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1、等差数列前 n 项和(高一年级第一册第三章第三节)一、教材分析 教学内容 等差数列前n 项和 现行高中教材第三章第三节“等差数列前n 项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用。 地位与作用本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。二、学情分析 知识基础： 高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。 认知水平与能力 ： 高一学生
2、已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。 任教班级学生特点 ： 我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 知识技能(1) 掌握等差数列前n 项和公式 ;(2) 掌握等差数列前n 项和公式的推导过程;(3) 会简单运用等差数列的前n 项和公式。 数学思考(1) 通过对等差数列前n 项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；(2) 通过公式的运用体会方程的思想；(3) 通
3、过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。解决问题创设由探索1+2+3+100的和，推广到探索一般的等差数列前n项和sn =a1 +a2 +a3 + +an的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一 nn般的数学研究方法，并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的 能力。情感态度结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。2、教学重点、难点重点等差数列前n项和公式的推导和应用。难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊
4、到一般、从具体到抽象的教学策略.利用数形结 合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的 不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式 训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。四、教学模式与教法、学法本课采用“探究一一发现”教学模式。教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。学生的学法突出探究、发现与交流。五、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下:归纳总结数形结合类比化归公式应用与议练活动（1）（5分钟）（2分钟）公式应用与议练活动（2）（9分钟）公式应用公式的认识与理解（4分钟）前后
5、呼应知识回顾五、教学过程教学划、节教师活动学生活动活动 说明新课引入创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景 点，传说中陵寝中肩一个三角形的图案嵌有 大小相同的宝石，共有100层，同时提出第 一个问题：你能计算出这个图案一共花了多 少颗宝石吗？也即计算 1+2+3+-；+100=?问题2:何老师按揭买房，向银行贷款25万 元，采取等额本金的还款方式，即每月还款 额比上月减少f的数额。2007年1月， 我第一次向银行还款2348元，以后每月比 上月的还款额减少5元，若以2007年1 月银行贷款利率为基准利率，那么到2026 年12月最后一次还款为止，何老师连本带 利
6、一共还款多少万元？现实模型：图片欣赏 生活实例模型 直观 用实际 生活引入 新 课。首先认识一位伟大的数学家一一高斯， 然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+.+100?设等差数列an前n项和为Sn ,则Sn =a1 a2anan问题1老师：利用高斯算法如何求等差数列的前 n 项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？(1) n为偶数时：Sn =a1 . an anan122Sn = c(a1 an)2(2) n为奇数时：Sn = a1 ' and 'and ' an 1 'an.1 T222老师：那么该如何解决落单的an4呢?Sn =甲)222同过对n取
7、值的讨论，得到了前项和求和公式:Sn = (a1 +an)2但是对n讨论麻烦了，能否有更好的 方法求前n项和公式呢？接下来给出实际 问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场 的木头根数呢？高斯求 和众所 周知， 学生能 快速解学生：观察咄的脚标与2a1an 12这里 用到了 生平沏 牙左型 列脚标 和性质从高 斯算法 出发， 对n进 行讨论 寻找求 和公式 思路自 然，学 生容易 想到。对中 问项an -1二的解决办 法的过 程中， 进一步 让学生 体会研 究数歹I 就是对 脚标数 学的研 究。倒序相n -12(a1 an) an 122and - an1n / .、= 2(a1an)学生：1+
8、100=101 , 2+99=101, .50+51=101, 所以原式=50 x (1+101) =5050学生：将首末两项配对，第 二项与倒数第二项配对，以 此类推，每一对的和都相等，并且者B等于 a1 ' an。学生：不一定，需要对n取 值的奇偶进行讨论。当n为偶数时刚好配 对成功。当n为奇数时，中间的 一项an书落单了。2(可能部分学生在此会遇 到困难，老师做适当的引 导。)an脚标的关系，即：an 1 ' an 1:22 二 a1 an22学生观察动画演示，不 难发现用倒置的思想来解 决此问题。X'问题2: 项和呢? 方法一:如何用倒置的思想求等差数列前 nS
9、nSn两式相加得:方法aa2* anan.1an.1ana2a12Sn = n(a/an) c n,Sn = 2(a an)同样利用倒序相加求和法，教材做了如 下处理：Sn =a1 (a1 d)a1 (n - 1)dA 44Sn = an (an -d)+ an -(n-1)d两式相加得：2Sn = n(a1 an)公式 1： Sn = n(aan)引导学生带入等差数列的通项公式,掉a,n整理得到公式2八一c cn(n - 1),公式 2: Sn = na1 + - d例1:计算(1)(2)(3)(4)1+2+3+n1+3+5+(2n-1)2+4+6+2n1-2+3-4+5-6+-+(2n-1
10、)-2n教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观 的解释。变式练习：课前提出的房贷问题。解：由已知每月还款数成等差数列，设为和： a1 = 2348,d5,n= 240Sn = na1二 240 23482240 239(-5)2(由上一问题的解决，学生 容易想到倒序相加求和 法。)学生：利用倒序相加求和 法。将Sn中的每一项用等差数列的通项公式进行巧 妙的改写，在倒序相加求和 时，每一组中的d都被正负 抵消了。学生类比方法一与方法 的联系与区别。学生自己阅读教材，体 会教材的解法是如何运用 求和公式。观察多媒体课件演示。学生：要求总还款额实际就 是对一个等差数列求和。加求和 法是重 要的数
11、 学思 想，为 以后数 列求和 的学习 做好了 铺垫。在等差 数列前 n项和 公式的 推导过 程中， 通过问 题获得 知识， 让学生 经历“发现 问题一 一提出 问题一 一解决 问题” 的过程通过对 实际问 题的解 决让学 生认识 到数学 来源于 生活， 同时又 服务于 生活学生：将求和公式与梯形面 积公式建立联系，而梯形面 积公式的推导也正是利用 了倒置的思想。问题3:能否给求和公式一个几何解释呢?教师提示将求和公式与梯形建立联系。公式1：Sn二豆2利用数 形结合 的思 想，使 学生对 两个公 式有直 观的认 识，体 会数学 的图形 语言。学生：同样将公式2与梯 形面积公式建立联系。用“割”
12、的思想将梯形分做一 个平行四边形和一个三角 形，而梯形面积就是这两部 分面积之和。剖析公式:例2在 解决了例1的 基础 上，由公式 1 Sn = n(a12 an)n(n -1)学生讨论：公式中一共含有 五个量，根据三个公式之间 的联系，由方程的思想，知 三可求二。学生讨论分析题目所含的 已知量，选取了公式2进行 运算，利用了方程的思想。议通项公式：an = a1 + (n - 1)d需要注意的是学生可能会 把公差认为是-4,以及解得 n的值后未把n=-3舍去。浅入 深，深 化了对 公式的 理解， 体现了 方程的 思想。紧扣 教材， 让学生 体会整 体应用 公式， 类比化 归的思 想方 法，同
13、 时，为 以后综 合问题 的解答 设下伏 笔。通过对对列求和 历史的 了解， 渗透数练活 动课 堂总 结教师提示，从方程中量的关系入手。例2等差数列-10 , -6 , -2 , 2,前多少项的和为54?解：设题中的等差数列是 Qn,前n项和为也n：则 a1 = 10, d= 6 ( 10) 4令Sn = 54,由等差数列前n项和公式，得：-10n + n(n -1) x 4 = 54.2'人一斛行n1 = 9, n2 = -3 (舍大)因此，等差数列的前9项和是54例3：在等差数列a。中(1)已知：a2 + a5 + a12 + a15 = 36,求S16 (2)已知：a6=20，求
14、 S11解：(1) , a2 * a5 = a5 + a2 = a * a6，二 a *a6 = a2 a5 =1816(a1 +a16)._LJ_162 1442S(a1+a11)M1(2) S11 一22a6 11-6-2202本小题主要考察了对公式一的整体应 用。根据课堂剩余时间,本题作为机动练习, (2)小问留给学生课后完成。学生进行了分组讨 论，然后每组派学生代表进 行分析。不少小组首先对已 知条件作转化，希望能通过 解方程求出首项和公差，但 发现条件不够，不能解出这 些基本量，教师做适当的引 导。本环节由学生自主归 纳、总结本节课所学习的主 要内容，教师加以补充说 明.(1)回顾从
15、特殊到一 般，一般到特殊的研究 方法.(2)体会等差数列的基 本元表示方法，倒序相加的 算法，及数形结合的数学思 想.(3)掌握等差数歹1的两 个求和公式及简单应用。1、教师引导学生归纳总结本节课所学 习的主要内容.2、课后作业：教材 118 页：1、2、3、5、6、7课后思考：等差数列的前n项和的求和方法除 了倒序相加法还有没有其它方法呢？3、对求和史的了解我国数列求和的概念起源很早，在北 朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在 张丘建算经中给出等差数列求和问题： 例如：今有女子不善织布，每天所织的布以 同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共 织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日
16、织布数，半之再乘以织日数， 即得。”了解我国古代研究等差 数列求和的情况。学史和 数学文 化。板书设计:本课注重在课堂教学活动中实现目标。提出实际问题 =例题讲解深化理解活动参与感悟数学史六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下五点反思:(1)根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认 识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。(2)本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对 部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。(3)由于高斯求和法众所周知，于是我补
17、充了我国古代研究数列求和的情 况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值 得研究的问题。(4)本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生 学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活 动中去。(5)目标达成知识与技能目标1J知识与技能目标2J知识与技能目标3J1过程与方法目标情感与价值目标学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： “今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。 ”说着，苏格拉底示范做了一遍， “
18、从今天开始，每天做 300 下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手 300 下，哪个同学坚持了，有90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家： “请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动
19、天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲： “锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的
20、方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种
21、豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面” ，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、 “笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货” ，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人
22、从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试 :用“正确的方法” 、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果， “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法
23、加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自
24、己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此， 说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要 应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的
25、人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里 做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了 一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近 的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们 人生都是有益的，我相
26、信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习 习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历 程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统, 游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，
27、我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的 表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到 提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不 要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维， 对自己的收益将难以
28、估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就 看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你搭那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型, 但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点 就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。