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1、最新资料推荐立体几何大题练习(文科)：1.如图，在四棱锥s ABCD中，底面ABCD是梯形，AB/ DC, /ABC=90,AD=SD BC=CD丄叮,，侧面SAD丄底面ABCD(1) 求证：平面SBD丄平面SAD(2) 若/ SDA=120,且三棱锥S- BCD的体积为丄，求侧面厶SAB的面积.1214【分析】(1)由梯形ABCD设BC=a则CD=a AB=2a运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得 BD丄平面SAD,运用面面垂直的判定定理即可得证；(2)运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1,运用勾股定理和余弦定理，可得SA SB,运用三角形的面积公
2、式，即可得到所求值.【解答】(1)证明：在梯形ABCD 中，AB / DC,/ ABC=90, BC=C设BC=a贝U CD=a AB=2a在直角三角形 BCD中，/ BCD=90,可得 BD= :a,/ CBD=45,/ ABD=45,由余弦定理可得 AD= j ：'a，贝U BD丄AD,由面SAD丄底面ABCD 可得BD丄平面SAD,又BD?平面SBD,可得平面SBDL平面SAD(2)解：/ SDA=120,且三棱锥S- BCD的体积为匚,由 AD=SD= fa,在厶SAD中，可得SA=2SDsin60=丨£, SAD的边 AD上的高 SH=SDsin60= a,2由SH
3、!平面BCD可得解得a=1,由BD丄平面SAD,可得BD丄SD,SB=|I '=2a，又 AB=2a在等腰三角形SBA中，边SA上的高为博Ip呼a, 则厶SAB的面积为二x SAX = a=a=-.【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用， 注意运用转化思想，考查三棱锥 的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题.2.女口图，在三棱锥 A- BCD中，AB丄AD，BC丄BD,平面ABD丄平面BCD点E、F （E与A、D不重合）分别在棱 AD, BD上，且EF丄AD.求证：（1） EF/平面ABC;(2) AD丄 AC.【分析】（1）利用AB / EF及线面平行判定定理可得
4、结论；（2）通过取线段CD上点G,连结FG EG使得FG/ BC,则EG/ AC,利用线面 垂直的性质定理可知FG丄AD,结合线面垂直的判定定理可知 AD丄平面EFG从 而可得结论.【解答】证明：（1）因为AB丄AD, EF丄AD,且A、B、E、F四点共面， 所以AB / EF,又因为EF?平面ABC AB?平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF/平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG EG使得FG/ BC,则EG/ AC,因为 BC丄 BD, FG/ BC,所以FG丄BD,又因为平面ABD丄平面BCD所以FG丄平面ABD,所以FG丄AD ,又因为AD丄EF,且EFA FG=F,
5、所以AD丄平面EFG所以AD丄EG,【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思 想,涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累， 属于中档题.3.如图,在三棱柱 ABC- A1B1C1中，CG丄底面ABC, AC丄CB点M和N分别 是BiCi和BC的中点.(1)求证：MB/平面ACN;(2)求证：AC丄MB.【分析】(1)证明MCiNB为平行四边形,所以 CN/ MB ,即可证明MB /平面 AGN;(2)证明AC丄平面BCCB，即可证明AC丄MB.【解答】证明：(1)证明：在三棱柱ABC- AiBiCi中，因为点M , N分别是BQ, BC
6、的中点，所以 CiM / BN, GM=BN.所以MCiNB为平行四边形.所以 CiN/ MB.因为CiN?平面AGN, MB?平面AGN,所以MB/平面ACiN;(2)因为CG丄底面ABC,所以AC丄CG.因为 AC丄 BC, BCn CC=C,所以AC丄平面BCGBi.因为MB?平面BCCBi,所以AC丄MB.【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析 解决问题的能力，属于中档题.4.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD| BC, PD丄底面ABCD/ ADC=90 , AD=2BC Q为AD的中点,M为棱PC的中点.(I)证明：PA/平
7、面BMQ;(U)已知PD=DC=AD=2求点P到平面BMQ的距离.【分析】(i)连结AC交BQ于N,连结MN，只要证明MN / PA利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA/平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离.【解答】解：（1）连结AC交BQ于N,连结MN，因为/ ADC=90, Q为AD的中点，所以N为AC的中点.（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MNPAC的中位线，故MN / PA,又MN?平面BMQ，所以PA/平面BMQ.（5分）（2）由（1）可知，PA/平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平 面 BMQ 的距离，所以 Vp-
8、 bmq=VA-bmq=Vm-abq，取CD的中点K,连结MK,所以MK/ PD,冊誌fD二1，- （7分）又PD丄底面ABCD 所以MK丄底面ABCD又 BC-AD=1 , PD=CD=2 所以 AQ=1, BQ=2, MQ毛，NQ=1 , （ 10 分）所以 Vp-bmq=Va-bmq=Vm-ab二0；|厂；二二.春二，（11 分）则点P到平面BMQ的距离（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直 线的距离.5.如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，BC丄AC, D, E分别是AB, AC的中点.（1）求证：Bic/ 平面 AQE;（2）求证：平
9、面A1DEX平面ACCA1.Clc【分析】（1）证明BiCi II DE,即可证明BQ/平面AiDE（2）证明DE丄平面ACGAi，即可证明平面AiDEL平面ACGAi.【解答】证明：（i）因为D, E分别是AB, AC的中点，所以DEI BC,（2 分）又因为在三棱柱 ABC- AiBiCi中，BiG / BC,所以BiCi / DE（4分）又BiCi?平面AiDE, DE?平面AiDE,所以BiG /平面AiDE（6分）（2）在直三棱柱 ABC- AiBiCi中，CG丄底面ABC,又DE?底面ABC所以CG丄DE（8分）又 BCL AC, DE/ BC,所以 DEL AC, - （i0 分
10、） 又 CC, Ac?平面 ACGAi,且 CGG AC=C 所以 DEX平面 ACGAi （i2 分） 又DE?平面AiDE,所以平面AiDE丄平面ACGAi（i4分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.6.在四棱锥P- ABCD中, PC丄底面ABCD M , N分别是PD, PA的中点，AC丄 AD , / ACD=Z ACB=60 ° PC=AC(1) 求证：PAL平面CMN;(2) 求证：AM I平面PBG【分析】（i）推导出MN I AD, PCX AD, AD丄AC,从而AD丄平面PAG进而AD 丄PA MN丄P
11、A 再由CN丄PA 能证明PAL平面CMN.（2）取CD的中点为Q ,连结MQ、AQ ,推导出MQ I PC,从而MQ I平面PBC, 再求出AQ/平面,从而平面 AMQI平面PCB由此能证明 AM I平面PBC【解答】证明：（1）v M , N分别为PD PA的中点， MNPAD的中位线，二 MN / AD, POL底面 ABCD AD?平面 ABCD 二 PCX AD,又 AD丄 AC, PCn AC=C 二 AD丄平面 PAC AD丄 PA,二 MN 丄 PA又 PC=AC N为PA的中点，二CN丄PA MN n CN=N, MN?平面 CMN , CM?平面 CMN , PAL平面 C
12、MN.解（2）取CD的中点为Q ,连结MQ、AQ ,v MQ是厶PCD的中位线，二MQ / PC,又 PC?平面 PBC MQ?平面 PBC 二 MQ /平面 PBCv AD丄 AC, / ACD=60 , /-Z ADC=30 ./ DAQ=Z ADC=30 , /Z QAC=Z ACQ=60 ,/Z ACB=60 , / AQ/ BC,v AQ?平面 PBC, BC?平面 PBC, / AQ/平面 PBC,v MQn AQ=Q /平面 AMQ /平面 PCB【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查
13、化归与转 化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题.7.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PADL 底面ABCD,且PA=PD=AD , E、F分别为PC BD的中点.2(1)求证：EF/平面PAD(2)求证：面PAB丄平面PDC.【分析】(1)连接AC,则F是AC的中点，E为PC的中点，证明EF/ PA利用 直线与平面平行的判定定理证明 EF/平面PAD(2)先证明CD丄PA然后证明PAI PD.利用直线与平面垂直的判定定理证明 PA!平面PCD最后根据面面垂直的判定定理即可得到面 PABL面PDC.【解答】证明：(1)连接AC,由正方形性质可知，AC
14、与BD相交于BD的中点F, F也为AC中点，E为PC中点.所以在 CPA中, EF/ PA又PA?平面PAD, EF?平面PAD,所以EF/平面PAD(2)平面PAD丄平面ABCD平面 PADA 面 ABCD=AC? CD丄平面 PAD? CD丄 PA正方形ABCD中CD丄ADPA?平面PADCD平面ABCD又-儿,所以 PA2+PD=AD所以 PAD是等腰直角三角形，且.吓I二，即PA!PD.因为 CDA PD=D,且 CD PD?面 PDC所以PA丄面PDC又PA?面PAB所以面PABL面PDC【点评】本题考查直线与平面垂直的判定， 直线与平面平行的判定的应用，考查 逻辑推理能力.8.如图
15、，在四棱锥P- ABCD中，PA±平面ABCD底面ABCD为菱形，且PA=AD=2BD=2 :, E、F分别为 AD、PC中点.（1）求点F到平面PAB的距离；【分析】（1）取PB的中点G,连接FG AG,证得底面ABCD为正方形.再由中 位线定理可得FG/ AE且FG=AE四边形AEFG是平行四边形，则 AG/ FE运用 线面平行的判定定理可得 EF/平面PAB点F与点E到平面PAB的距离相等，运 用线面垂直的判定和性质，证得 AD丄平面PAB即可得到所求距离；（2）运用线面垂直的判定和性质，证得 BC丄平面PAB EF丄平面PBC，再由面 面垂直的判定定理，即可得证.【解答】（1
16、）解：如图，取PB的中点G，连接FG、AG,因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2 BD=2近，所以底面ABCD为正方形. E、F分别为AD PC中点， FG/ BC, AE/ BC, F諾玩，捷今AD， FG/ AE且 FG=AE四边形AEFG是平行四边形，二AG/ FE, AG?平面 PAB EF?平面 PAB 二 EF/ 平面 PAB点F与点E到平面PAB的距离相等，由PA!平面 ABCD,可得PA!AD,又 AD 丄 AB, PAH AB=A,AD丄平面PAB则点F到平面PAB的距离为EA=1.(2)证明：由(1)知 AG丄 PB, AG/ EF, PAL平面 ABCD 二 BC丄
17、PA BC丄AB, ABA BC=B 二 BC丄平面 PAB 由AG?平面PAB BC丄AG,又t PBA BC=B AG丄平面PBC二EF丄平面PBC EF?平面 PCE【点评】本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂 直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关 键，属于中档题.9.在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，/ BAD=Z ADC=90,DC=2AB=2ADBCL PD, E, F分别是PB, BC的中点.求证：(1) PC/平面DEF;故而PC/平面DEF；(2)由直角梯形可得BCL BD,结合BC丄PD得出BC丄
18、平面PBD,于是平面PBC丄平面PBD.【解答】证明：(1)v E, F分别是PB, BC的中点, PC/ EF,又PC?平面DEF, EF?平面DEF PC/平面 DEF(2)取CD的中点M，连结BM,贝U AB' DM , 又 AD丄AB, AB=AD,四边形ABMD是正方形， BM丄 CD, BM=CM=DM=1, BD=:, BC=:, BD2+BC2=CD2, BC丄 BD, 又 BC丄 PD, BDA PD=D, BC丄平面PBD,又BC?平面PBC平面PBCL平面PBD.10.女口图，在三棱锥 A- BCD中，E, F分别为BC, CD上的点，且BD/平面AEF.(1)
19、求证：EF/平ABD面；(2) 若AE丄平面BCD, BD丄CD,求证：平面 AEFL平面 ACD.【分析】（1）利用线面平行的性质可得 BD/ EF,从而得出EF/平面ABD;（2）由AE丄平面BCD可得AE丄CD,由BD丄CD, BD/ EF可得EF丄CD,从而有 CD丄平面AEF,故而平面 AEFL平面ACD.【解答】证明：（1）v BD/平面 AEF, BD?平面BCD,平面BCDA平面AEF=EF BD/ EF ,又 BD?平面 ABD , EF?平面 ABD, EF/平 ABD面.（2）v AE丄平面BCD CD?平面BCD AE 丄 CD,由（1）可知BD/ EF,又BD丄CD, EF± CD,又 AEG EF=E AE?平面 AEF, EF?平面 AEF, CD丄平面AEF,又CD?平面ACD,平面AEF丄平面ACD.【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质，面面垂直的判定，属于中档题.