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1、实验4-3用三线扭摆法测定物体的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量， 而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。【实验目的】1 学会使用三线扭摆法测定圆盘和圆环绕其对称轴的转动惯量。2.学习使用MUJ-5B计时计数测速仪测量周期。3 研究转动惯量的叠加原理及应用。【实验器材】三线扭摆、钢直尺、游标卡尺、水准仪、钢圆环、铝圆环、MUJ-5B计时计数测速仪。【实验原理】三线扭摆装置如图 4-3-1
2、a所示。上、下两个圆盘均处于水平，圆盘A的中心悬挂在支架的横梁上，圆盘B由三根等长的弦线悬挂在 A盘上。三条弦线的上端和下端分别在A圆盘和B圆盘上各自构成等边三角形，且两个等边三角形的中心与两个圆盘的圆心重合。A盘可绕自身对称轴 OO2转动，若将 A盘转动一个不大的角度，通过弦线作用将使B盘摆动，B盘一方面绕轴 O1O2转动，同时又在铅直方向上做升降平动，其摆动周期与B盘的转动惯量大小有关。设B盘的质量是mo,当它从平衡位置开始向某一方向转动角度二时，上升高度为h （如图4-3-1b所示），那么B盘增加的势能为Epggh（4-3-1）d日这时B圆盘的角速度为，B盘的动能为dt耳=珈（竽）2（4
3、-3-2）式中J。是B盘绕自身中心轴的转动惯量。如果略去摩擦力，则圆盘系统的机械能守恒，即1 d: 2-Jc（）m°gh =常量（4-3-3）2 dt设悬线长为丨，上圆盘悬线到盘心的距离为r，下圆盘悬线到盘心的距离为R。当下圆盘B转一小角度二（：5° ）时，圆盘上升高度h，从上盘a点向下作垂线，与升高前、后的 下盘分别交于c、©，悬线端点b移到位置b1，因而下盘B上升高度为因为a)b)图 4-3-1三线扭摆h 二 ac(ac)2-(ac1 )-ac1 :acac1(ac)2 -(ab)2 - (be)2 =l2 _(R_r)2(4-3-4)(aG2 =(ab)2
4、-(bG)2 =l2 -(R2 r2 -2Rrcosr)所以h _ 2Rr(1 _cosR ac +aci2 62Rr 2sin2()2ac ac1(4-3-5)在悬线l较长而B盘的扭转角二很小时，有0 0 ac ac 2H ,sin（）:2 2其中H为两圆盘之间的距离。代入式（4-3-5 ）得u RL2h 二2H(4-3-6)将式（4-3-6 ）代入式（4-3-3），两边对t微分，可得.d寸d2寸Rr - d寸J01T即叱匚帀=0即:亡 msBr一0dt2J0 H(4-3-7)-的平方为式（4-3-7 ）是简谐振动的微分方程，其中振动角频率m°g RrJo H振动周期 T0 =2:
5、J ，则下圆盘B的转动惯量为J0m°gRr4.2H(4-3-8)m° = kgD45实验中测出m0、R、r、H和To，就可根据式（4-3-8 ）求出圆盘B绕自身对称轴的 转动惯量。若B圆盘上放置另一质量为 m的待测刚体（刚体的质心要在轴 OjO?上），使原转轴O1O2不变，测出此时的摆动周期T ,待测刚体和B盘对轴O1O2的总转动惯量(m m°)gRr42HT2(4-3-9)转动惯量具有可叠加性，故待测刚体对轴O1O2的总转动惯量为Ji将式（4-3-8 ）和式（4-3-9 ）代入上式得：J1（m m0）T2 -m0T2（4-3-10）4 H【实验内容】一、测量B盘
6、对于其中心对称轴 O1O2的转动惯量1 调节三线扭摆的角螺丝使A圆盘面处于水平，再调整三线摆悬线的长度，使B盘水平，并且使 A、B两圆盘之间的距离 H大约为60cm。2.用米尺测定 A B两圆盘之间的距离 H , B圆盘的直径D ,并记下B圆盘的质量 吩。3用游标卡尺分别测定 A B圆盘三线悬挂点之间的距离ai、b （ i=1, 2, 3），并求平均值。4用MUJ-5B计时计数测速仪测定 B盘的摆动周期T0。首先让B盘处于静止状态，然 后轻轻转动一下 A盘，使B盘绕O1O2轴做小角度摆动（摆角控制在50左右），待B盘做稳定摆动后，调整光电门和MUJ-5B计时计数测速仪，测出它摆动20个周期所对
7、应的总时间t0。 重复三次，算出周期T0的平均值。5.将测量数据填入表 4-3-1。二、测量待测圆环对自身对称轴的转动惯量1 将待测钢圆环放在 B盘上，并使环心与 B盘盘心重合。2.测量系统的摆动周期 T ,方法与上述（一、4）相同。3用米尺测量待测钢圆环的内、外直径D1、D2，并记下钢圆环的质量 m，将测量数据填入表4-3-2。利用式（4-3-10 ）算出钢圆环的转动惯量。4用相同的方法测量铝圆环，将测量数据填入自拟表格。【数据处理】一、测量圆盘B绕对称轴的转动惯量。表4-3-1测量圆盘B的转动惯量cmcm次数123平均值a/cmr =b /cmR =t° /cm0 =1 计算 A
8、 B圆盘的悬点到转轴 0102的距离r、R。由于三线摆的三条弦线的上端和下端分别在A圆盘和B圆盘上各自构成等边三角形，所以，A B圆盘的悬点到转轴 0102的距离r=3a/3、R=<3b/3。2.应用式(4-3-8 )计算B盘的转动惯量J0。3应用公式j =(mD2)/8，计算B盘的转动惯量的理论值J0理。Jo J 0 理5 计算相对误差 Ero =疋100%=。J0理二.测量钢圆环的转动惯量。1.应用式(4-3-10) 计算钢环的转动惯量。表4-3-2测量钢环的转动惯量次数t/sm =kg1Di =cm2D2 =cm3T =平均值s2应用公式J =m( D| d2)/8，计算钢环的转动惯量的理论值J1理。J"l 偲3.计算相对误差Er1=氷100%=。J1理三. 测量铝圆环的转动惯量。计算铝环的转动惯量及相对误差。【思考题】1 公式J。=卫嘻丁02是根据什么条件导出的？在实验时如何做才能满足这些条件? 4兀H2若在B盘上所加的待测刚体是一个半径较小的柱体，将柱体对自身轴的转动惯量的 实验值与理论值比较，发现误差较大。试分析产生误差的主要原因。