;变式：求函数y 4x 311 4X(3 x 口)的最大值;44题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题 题目仁已知ab 0a 2b 1，求t扌1的最小值;变式1：已知a,b 0,a2b 2，求t 1 b的最小值;变式2 :已知x,y0,- - 1，求xy
6、的最小值;x y变式3 :已知x, y 0，且丄-x y9，求x y的最小值。变式4 :已知x, y 0，且丄x y4，求x y的最小值;变式5:（°若x,y 0且2x y 1,求1;的最小值;基本不等式（很全面）13 / 14（2）若a,b,x,y R且a b 1，求x y的最小值；x y变式6 :已知正项等比数列an满足：37 36 235，若存在两项am,an，使得 .ama； 4印，求-4的最小值；m n变式7:若正数x, y满足x+ 3y = 5,则3x+ 4y的最小值是（）C. 5 D . 6变式8 :设a 0,b 0.若,3是3a与3b的等比中项，则-的最小值为a bA
7、. 1 B . 1 C . 4 D . 8 4().变式9 :已知a b 0 ,且a b 2，则一a 3b九的最小值为变式10:已知0 x 1 , a 0, b 0 ,求yb21 x变式11 ：求2；走号）的最小值变式12:已知 （0,）,求函数f（）二4的最小值2sin cos变式13：设正实数a,b满足a b 2则1旦的最小值为，a 8b变式14：【2013天津理】设a + b= 2, b>0,则当a =时，話罟取得最小值.变式15：设a 0，b 1满足a b 2，则代+的最小值为变式16:已知a,b R且2a b 1，则12 -47的最小值是 .a b题型六：分离换元法求最值(了解
8、)2题目1、求函数y X 7X 10(x 1)的值域;x 1变式：求函数y - 8(x 1)的值域；x 1题目2、求函数y養的最大值;变式：求函数y丄丄的最大值；4x 9题型七：基本不等式的综合应用题目1、已知log2a log2b 1，求3a 9b的最小值题目2、已知a,b 0，求丄丄2 ab的最小值; a b变式1：（2010四川）如果a b 0，求关于a,b的表达式a2 a；亦七的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当a 0,a 1时，函数y loga（x 1） 1的图像恒过定点A，若点A在直线mx y n 0上，求4m 2n的最小值;基本不等式（很全面）44变式3:【2017
9、天津】若a, b R, ab 0,则a 4b 1的最小值为 ab题目3、已知x, y 0， x 2y 2xy 8，求x 2y最小值；变式1 :已知a,b 0，满足ab a b 3，求ab范围;变式2:已知x，y 0，&尢3，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式3:已知x,y 0，x2 y2 xy 1，求xy最大值;题目4、（2013年山东（理）设正实数x, y,z满足x2 3xy 4y2 z 0,则当翌取z得最大值时,-丄-的最大值为（）x y z()A. 0 B . 1C .9D . 342变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0，求乞的最小值;XZ题型八：利用基本不等
10、式求参数范围2、已知x y z 0且一-一x y题目X已知x,y 0，且（X町；）9恒成立，求正实数a的最小值;-恒成立，如果n N，求n的最大值；（参y z x z考: 4）变式:已知a,b 0满则丄4a b2，若a b c恒成立，求c的取值范围;题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式(a,b,c,d R,当且仅当-;即ad bc时等号成立) 若 a,b,c,d R ，则c d(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22、二维形式的柯西不等式的变式 va2 b2 4cd ac bd(a,b, c,d R,当且仅当-;即ad bc时等号成立)c d(2)-.a2 b2 . c2 d
11、2 ac bd (a,b,c,d R,当且仅当-;即ad be时等号成立)c d(a b)(c d) (. ac , bd )2a b(a, b, c, d 0 ,当且仅当-;即ad be时等号成立)c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0,或存在实数k,使a k时,等号成立)4、三维柯西不等式若 ai,a2,a3,bi,b2,b3 R，则有：2 a22 a32)(ib!2 b22 d2) (aQ azd asd)2(a, R,当且仅当色电鱼时等号成立)bib2 45、一般n维柯西不等式设ai,a2, ,an与bi,b2, ,bn是两组实数，则有:佝匕 z 2 2 12 (a22a
12、n2)(E2 b222bn )(aQ a2b2anbn)佝，b R,当且仅当aa2岂时等号成立）bib2bn【题型归纳】题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题目1、设 x, y, z R，若 x2 y24，则x 2y 2z的最小值为时，19 / 14(x, y, z)析:(x2y 2z)2 (x2z2)12(2)2 229 362y2z最小值为此时62 22)2223题目2、设x, y, zR，2x y 2z 6，求 x2y2 z2的最小值m，并求此时x, y,z之Ans :424m 4;(x,y,z) (3, 3, 3题目 3、 设x, y, z R ，2x 3y z 3 ，求 x2 (y 1)2 z2 之最小值为，此时y (析：2x 3y z 3 2x 3(y 1) z 0)题目 4、已（An s:12）知 a,b,c ,a2b3c6,贝U a2 4b2 9c2的最小值是题目5、设x,y,zx2z21, x 2y 3z “14,求 x y z的值;题目6、求2sin2 2，最小值为析：令a （2),b (1 ,).3 cos sin cos cos的最大值与最小值。（Ans：最大值为2 .2 ）