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1、初一整式乘除易错题训练一.解答题(共17小题)1 . (2016 春？吉安期中)已知(ax) y=a6, (ax) 2+ay=a3(1 )求xy和2x - y的值；(2)求 4x2+y2 的值.2. (2016春？昆山市期中)图是一个长为 2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平 均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.(1 )将图中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为 .(2)若m+2n=7 , mn=3 ,利用(1)的结论求 m - 2n的值.3. (2016春？萧山区期中)把一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形
2、(如图 1)(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(直接用含m, n的代数式表示)方法1 : ;方法2 : .(2)根据(1)中结论，请你写出下列三个代数式( m+n ) 2, (m - n) 2, mn间的等量关系；.(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a, b满足：a+b=3 , ab=1 ,求a - b的值.4. (2015?江都市模拟)计算：(1)4 - (- 2)-3 + (- 3);一、，-、， 一、 ， 一、2(2) (2a+b ) (b - 2a ) - ( a - 3b ).5. (2015春？秦淮区期末)(1)比较a2+b2与2ab的大小(用“&g
3、t;”、"V”或“="填空)：当 a=3 , b=2 时，a2+b2 2ab ,当 a= - 1 , b= - 1 时，a2+b2 2ab ,当 a=1 , b= - 2 是，a2+b2 2ab .(2)猜想a2+b2与2ab有怎样的大小关系？并证明你的结论.6. (2015春？宿豫区期中)用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形.(1)用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；(2)利用(1)中的结论计算：a+b=2 , ab=,求a-b;(3)根据(1)中的结论，直接写出 x+和x-之间的关系；若 x2-3x+1=0
4、 ,分别求出x+一2 .和(x-) 2的值.7. (2015春？会宁县期中)如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为 b的小正方形， 如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个正方形.(1)设图1中阴影部分面积为 S1，图2中阴影部分面积为 S2.请直接用含a, b的代数式表木S1，S2 ；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；(3)试利用这个公式计算：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 ) +1 .图1图2|8. (2015春？泾阳县校级月考)乘法公式的探究及应用.图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按 图2的形状拼成一个正方形.
5、(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.方法1 : 方法2 : (2)观察图2请你写出下列三个代数式：(a+b) 2, (a-b) 2, ab之间的等量关系.(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：已知： a - b=5 , ab= 6, 求： a2+b2=-2(a+b )=已知的值.9. (2015春？尤溪县校级月考)给出下列算式：32-12=8=8X1；52 - 32=16=8 X 2;72 - 52=24=8 X 3;92- 72=32=8 X 4.(1)观察上面一系列式子，你能发现什么规律？(2)用含n的式子表示出来(n为正整数).(3)计算 2011 2 - 2009
6、2=,此时 n=.10 . (2014春？泰兴市校级期末)杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示( a+b) n (此处n=0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5)的计算结果中 的各项系数.杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和.(a+b ) 0=1(a+b ) 1=a+b(a+b ) 2=a2+2ab+b 2(a+b ) 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(a+b ) 4=a4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b4(a+b) 5=a 5+5a 4b+10a 3b2+10a 2b3+5a
7、b 4+b 5上面的构成规律聪明的你一定看懂了！(1)请直接写出(a+b ) 6的计算结果中a2b4项的系数是 ;(2)利用上述规律直接写出2 7=;杨辉三角还有另一个特征：(3)从第二行到第五行，每一行数字组成的数(如第三行为 121 )都是上一行的数与 的积. 、5(4)由此你可以写出 11 =.(5)由第 行可写出 11 8=.11 .( 2016?富顺县校级模拟)已知实数 a是x2 - 5x - 14=0的根，不解方程，求(a - 1 )(2a - 1 ) - ( a+1 ) 2+1 的值.12 . (2016春？杭州期中)按要求完成下列各题：11)已知实数 a、b 满足(a+b )
8、2=1 , (a - b) 2=9 ,求 a2+b2- ab 的值；(2)已知(2015 a) (2016 a) =2047 ,试求(a - 2015 ) 2+ (2016 a) 2 的值.13 . (2016春?邳州市期中)计算：(1) 32+ (兀2) 0 + ()2(2) 5m? (- abm 2) ? (-a2m),_、，一、，_、， 一、2(3) (a-2b) (2a+b ) - ( a+2b )(4) 10 x 9.14 . (2016春?苏州期中)计算：(1 ) (x4) 3+ (x3) 4 - 2x 4?x8(2 ) ( - 2x 2 y3) 2 (xy ) 3(3) (-2a
9、) 6- (- 3a3) 2+ - (2a) 23(4) | 一 |+ (兀一3 ) 0+ ( 一) 3 - ()2 .15 . (2016春？宝丰县期中)探究应用：(1 )计算：(a -2) (a2+2a+4 )(x-2y) (x2+2xy+4y 2)(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式： (请用 含a, b的式子表示)(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是()A. (a-5) (a2-5a+25 ) B. (2m - n) (2m2+2mn+n 2) C. (3-x) 9 9+3x+x 2) D. (m-n) (m 2+2mn+n 2)(4)直接用公式写出计算结
10、果：(2x -3) (4x2+6x+9 ) =.16 . (2016春？灌云县月考)阅读下面材料，并解答下列各题：在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b,求N,这是乘方运算；已知b和N,求a,这是开方运算；现在我们研究第三种情况：已知 a和N,求b,我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果 ab=N (a>0, awl,N>0),则b叫做以a为底N的对数，记着 b=log aN .例如：因为2 3=8,所以log 2 8=3 ;因为2 3=,所以log 2=-3.(1 )根据定义计算： 1 og 3 81=; log3=; log3l =;如果10gx16=4 ,
11、那么 x=.(2)设 ax=M , ay=N ,贝 U log aM=x , log aN=y (a>0, awl,M、N 均为正数),''' a x?ay=ax+y , .a x+y=M?N'. log aMN=x+y ,即 log aMN=log aM+log aN这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：logaMiM2M3 - M n= (其中 Mi、M2、M3、Mn 均为正数，a>0, aw 1)log a= (a>0, aw1,M、N均为正数).仿照上面说明方法，任选一空试说 明理由.17 . (2015秋？宁化县校级月考
12、)我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了(a+b ) n (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.例如：(a+b) 0=1 ,它只有一项，系数为 1 ; (a+b ) 1=a+b ,它有两项，系数分别为1,1,系数和为2; (a+b) 2=a2+2ab+b 2,它有三项，系数分别为 1, 2, 1,系数和为4; (a+b) 3=a3+3a2b+3ab 2+b3,它有四项，系数分别为1, 3, 3, 1,系数和为8;根据以上规律， 解答下列问题：(1) (a+b) 4展开式共有 项，系数分别为 ;(2) (a+b) n展开式共有 项，系数和为 .
13、(3)根据上面的规律，写出(a+b) 5的展开式.初一整式乘除易错题训练参考答案与试题解析.解答题（共17小题）1 . （2016 春？吉安期中）已知（ax） y=a6, （ax） 2+ay=a3（1 ）求xy和2x - y的值；（2）求 4x2+y2 的值.【分析】（1）利用积的乘方和同底数哥的除法，即可解答；（2）利用完全平方公式，即可解答.2. （2016春？昆山市期中）图是一个长为 2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平 均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.2（1 ）将图中的阴影部分面积用2种方法表不可得一个等式，这个等式为（m+n ）-24mn= （m n ）.（2
14、）若m+2n=7 , mn=3 ,利用（1）的结论求 m - 2n的值.【分析】（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n ） 2、（m - n） 2、mn之间的等量关系；（2）根据（1）所得出的关系式，可求出（ m - 2n ） 2,继而可得出 m - 2n的值.3. （2016春？萧山区期中）把一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图 1）（1）请用两种不同的方法求图 2中阴影部分的面积（直接用含m, n的代数式表示）方法 1 :（m+n ） 2 - 4mn ; 方法 2 ：（m - n ） 2.
15、（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式（ m+n ） 2, （m - n） 2, mn间的等量关系；（m - n ） 2 = （m+n ） 2 - 4mn .（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a, b满足：a+b=3 , ab=1 ,求a - b的值.【分析】（1）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积 减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；（2）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；（3）将a+b=3 , ab=1，代入三个代数式之间的等量关系，求出（2 .a -b） 2的值，即可求出a - b的值.4. （2015?江都市模拟
16、）计算:(1) 4 - (-2)2-32+ (-3) °，一、，一、， 一、 ， 一、2(2) (2a+b ) (b - 2a ) - ( a - 3b )负整数指数骞，即可解答;5. （2015春？秦淮区期末）（1）比较a2+b2与2ab的大小（用空）：当a=3 , b=2 时，a2+b2>当a= - 1 , b= T 时，a2+b2当a=1 , b= 2 是，a2+b2 > 2ab .(2)猜想 a2+b2 与 2ab有怎样的大小关系？并证明你的结论.【分析】（1 ）代入a,b的值，分别计算出a2+b2、2ab ,即可解答;代入a, b的值，分别计算出a2+b2、2a
17、b ,即可解答;代入a, b的值，分别计算出a2+b2、2ab ,即可解答;【分析】（1 ）根据0次哥、乘方、 （2）根据平方差公式，即可解答.（2）将作差，即可比较大小.6. （2015春？宿豫区期中）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形.（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明 这个等式成立；（2）利用（1）中的结论计算：a+b=2 , ab=,求a-b;（3）根据（1）中的结论，直接写出 x+和x-之间的关系；若 x2-3x+1=0 ,分别求出x+2 .和（x-） 的值.【分析】（1）根据阴影部分的面积 =4个小长方形的面积=大正方形的
18、面积-小正方形的面 积，利用完全平方公式，即可解答；（2）根据完全平方公式解答；（3）根据完全平分公式解答.7. (2015春？会宁县期中)如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为 b的小正方形, 如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个正方形.(1)设图1中阴影部分面积为Si,图2中阴影部分面积为S2.请直接用含a, b的代数式表小S1 , S2 ;(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;(3)试利用这个公式计算：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 ) +1 .图12中阴影部分的面积.Ei【分析】(1)根据两个图形的面积相等，即可写出公式;(2)根据面积相等可得(a+b
19、) (a-b) =a2-b2;(3)从左到右依次利用平方差公式即可求解.8. (2015春？泾阳县校级月考)乘法公式的探究及应用.图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按 图2的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图方法1 :方法 2 ：(m+n ) 2 4mn(2)观察图2请你写出下列三个代数式：(a+b) 2, (a-b) 2, ab之间的等量关系.(a - b) 2= (a+b ) 2 - 4ab(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题:已知：a - b=5 , ab= 6,求：a2+b2= 13(a+b ) 2= 49已知的值.【分
20、析】(1)方法一、求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；方法二、根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案；(2)根据(1)阴影部分的面积相等，即可得出等式；(3)把a-b=5两边平方，利用完全平分公式，即可解答；根据(a+b) 2= (a b) 2+4ab ,即可解答；利用完全平分公式，即可解答.9. (2015春？尤溪县校级月考)给出下列算式：32-12=8=8X1；52 - 32=16=8 X 2；72 - 52=24=8 X 3;92 - 72=32=8 X 4.(1)观察上面一系列式子，你能发现什么规律？(2)用含n的式子表示出来(n为正整数).(3)计算 2011 2
21、 - 2009 2= 8032,此时 n= 1004.【分析】(1)等式的左边是两个连续奇数的平方差，右边是 8的倍数；(2)根据已知数据得出两连续奇数的平方差的规律即可； (3)根据(2)中的规律，即可解答.10 . (2014春？泰兴市校级期末)杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示( a+b) n (此处n=0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5)的计算结果中 的各项系数.杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和.(a+b ) 0=1(a+b ) 1=a+b(a+b ) 2=a2+2ab+b 2(
22、a+b ) 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(a+b ) 4=a4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b4(a+b ) 5=a 5+5a 4b+10a 3b2+10a 2b3+5ab 4+b 5上面的构成规律聪明的你一定看懂了！(1)请直接写出(a+b ) 6的计算结果中a2b4项的系数是15 ;(2)利用上述规律直接写出2 7= 128;杨辉三角还有另一个特征：(3)从第二行到第五行，每一行数字组成的数(如第三行为121 )都是上一行的数与 11的积.(4)由此你可以写出 115= 161051.(5)由第 9 行可写出11 8= 214358881.【分析】观察图表寻找规律：
23、三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和.11 .( 2016?富顺县校级模拟)已知实数 a是x2 - 5x - 14=0的根，不解方程，求(a - 1 )(2a - 1 ) - ( a+1 ) 2+1 的值.【分析】根据方程的根的定义将 a代入x2-5x -14=0得a2-5a=14 ,整式化简后将a2-5a=14整体代入可得.12 . (2016春？杭州期中)按要求完成下列各题：11)已知实数 a、b 满足(a+b ) 2=1 , (a - b) 2=9 ,求 a2+b2- ab 的值；(2)已知(2015 a) (2016
24、 a) =2047 ,试求(a - 2015 ) 2+ (2016 a) 2 的值.【分析】(1)先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式(a+b ) 2和ab的形式，即可求值；(2)根据完全平方公式得出a2+b2= (a+b) 2 - 2ab ,整体代入计算即可.13 . (2016春?邳州市期中)计算：(1) - 32+ (兀-2) 0 + ()2(2) 5m? (- abm 2) ? (-a2m)(3) (a-2b) (2a+b ) - ( a+2b )(4) 10 X 9.【分析】(1)先算平方，零指数哥和负整数指数哥，再相加计算即可求解；(2)根据
25、单项式乘以单项式的计算法则计算即可求解；(3)根据多项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式计算，再合并同类项即可求解;(4)根据平方差公式计算即可求解.14 . (2016春?苏州期中)计算：(1 ) (x4) 3+ (x3) 4 - 2x 4?x8(2) (- 2x2y3) 2 (xy) 3(3) (-2a) 6 - (-3a3) 2+ - (2a) 23(4) | 一 |+ (兀一3 ) 0+ ( 一) 3 - ()2 .【分析】(1)根据哥的乘方法则和同底数哥的乘法法则计算;(2)根据积的乘方法则和同底数哥的乘法法则计算；(3)根据积的乘方法则和合并同类项法则计算；(4)根据零指数哥和负
26、整数指数哥的法则计算.15. (2016春？宝丰县期中)探究应用：(1 )计算：(a -2) (a2+2a+4 )(x-2y) (x2+2xy+4y 2)(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：(a-b)(a2+ab+b 2)=a3-b3(请用含a, b的式子表示)(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是()A. (a-5) (a2-5a+25 ) B. (2m - n) (2m2+2mn+n 2) C. (3-x) (9+3x+x 2) D. (m-n) (m 2+2mn+n 2)(4)直接用公式写出计算结果：(2x -3) (4x2+6x+9 ) = 8x3 - 2
27、7.【分析】(1)根据多项式乘多项式的方法，求出算式( a -2) (a2+2a+4 )的值是多少即可.根据多项式乘多项式的方法，求出算式( x - 2y ) (x2+2xy+4y 2)的值是多少即可.(2)根据上面的整式、的计算结果，我能发现一个新的乘法公式：(a-b) (a2+ab+b 2)=a3-b3 (请用含a, b的式子表示).(3)根据a2是第一个因数的平方，b2是第二个因数的平方，ab是两个因数的积，判断出 能用发现的乘法公式计算的是哪个算式即可.(4)根据(a-b) (a2+ab+b 2) =a3- b3,求出算式(2x - 3) (4x2+6x+9 )的值是多少即可.16 .
28、 (2016春？灌云县月考)阅读下面材料，并解答下列各题：在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b,求N,这是乘方运算；已知b和N,求a,这是开方运算；现在我们研究第三种情况：已知a和N,求b,我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果ab=N (a>0, awl,N>0),则b叫做以a为底N的对数，记着 b=log aN .例如：因为2 3=8,所以log 28=3 ;因为2 3=,所以log 2= - 3 .(1 )根据定义计算： log381= 4 ; log33= 1 ; logj 1= 0 ;如果log x16=4 ,那么x= 2.(2)设 ax=M , a
29、y=N ,贝 U log aM=x , log aN=y (a>0, aw1,M、N 均为正数),x x?ay=ax+y , . .a x+y=M?N '. log aMN=x+y ,即 logaMN=log aM+log aN这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：logaMM2M3 M n= logaM+log aM2+log aM3+ - +logaMn (其中 M1、M2、M3、Mn均为正数，a>0, aw1)log a= 10g叫 Tog aN ( a > 0 , aw1,M、N均为正数).仿照上面说明方法，任选一空试说明理由.【分析】(1 )根
30、据题目中的信息可以解答本题；(2)根据题目给出的信息可以解答本题，然后选择一空说明理由即可.17 . （2015秋？宁化县校级月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b ） n （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.例如：（a+b） 0=1 ,它只有一项，系数为 1 ; （a+b ） 1=a+b ,它有两项，系数分别为1,1,系数和为2; （a+b） 2=a2+2ab+b 2,它有三项，系数分别为 1, 2, 1,系数和为4; （a+b） 3=a3+3a2b+3ab 2+b3,它有四项，系数分别为1, 3, 3, 1,系数和为8;根
31、据以上规律， 解答下列问题：（1） （a+b） 4展开式共有 5 项，系数分别为1 , 4, 6, 4, 1 ;（2） （a+b） n展开式共有 n+1 项,系数和为2n .（3）根据上面的规律，写出（a+b） 5的展开式.【分析】（1）本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（ a+b） n （n为非负整数）展开式的 各项系数的规律：首尾两项系数都是1,中间各项系数等于（a+b ）nT相邻两项的系数和.因 此可得（a+b） 4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1 ）、1即可；（2）根据题意得出（a+b） n展开式共有（n+1 ）项，当a=b=1时，（a+b） n=2n即可.（3）由（1）得出的规律，即可得出结果.