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1、2022考研数学（一）10月模考试卷附答案解析设当 x > 0 时，a(x) = tanx-sinx,/3(x) = Jl+x2 -fl-x1,父力=tdt都是 无穷小，将它们关于x的阶数从低到高排列，正确的顺序为()A.a(x),凤 x),y(x)B. a(x), y(x),尸(x)D. A)=a(x)，Xx)参考答案D答案解析当 Xf 0 时，/6=4+ X2 71-X2 = t ,X ,),Jl + x2 +J1-X2a(x) = tan x-sin x = (1 - cos x)tanx,y(x) = J*；0s飞n/jrfr = -cos/jj"0051 = 1-co
2、s(l - cos x) 三故 D 正确.>已知y = +ox?+bx+c在x = -2处取得极值，且与直线y = -3%+3相切于点(1,0),则()A.a = 1.6 = &c = 6B. a = -L b = 8. c = -6C.a = 1.6 = 8.c =-6D. a = -L b =8：c = 6参考答案A答案解析 由已知，y(-2) = 0,/(l) = -3,j(l) = 0(/ + 皿2+取+。)_2=0, fl2-4a + 6 = 0s即 (x' + ax1 +bx+c)' |xJ= 3,即，3 + 2a + b = -3,解得a = Li
3、=-8,c = 6 一故选 A.(j? + ax2 +6x+c)|I_1=0,l + a + b + c = O,1设反常积分/（丁'-/班收敛，则正确的是（）A.k>-1C.k>lD.k<l参考答案D答案解析ii ,i .1。一年一一 = /（/叫T）.当x 时，与/（lcosB是等价 x无穷小，又l - cosL与人是等价无穷小，则/（）布- J）与丁:是等价无穷小一 x 2xlexi当左<1时，2-k>,故°/（）、-厂）成收敛；当上N1B寸，2-k<,上是阶数不高于工的无穷小，故 lexx1/ '0sl -火发散.故选D.y
4、 arctan 7, (x, v) H (050)s设次+6则/(x,y)在点(0,0)处().0,(乂)，»。0),A.连续但不可微B.偏导数存在但不连续C.可微D.连续但偏导数不存在参考答案C答案解析由 arctan 1 】 有界，知 Hm /(x. v) =lim v arctan j 1=0 = f(Q. 0),历7浮湛历7故f(xj)在点(0,0)处连续.於 0)=lim /")二/。)=5 ° = 0,3XOXfy (0.0) = lim= lim arctan =,iV3To|y | 23-可 乂)，)一0。- J(0,0)x+4'(0。川
5、pp1mn、v arctan , ,、O xHj: 此. 2旧+/所以/(x,y)在点(QO)处可微，故C正确.5设% = (%),，叼=(bi，b2,b3)T,a3 = (c1,c2,c3')T ,其中 a： +6： h 0(z = L2,3),则 三条直线。/+3+ 6=0(1=1,2,3)恰好仅交于一点的充要条件是().A.r(a1.<z25a3) = 3B.r(a1：a2,a3)=lC.r(a1： a2；a3) = r(aba2)D.b ) = 2参考答案D答案解析%+瓦y+q =0,三条直线交于一点，等价于有唯一的x, v满足方程组，a2x+b2y + c2 =0,.宇
6、+. =0,写成向量形式，即有唯一的工使得下列等式成立,即须生，所以生可由 /线性表示，且表示法唯一，从而 %里线性相关，而%生线性无关，故"%里）= «%） = 2 一故选D.设N是”阶矩阵，齐次线性方程组.以=0有两个线性无关的解，则（）A. N0 = 0的解均是如:=0的解B.出:=0的解均是= 0的解C. 4: =0与,4% = 0无非零公共解D. =0与/x =0恰好由一个非零解构成公共基础解系参考答案B答案解析由忿=。有两个线性无关解=>n-r(A) >2=> r(A)= /巾-1阶子式全A1= 0.为 o = 4=o = /. = o=J&#
7、39;!.".4，x = 0有-«/) = /基础解.又.4A' = A'A 冒 /1 E = O 及,4x = 0 n A'Ax = 0 ,Ax = 0 的解均是= 0 的解,故选B.显然可排除A.由于出：=0与氐=0,当/：分(4)+/9)< 时，；：卜=0有非零解， 即出:=0与&: = 0有非零公共解.又44, = O=>r(/) + r(4)K ，故当 N4)+ ?(/)< 时，-4x =0与/、= 0有 非零公共解，故排除C.而= 0与A'x = 0恰好由一个非零解构成公共基础解系，需条件=：1 = 1，
8、故排除D.设兀二次型 /(孙玉，,x")= a + Xj)2+ (Xj+ a2x3)2 +-+(x +,其中6。=12.)均为实数，若二次型正定，则().A. 1+(-I)"'%。？4 * 0B. 1+(-1)”*% 4=0仁1-(一1尸。何-4 *0D. 1(-& = 0参考答案A答案解析由正定二次型的定义，知/(4W，,修)正定的充分必要条件是对任意 与孙一,X"，有“冷天与)之0,其中当且仅当方程组只有零解时等号成 立. +。1毛=0, 天+外天=0,./+格+1 = °方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式不为零,0a2=1 +
9、 (-1产q.-4工0,因此当0an 1+(T产药生q hOB寸，对任意不全为0的不，孙,匕都有/(再,孙，与)>0,故正定，A正确.设0尸(J)<LO<P(B)<1,且尸(川3)+尸(刁耳) = 1,则()A.N与5互不相容B./与8相互独立C.X与3时立DZ与a不相互独立参考答案B答案解析由 1 - 尸。| 耳)=P(AB),知 P(J | B) = P(A B),pn 尸(皿 _PQ®_ P(A)-P(AB)P(B)一嗝 = l-P(B)'故可得，P(AB) = P(A)P(B),即45相互独立.故选B9设随机变量X，*2二相互独立，记 =%+占
10、+X，根据列维林德伯 格中心极限定理，近似服从正态分布（充分大）,则只要） A.服从同一离散型分布B.服从同一连续型分布C.服从同一指数分布D.具有相同的期望与方差参考答案C答案解析列维T木德伯格中心极限定理的条件是区,乂，孤独立同分布，且期望与方 差均存在.满足选项A, B的随机变量的期望或方差不一定存在，故排除A, B.对于D,有相同的期望与方差未必有相同的分布，故排除D.只有C正确，指数分布的期望与方差均存在.故选C.10_1 16设总体刀"（460%,占二乂6）为总体刀的简单随机样本，了=77 £%，16且尸|X-川哥=尸|的一川4,则无=（）A.4B.4crC.1
11、6D.16O-参考答案C答案解析由丫"（"。2）,则了N（4彳），故七型N（o,D一旦N（M）, 16aa于是尸|*一川 无=尸|七|勺=2次上）-1, a aa尸|又“4=刊4（*一月|上 = 2网上）1, a a ak 4.2其中网x）为N（O,1）的分布函数，故由已知，一=一，即无=4? =16 .故选C. a a11曲线x = acos，t,y = asin' t（a 0）在 f =2处的曲率=.dv dt Sasin2 / cos/ y =-=5:=-tan t,dt dx -3acos 入sin?sec t« d ,、 d ,、dt -sec2
12、 /14y = (-tan t) = (tan?)=；= sec t csct,dxdx dx _3acos /-sint 3a参考答案故曲率火=一"'（1+yY37 sin 2t J? 3a12设ux,y,z=中i在点P（L2D处沿曲面x2 +丁 = 5的外法线方向的方向导数 为.令尸=/+/一5,外法线方向”=(2乂2乂0),则曲面在点尸(12-D处”的方、12向余弦为 cos a - -=: cos £ =亍,cos y = 0.15f5又：I. =_4. =12,故dx p cy p cz p至=(-4)x4= + (Y)x；+12xO=-上技-n J5 v
13、55参考答案P ""13r W1与r W1 + cos 6所围平面区域的形心坐标为如图所示，由对称性，知工=0一又由于xdxdy 2 d0r cos 6-rdr + ldd8 r cos d-rdrD 2f f dxdy 'dr fK rlYOBd-71+2- 21 r» o U+cosd芸 )d。r +21，- dd rdr2cos OdO r'dr + cos 6ddr ° r2 dr2 产一2、一 §（记-2）J乃 325_2 _30-481 4故形心坐标为（粤三,0）.参考答案30万-4814微分方程生=二满足y（l）
14、= 0的特解为 ax y + xJ _ 已知方程变形为字=，为一阶齐次微分方程.必2+1X令=，贝|J y = 眸孚 =%"+，故+ x坐, 分离变量得xax axax u 4-1 + 1 .dx/+lx积分得；ln(i/2 +1)4- arctan u =In | x| +C .由，(l) = 0,得C = 0,故所求牛寺%翠为 Lln(上)2+l + arctan菱+lnx = O. 参考答案2%x15再+ 2巧+冲=3, 设方程组,2再+ (左+4)巧-5电=6：有无穷多解，贝|左=-一再 一 2/ + kx? = -3,对非齐次线性方程组的增广矩阵N作初等行变换,flN= 2
15、1-12131'1213、由方程组有无穷多解,-> 0 上-7 00 0 上+107参考答案知/(4) = «0<3,故左=-1或左=0.16Q设随机变量X,Y均服从区间为Q 4的均匀分布，PmaxXJ<3 =,16则尸minX,y>3 =.依题设，X,Y的概率密度均为/'(X)= 了 °"故产> 3=尸江> 3=19其他497P(>3)U(K>3) = l-PX<3.r<3=l-PmaxX>r<3 = l-=, 16 16所以尸minX* >3 = PX >3,F
16、>3=PX > 3 + 尸丫 > 3-尸(X > 3)U C > 3)参考答案4 4 16 16求曲线y = ex Jsinx(x >0)绕x轴旋转所得旋转体的体积.答案解析先求 /(x) = c-xjsin x(x > 0)的定义域.由sinx之0,知xe2无“2左+1)4上= L2,)，如图所示则所求体积为V V 2A-2X ., x 2k兀= 厂 39+0 . 小 Th 厂 3 .V / .71_ e sin xax乙笈L©sin tat =/Tie|八 e sinrdrt.O 如*-0 *°M°18第17题图求椭球
17、面4+4+4=心 9 0）在第一卦限上的切平面与三个坐标面围成 a b c的四面体的最小体积.答案解析设点P（x,y,z）为椭球面在第一卦限上的任一点，则过点尸的切平面方程为4（X-x） + 与（y-），） + 4（Z_z） = 0 ,该切平面在三个坐标轴上的截距分别为 abc/ b2 c2,一，x y z2 x y z 6xyz故四面体的体积/C （x>0,y >0,z>0）,问题转化为求中z在条件=+ +g = 1下的最大值. a b c令 £ =孙z+A(+%+1),贝I a o cx.= yz +22= 05.a b c 2 o-由式，得代入式，可解得 故所
18、求最小体积为限邛起设/(X)在(YD,内)内有连续导数，2为从点A(3, |)到点3(1.2)的直线段, 计算,式安+涉力正吵 答案解析方法一：记尸=1+1/8'),。=)(孙)1, yy贝I 孚=学=/(孙)+ V(孙)- 3sH 0)，dx dyy2故当N工0时，积分与路径无关. 22取折线XC+C5 , J(3,-)SC(L-):B(1,2),"_2 _ f =i如图所示，AC： P = 3, CB：广一'故/=flirZMic+彳口/孙)-1办=f=+)弓力拉 +"“)-4协 " y v"J3 2 9 2 2y=42' -
19、 , 2这里 | ；方法二：取积分路径为中=2,则I =(2 1 +(-4)+4 >7(2) -1A- = f；4= -4.3 y y y"20设4=公4 =户Sin。tdt5 = L 2,)，求级数2(T产T-的和 。° °bh答案解析, si口 f；Kan =1-jdxX2sin*f . cos，tdt = 2 sinwr(l-sm2 t)dtKK=sinn tdt jjsinrd?=4一晨2.又KKb2 =td(cost)K K=-cos/ sin i d： - C cos入(+1)sin，. costdtK=( +1).sin" KI -
20、sin，)df = (+1双-(”+l)b*2，n+2鼠，所以4 = Z-履2=4-n+2bn =b故？ bn®n ®1则2(-1尸3=N(_1 产.ti bn ti n + 2OD1构造幕函数，令S(x) = 3(-1产*叫 则M1+x积分得 S(x) - S(0)=:- x+ln(x+1),-1 <x<l.®11S(0)=0,令x = l,故Z(1)"T = ln2-.ai + 2221设4.3有三个不同的特征值4,为4，它们对应的特征向量分别为”3，令%+/+%.(1)证明：线性无关；(2)若 4P =邓,求厂(4-E).答案解析（1）
21、用定乂证.设自4+总/尸+&4。4=0,由已知有.4月=/（%/ 乌）=4q+4/力=44+若生+若生.将尸=% + 4+q及以上两式代入式，整理得密 +月4+用4）里+（用+占4+与石）% + （用+%4+网=o, 由于见,生,生是不同特征值对应的特征向量，故它们线性无关,占+无+用否=。，工0,所以用=&=与=0,故 用+32+内才=0,其系数行列式 用+自4 +%用=0,故2.40不/线性无关.(2)由，(=/4,fo 0 0、I有/（口月氏/©=（月万/月/向=（4?/尸工0 =（尸4口才01 0 110 1 0>0 0 0、即尸-%P = 5,所以令尸
22、=（氏/氏不向，故AP = PB,其巾5= 1 0 1、0 1 0,N-E与8-E相似,故 NN_E) = 3 E).而r-lr(B-E)=r( 1、°0 0、-1 1 ) = 2,所以r(4-E)=2.1 -L22设随机变量见工,及相互独立，且均服从参数为；I的指数分布，记T = max 匚及.（1）求丫的概率密度4。）；（2）求期望ET.答案解析（1）由已知，M与工相互独立，故（理区）的概率密度为再 >嚏>0: 0. 其他.设丫的分布函数为耳。），则当）wo时，耳3）=0；当），>0时，有耳0，）=尸minXi，X2” 对=1 一尸% > 以乙 > 用=1 一尸区 > y PX2 > 乃=1一。-卬。-4=1一。口>,故我）"2）"产；：。,I o. y«o.（2）先求T的分布函数与概率密度.当two时，片=0；当C0时,有耳=尸7=fmaxUXJ3=尸丫丸工二正而丫 = min区/?与 区相互独立，故耳=PY <t PX3 <t = （1一十以1 一e-”），配2 /八 E/、1脑-"+ 2-加一3脑-叫/>0.所以人（。=咛=0,o于是 ET=tAe-lt + 2 初- r - 3Ae-3it）dt = - + - - = .J。A 22 3A 6a