绝对值不等式解法PPT课件.ppt

1、2.绝对值不等式的解法1.1.掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式的求解掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式的求解问题问题.2.2.了解绝对值不等式的几何解法了解绝对值不等式的几何解法.1.1.本课重点是两种类型绝对值不等式的解法本课重点是两种类型绝对值不等式的解法.2.2.本课难点是利用绝对值不等式解决实际问题本课难点是利用绝对值不等式解决实际问题.1.1.含含绝绝对值对值的的不等式不等式|x x|aaa的解集的解集2.|ax+b|c(c0)2.|ax+b|c(c0)和和|ax+b|c(cax+b|c(c0)0)型不等式的解法型不等式的解法(1)|ax+b|c(1)|ax

2、b|c_；(2)|ax+b|c(2)|ax+b|c_._.-caxcax+bcbcax+bcax+bc或或ax+b-cax+b-c1.|x|1.|x|的几何意义是什么？的几何意义是什么？提提示示：|x|x|表示数轴上的点表示数轴上的点x x到原点到原点O O的距离的距离.2.2.不等式不等式7x-17x-13 3的解集是的解集是_._.【解析解析】由由7x-17x-13 3得得-37x-13-37x-13，解得，解得-x .-x .答案：答案：-，3.3.不等式不等式1-3x1-3x2 2的解集是的解集是_._.【解析解析】1-3x1-3x2 23x-13x-12 23x-1-23x-1-2

3、或或3x-12,3x-12,解解得得x-x-或或x1.x1.原不等式的解集为原不等式的解集为xxx-x-或或x1.x1.答案：答案：x|x-x|x-或或x1x1|x-a|+|x-b|cx-a|+|x-b|c和和|x-a|+|x-b|cx-a|+|x-b|c型不等式的解法型不等式的解法(1)(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想,理理解绝对值的几何意解绝对值的几何意义义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键题关键.(2)(2)以绝对值的零点为分界点以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间将数轴

4、分为几个区间,利用利用“零零点分段法点分段法”求解，体现分类讨论的思想求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键.(3)(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想想.正确求出函数的零点并画出函数图象正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的有时需要考查函数的增减性增减性)是解题关键是解题关键 简单的绝对值不等式的解法简单的绝对值不等式的解法【技法点拨技法点拨】绝对值不等式的常见类型及其解法绝对值不等式

5、的常见类型及其解法(1)(1)形如形如|f(xf(x)|)|)|a(aRa(aR)型不等式型不等式此类不等式的简单解法是等价转化法，即此类不等式的简单解法是等价转化法，即当当a0a0时，时，|f(xf(x)|a)|a-a-af(xf(x)a.)|a af(xf(x)a)a或或f(xf(x)-a.)-a.当当a=0a=0时，时，|f(xf(x)|a)|a)|af(x)0.f(x)0.当当a0a0时，时，|f(xf(x)|a)|)|a af(xf(x)有意义有意义.(2)(2)形如形如|f(xf(x)|)|g(xg(x)|)|型不等式型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即此类问题的简单解法是利

6、用平方法，即|f(xf(x)|)|g(xg(x)|)|f(xf(x)2 2 g(xg(x)2 2f(x)+g(xf(x)+g(x)f(x)-g(xf(x)-g(x)0.0.(3)(3)形如形如|f(xf(x)|)|)|g(xg(x)型不等式型不等式此类不等式的简单解法是等价转化法，即此类不等式的简单解法是等价转化法，即|f(xf(x)|)|g(x)g(x)-g(x-g(x)f(xf(x)|g(x)g(x)f(xf(x)g(xg(x)或或f(xf(x)-)-g(xg(x)(其中其中g(xg(x)可正也可负可正也可负).).若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂若此类问题用分类讨论法来解决，就

7、显得较复杂.(4)(4)形如形如a|a|f(xf(x)|)|a0)a0)型不等式型不等式此类问题的简单解法是利用等价转化法，即此类问题的简单解法是利用等价转化法，即a|a|f(xf(x)|b(0ab)|b(0ab)aaf(xf(x)b)b或或-b-bf(xf(x)-a.)-a.(5)(5)形如形如|f(xf(x)|)|)|f(xf(x)型不等式型不等式此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(xf(x)|)|)|f(x)f(x)f(xf(x)0.)0)1.|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法(1)|x

8、a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式有三种解型不等式有三种解法法分区间分区间(分类分类)讨论法、图象法和几何法讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具分区间讨论的方法具有普遍性有普遍性,但较麻烦；几何法和图象法直观但较麻烦；几何法和图象法直观,但只适用于数据较但只适用于数据较简单的情况简单的情况.(2)(2)分区间分区间(分类分类)讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即即 也即也即xR.xxR.x为非负数时为非负数时,x x为为x x；x x为负为负数时数时,x x

9、为为-x,-x,即即x x的相反数的相反数.(3)(3)x-ax-a+x-bx-bc,c,x-ax-a+x-bx-bc(cc(c0)0)型不等式型不等式的图象解法和画出函数的图象解法和画出函数f(xf(x)=)=x-ax-a+x-bx-b-c-c的图象是密切的图象是密切相关的相关的,其图象是折线其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出正确地画出其图象的关键是写出f(xf(x)的的分段表达式分段表达式.不妨设不妨设ab,ab,于是于是f(xf(x)=)=-2x+a+b-c (xa)-2x+a+b-c (xa)，b-a-c (axb)b-a-c (axb)，2x-a-b-c (xb).2x-a-

10、b-c (xb).这种图象法的关键是合理构造函数这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象正确画出函数的图象,求出求出函数的零点函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想体现了函数与方程结合、数形结合的思想.2.2.分区间讨论的一般步骤分区间讨论的一般步骤(1)(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；(2)(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出

11、它们的解集；等式，求出它们的解集；(4)(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.【典例训练典例训练】1.1.解不等式解不等式|x+1|+|x-1|3|x+1|+|x-1|3；2.2.解不等式解不等式|x|+|x-3|5.|x|+|x-3|5.【解析解析】1.1.方法一方法一:如图如图,设数轴上与设数轴上与-1,1-1,1对应的点分别为对应的点分别为A,B,A,B,那么那么A,BA,B两点间的距离为两点间的距离为2,2,因此区间因此区间-1,1-1,1上的数都不是不上的数都不是不等式的解等式的解.设在设在A A点左侧有一点点左侧有一点A A1 1到

12、到A,BA,B两点的距离和为两点的距离和为3,A3,A1 1对应对应数轴上的数轴上的x.x.所以所以-1-x+1-x=3,-1-x+1-x=3,得得x=x=-.同理设同理设B B点右侧有一点点右侧有一点B B1 1到到A,BA,B两点的距离和为两点的距离和为3 3，B B1 1对应数轴上对应数轴上的的x,x,所以所以x-1+x-(-1)=3x-1+x-(-1)=3.所以所以x x=.从数轴上可看到，点从数轴上可看到，点A A1 1，B B1 1之间的点到之间的点到A A，B B的距离之和都小于的距离之和都小于3 3；点；点A A1 1的左边或点的左边或点B B1 1的右边的任何点到的右边的任何

13、点到A A，B B的距离之和都大于的距离之和都大于3 3，所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是(-(-,-,-,+).,+).方法二方法二:当当x-1x-1时时,原不等式可以化为原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)3,-(x+1)-(x-1)3,解得解得xx-.当当-1-1x x1 1时时,原不等式可以化为原不等式可以化为x+1-(x-1)3,x+1-(x-1)3,即即23.23.不成立不成立,无解无解.当当x1x1时时,原不等式可以化原不等式可以化为为x+1+x-13.x+1+x-13.所以所以x x .综上综上,可知原不等式的解集为可知原不等式的解集为x|xx|x-或或x x 方法

14、三方法三:将原不等式转化为将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-30.|x+1|+|x-1|-30.构造函数构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,y=|x+1|+|x-1|-3,即即 -2x-3-2x-3，x-1,x-1,y y=-1=-1，-1x1,-1x1,2x-32x-3，x1.x1.作出函数的图象作出函数的图象(如图如图).).函数的零点是函数的零点是-,-,从图象可知当从图象可知当xx-或或x x 时时,y0.,y0.即即|x+1|+|x-1|-30|x+1|+|x-1|-30.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为(-,(-,-,+),+).2.2.方法一方法一:|x|:|x

15、与与|x-3|x-3|可以看作是数轴上的点可以看作是数轴上的点x x到到0 0和和3 3两点的距两点的距离离,因此因此,不等式的几何意义是数轴上到不等式的几何意义是数轴上到0 0和和3 3两点的距离之和不两点的距离之和不超过超过5 5的的x x的范围的范围,结合数轴易得出结合数轴易得出-1x4,-1x4,所以原不等式的解所以原不等式的解集为集为-1,4-1,4.方法二方法二:原不等式原不等式|x|x|+|x-3|5+|x-3|5可等价转化为可等价转化为 或或 或或解解不不等式组得等式组得-1x4.1x4.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|-1x4x|-1x4.【思考思考】求解此类不

16、等式的关键是什么？求解此类不等式的关键是什么？提示：提示：关键是理解绝对值的几关键是理解绝对值的几何何意义意义.其他类型的绝对值不等式其他类型的绝对值不等式【技法点拨技法点拨】f(xf(x)g(xg(x)、|f(xf(x)|)|g(xg(x)型绝对值不等式的解法型绝对值不等式的解法形如形如f(xf(x)g(xg(x)类型的不等式可以借助形如类型的不等式可以借助形如ax+bax+bc c的解法转化为的解法转化为f(xf(x)-g(xg(x)或或f(xf(x)g(xg(x),),当然当然f(xf(x)g(x)g(x)-g(x-g(x)f(xf(x)g(xg(x),),而如果而如果f(xf(x)的正

17、负能确定的话，也的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解不等式可以直接去掉绝对值再解不等式.【典例训练典例训练】1.1.不等式不等式2x-32x-33x+13x+1的解集是的解集是_._.2.2.解关于解关于x x的不等式的不等式logloga aaxax2 2logloga ax x+2.+2.【解析解析】1.1.解题流程解题流程.答案：答案：(，+)+)审题审题转化转化|2x-3|3x+1|2x-3|0,3x+10,原不等式转化为原不等式转化为-(3x+1)2x-33x+1-(3x+1)2x-3 g(xg(x)的求解方法的求解方法:()()根据实数的绝对值的意义分类讨论，根据实数的绝对值

18、的意义分类讨论，即即|a|=|a|=；a (a0)a (a0)-a (a0)-a (a0)()()根据公式根据公式:|x|a:|x|a-axa(aR-ax0)a0)；f(x)f(x)g(x)g(x)-g(x)f(x)g(x)-g(x)f(x)a|x|axaxa或或x-a(aRxg(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x).f(x)0.a0.(1)(1)当当a=1a=1时，求不等式时，求不等式f(x)3x+2f(x)3x+2的解集；的解集；(2)(2)若不等式若不等式f(x)0f(x)0的解集为的解集为x|x-1x|x-1，求，求a a的值的值.【解析解析】1.1.若若

19、a=1,a=1,则则f(xf(x)=2|x-1|,)=2|x-1|,不满足题设条件不满足题设条件.若若a1,a1,则则f(xf(x)=-2x+a+1-2x+a+1,xaxa 1 1-a-a,ax1ax1,a1,则则f(xf(x)=-2x+a+1,x12x+a+1,x1 a-1a-1,1xa1x0,a0,所以不等式组的解集为所以不等式组的解集为 x|xx|x .由题设可由题设可得得 =-1,-1,故故a=2.a=2.【易错误区易错误区】绝对值不等式变形不等价致误绝对值不等式变形不等价致误 【典例典例】不等式不等式x+2x+2-2x-12x-11 1的解集是的解集是_._.【解题指导解题指导】()

20、)()无解，无解，()()的解集为的解集为0 x0 x ,()()的解集的解集为为 x2.x2.综上综上(),(),()(),(),()取并集取并集，得原不等式的解集为，得原不等式的解集为0 0，2 2.答案：答案：0 0，2 2【解析解析】原不等式等价原不等式等价于于 ()【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：题启示总结如下：(此处的此处的见解析过程见解析过程)【即时训练即时训练】函数函数f(xf(x)=)=2x+12x+1-x-4x-4的最小值是的最小值是_._.【解析解析】令令y=y=2x+12x+1-x

21、4x-4,则则 -x-5,x-,-x-5,x-,y y=3x-3,-3x-3,-x x4 4,x+5,x4x+5,x4.在一个坐标系中分别画出以上分段函数，在一个坐标系中分别画出以上分段函数，由图象可知，当由图象可知，当x=-x=-时，时，y=y=2x+12x+1-x-4x-4取得最小取得最小值值 .答案答案：1.1.若集合若集合M=xM=xx|2,N=xx|2,N=xx x2 2-3x=0-3x=0，则，则MN=()MN=()(A)3 (B)0(A)3 (B)0(C)0,2 (D)0,3(C)0,2 (D)0,3【解析解析】选选B.M=xB.M=x-2x2,N=0,3,-2x2,N=0,3

22、MN=0.MN=0.2.2.不等式不等式|2x-log|2x-log2 2x|2x|+|logx|2x|+|log2 2x|x|的解为的解为()()(A)1x2 (B)0 x1(A)1x2 (B)0 x1 (D)x21 (D)x2【解析解析】选选C.C.由由|a-|a-b|a|+|bb|a|+|b|,|,其中等号成立的条件为：其中等号成立的条件为：ab0ab0,原不等式成立，即原不等式成立，即2x2xlolog g2 2x0,x1.x0,x1.3.03.0的解集为的解集为()()(A)xA)xx x 或或x-x-(B)xB)x-x -x x 或或x-x00且且x-3,x-3,原不等式等价于原不等式等价于2x-12x-1-20,-20,即即2x-12x-12,2x-122,2x-12或或2x-1-22x-1 或或xx 或或xx3|x+3|-|x-3|3的解集的解集.【解析解析】由绝对值不等式的几何意义知由绝对值不等式的几何意义知：数轴上的点数轴上的点x x到点到点-3-3和和3 3的距离之差的绝对值大于的距离之差的绝对值大于3 3，不难得出不难得出x x 或或xx 或或xx-.