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1、材料力学习题解答11,能量法,卡氏定理,1如图所示支架中，AB和AC杆在A处铰接在一起并可看成是刚体，拉杆长L=2m，横截面的直径d=15mm，弹性模量为E=210GPa，载荷F=20kN。试求A点的竖向位移和C点的水平位移。,解：,由整体平衡有：,由杆件AB的平衡有：,结构总应变能为：,卡氏定理,1如图所示支架中，AB和AC杆在A处铰接在一起并可看成是刚体，拉杆长L=2m，横截面的直径d=15mm，弹性模量为E=210GPa，载荷F=20kN。试求A点的竖向位移和C点的水平位移。,解：,在C点虚加载荷P，由对称性：,由杆件AB的平衡有：,结构总应变能为：,2如图所示各梁的抗弯刚度为EI，试用
2、卡氏定理计算C截面的挠度和B截面的转角。,解：,(a),结构总应变能为：,叠加法：,2如图所示各梁的抗弯刚度为EI，试用卡氏定理计算C截面的挠度和B截面的转角。,解：,(a),结构总应变能为：,在B截面处虚加一力偶m。,叠加法：,叠加法：,解：,(b),应用能量法计算太麻烦！,3如图所示结构，刚架各段的抗弯刚度为EI，拉杆的抗拉刚度为EA。试用卡氏定理计算C点的竖向位移。,解：,在C截面处虚加一力F。,（向下）,4如图所示各梁的抗弯刚度均为EI，试用卡氏定理求梁支座C处的约束反力。,解：,(a),一次超静定问题。,结构总应变能为：,4如图所示各梁的抗弯刚度均为EI，试用卡氏定理求梁支座C处的约
3、束反力。,解：,(b),二次超静定问题。,结构总应变能为：,单位载荷法,5如图所示正方形桁架结构系统，各杆的抗拉刚度均为EA，试用单位载荷法计算B,D两点之间的相对位移。,解：,求实际载荷作用下各杆的内力。,求单位载荷作用下各杆的内力。,5如图所示正方形桁架结构系统，各杆的抗拉刚度均为EA，试用单位载荷法计算B,D两点之间的相对位移。,解：,(相互靠近）,6如图所示桁架结构系统中各杆的长度均为L，抗拉刚度均为EA，试用单位载荷法计算节点D的竖向位移以及AC,BE两杆件的相对转角。,解：,求实际载荷作用下各杆的内力。根据对称性有：,求单位载荷作用下各杆的内力。,（1）求D点的竖向位移。,6如图所
4、示桁架结构系统中各杆的长度均为L，抗拉刚度均为EA，试用单位载荷法计算节点D的竖向位移以及AC,BE两杆件的相对转角。,解：,(向下）,6如图所示桁架结构系统中各杆的长度均为L，抗拉刚度均为EA，试用单位载荷法计算节点D的竖向位移以及AC,BE两杆件的相对转角。,解：,（2）求AC,BE杆件的相对转角。,求单位载荷作用下各杆的内力。,AC,BE杆件的相对转角:,7如图所示梁的抗弯刚度为EI，试求载荷作用点的挠度和梁端的转角。,解：,求实际载荷作用下梁的内力。根据对称性有：,（a）,单位载荷作用梁的内力。,7如图所示梁的抗弯刚度为EI，试求载荷作用点的挠度和梁端的转角。,解：,求实际载荷作用下梁
5、的内力。根据对称性有：,（a）,单位载荷作用梁的内力。,7如图所示梁的抗弯刚度为EI，试求载荷作用点的挠度和梁端的转角。,解：,求实际载荷作用下梁的内力。根据反对称性有：,（b）,单位载荷作用梁的内力。,单位载荷作用梁的内力。,8如图所示结构，各段的抗弯刚度均为EI，试求载荷作用点的竖向位移。,解：,求实际载荷作用下梁的内力。,单位载荷作用梁的内力。,(向下）,9如图所示结构，各段的抗弯刚度均为EI，试求C点的竖向位移。,解：,求实际载荷作用下梁的内力。,单位载荷作用梁的内力。,(向上）,10如图所示刚架结构，各段的抗弯刚度均为EI，试用单位载荷法求B截面处的位移和转角。,解：,求实际载荷作用
6、下梁的内力。,单位载荷作用梁的内力。,(向右）,(顺时针）,11如图所示四分之三个圆周形的曲梁，其抗弯刚度为EI,OB杆可视为刚体，则在载荷F的作用下，试求点B处的竖向位移、水平位移及转角。,解：,求实际载荷作用下曲梁的内力。,单位载荷作用曲梁的内力。,(向下）,11如图所示四分之三个圆周形的曲梁，其抗弯刚度为EI,OB杆可视为刚体，则在载荷F的作用下，试求点B处的竖向位移、水平位移及转角。,解：,求实际载荷作用下曲梁的内力。,单位载荷作用曲梁的内力。,(向左）,11如图所示四分之三个圆周形的曲梁，其抗弯刚度为EI,OB杆可视为刚体，则在载荷F的作用下，试求点B处的竖向位移、水平位移及转角。,
7、解：,求实际载荷作用下曲梁的内力。,单位载荷作用曲梁的内力。,(顺时针）,12如图所示抗弯刚度为EI的小曲率圆周形曲杆，曲杆在顶部有一切口，切口处作用有一对集中力F。求切口处两载荷作用点的相对位移以及左右两个截面之间的相对转角。,解：,求实际载荷作用下曲梁的内力。利用结构的反对称性，只考虑半结构。,单位载荷作用曲梁的内力。,根据反对称性，明显有：,13如图所示抗弯刚度为EI的小曲率圆周形曲杆，曲杆在顶部有一切口，切口处嵌入一刚性的块状物使切口张开距离为e。求曲杆中的最大弯矩。,解：,求实际载荷作用下曲梁的内力。利用结构的对称性，只考虑半结构。,单位载荷作用曲梁的内力。,最大弯矩在环下部的中间截
8、面。,图乘法,14 如图所示刚架结构，各段的抗弯刚度均为EI，试求断口处A,B间的相对位移。,解：,实际载荷作用下刚架的内力图。利用结构的反对称性，只考虑半结构。,单位载荷作用下刚架的内力图。,15如图所示阶梯状梁受集中力F作用，求梁在载荷作用点的挠度以及左端截面的转角。,解：,实际载荷作用下梁的内力图。,单位载荷作用下梁的内力图。,(向下）,15如图所示阶梯状梁受集中力F作用，求梁在载荷作用点的挠度以及左端截面的转角。,解：,实际载荷作用下梁的内力图。,单位载荷作用下梁的内力图。,(顺时针）,16如图所示刚架处于平衡状态，各段的抗弯刚度均为EI，求A,B间的相对位移。,解：,实际载荷作用下结
9、构的内力图。,单位载荷作用下结构的内力图。,17如图所示刚架各段的抗弯刚度均为EI，求A截面的转角以及B点的位移。,解：,实际载荷作用下刚架的内力图。,单位载荷作用下结构的内力图。,(顺时针）,17如图所示刚架各段的抗弯刚度均为EI，求A截面的转角以及B点的位移。,解：,实际载荷作用下刚架的内力图。,单位载荷作用下结构的内力图。,(向右）,超静定问题,18如图所示刚架结构受均布载荷q作用，各段的抗弯刚度均为EI，画出其内力图。,解：,实际载荷作用下刚架的内力图。,用图形互乘法求解。,单位载荷作用下结构的内力图。,刚架的内力图。,超静定问题,18如图所示刚架结构受均布载荷q作用，各段的抗弯刚度均
10、为EI，画出其内力图。,解：,实际载荷作用下刚架的内力。,用单位载荷法求解。,单位载荷作用下刚架的内力。,刚架的内力图。,19如图所示，弹性模量为E，泊松比 ，直径为d的圆钢被制成半径为R(Rd)的半圆环，半圆环的两端固定，而在半圆环的中点作用有垂直于环面的集中载荷F。试求载荷作用点C处的竖向位移。,解：,根据对称性，只考虑半结构。,根据叠加法，结构中的总内力为：,根据叠加法，求中点的挠度。,集中力引起的中点的挠度：,集中力偶引起的中点的挠度：,20如图所示刚架的两端固定，在刚架平面内受一集中力F的作用，刚架各段的抗弯刚度EI，试求载荷作用点O的竖向位移以及C点处截面的转角。,解：,根据对称性
11、，只考虑半结构。结构为2次超静定。,(向下）,(顺时针）,选作题,21如图所示，矩形截面悬臂梁上表面承受均布的切向载荷q作用，材料的弹性模量为E，梁长为L，试求自由端下端点A处的水平位移和竖向位移。,解：,梁的内力：,单位载荷作用下梁的内力。,(向右）,选作题,21如图所示，矩形截面悬臂梁上表面承受均布的切向载荷q作用，材料的弹性模量为E，梁长为L，试求自由端下端点A处的水平位移和竖向位移。,解：,梁的内力：,单位载荷作用下梁的内力。,(向下）,22如图所示三根梁均为简支梁，其抗弯刚度均为EI，最上面的梁受均布载荷q作用。试用能量法求每个支座的约束反力。,解：,梁的内力：,单位载荷作用下梁的内力。,23如图所示刚架各段的抗弯刚度均为EI，初始时梁内无应力，现水平梁的温度沿梁的高度h由上至下呈线性增加，上缘温度升高了 ，下缘温度升高了 ,且 。竖梁的温度不变，梁材料的线膨胀系数为 ，试求刚架固定端的弯矩。,解：,结构为二次超静定问题。,24如图所示矩形截面悬臂梁受均布载荷q作用，若梁材料的应力应变的绝对值间的关系满足 ，试求梁自由端的挠度。,解：,梁上半部为拉应力，下半部为压应力。,24如图所示矩形截面悬臂梁受均布载荷q作用，若梁材料的应力应变的绝对值间的关系满足 ，试求梁自由端的挠度。,中性层位置：,