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1、F列各题是否正确？若正确在括号内打“V”,否则打“x”(共计10分)1 若两矩阵A,B的乘积AB =0，则一定有A=O或B =0。()2若向量组1,2,3,4线性相关，则：1,：2,：3也线性相关。()3若A是一个n阶方阵且线性方程组AX二b有解，贝U|A|=0。 ()4若A,B都是n阶方阵，则AB = BA。()5若 =0是方阵A的一个特征值，则A 一定是不可逆的。()二、单项选择题(每小题3分，共计15分)522-3、1 若矩阵-2 -4几 6的秩为1,则九的取值为【】厂48-812 (A). 2 ;(B).-4 ;(C). 6;(D).-8.2若3阶方阵A的行列式A =2，则-2A
2、76; =【】11(A).-16;(B).-4;(C).-丄；(D).-'4163 若A、B是等价的n阶方阵，则矩阵A、B 一定满足【】(A).特征值相等；(B).秩相等；(C).行列式相等；(D).逆矩阵相等.4若A = Amn且R(A)汀，则方程组Ax=0的基础解系中的向量个数是【】(A). r ；(B). m-r ；(C). n-r ；(D). n5若n阶矩阵B与A相似，BPAP，x是矩阵A的对应于特征值的特B的对应于特征值'0的一个特征向量为征向量，那么矩阵的一个最大无关组是(D). P_1x1、2，若3阶非零方阵B满足AB= 0,则t = 切'1233.设矩阵
3、A与B相似,B= 0 4 5，则A的行列式A =.0 0 6a b2 c =0 ,c 3<3A+ B = 0<00 0、3 0，则矩阵B有一个特征值丸=0 3四、计算下列各题1 .( 10 分)(1 1 0'设 A = -111I0 0 b2)2.（ 12分）设向量：1问:（12a,b取何值时，向量12丿广3、广1、r 2 A-2-1n.-1，4 =a+102b +6< 14 >2十5<103丿XA = B，求 X。a3:可由向量组线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式。3 .（15分）用正交变换化二次型f （%兀必）=2x； 3x； 3x； 4X2
4、X3为标准型,并求出所用的正交变换及f的标准型。这个二次型是否是正定的？为什么?五、（每小题6分，共计18分）1 .设S23，:,都是4维列向量，且4阶行列式2/-3 = a，11,口2,。3 =b，求 4 阶行列式 a 1,°2,%0+了2.设A，B都是m n阶矩阵，且R（A） R（B） ： n，问：齐次线性方程组Ax = 0与Bx =0是否有非零的公共解？证明你的结论r a、C是三阶矩阵，且P1 =2a，p2 =a + 3L1严2丿对应于特征值1, -1, 0的三个特征向量，求常数a与矩阵Cx；x；x； V；V10广 121、（3 ）3已知线性方程组Ax = b有无穷多解，其中A
5、 =2 a+45，b =6I-1 一2a 丿1-3丿15B ; B ; B ; C; D、(1)：1,：2 ； t=5 ;(3) . 24 ;(4). =3 20四、(1) . X =BA -1A 勺，A'=pA 38qii、A*= 11-11°02fl 1 1 21°-1101-1 2X=BA1°<2 ° 3 丿10用(Afg球出A丄或冷瞌直接求出BA得相应的分(2).是线性方程组x1a1 +x2a2 +x3a3 +x4a4邛的求解问题。增广矩阵50312、10312、-11-2-1-101101=23a+102b+6T00a+10b-1
6、<4214a+510<000a + 10丿所以，a = -1时有唯一的线性表示；a1且b =1时有多个线性表示。6解方程得：a = -1时，唯一的线性表示为一：=(2-3匸)：1 (1W)： 2 口： 3 8a+1a+1a+1a二-1且b =1时，线性表示为(匕，k2 R):=(2 - 3匕-k2) ：(1 -匕)：2 匕：3 k2：或线性表示的系数满足12f 、X1'-3Xr-rX2-101=k110+0X3凶丿<0<0J122(3).二次型的矩阵为A= 0<°0 0'3 2 2 311矩阵A的特征值为：1 =1 ,2=2 ,匕=5特征
7、向量:0、01,人3 = 5 J =1<_1J3*1、7一1 = 1 © = 0，九2 = 2 -260、单位化p1 =01，pr1 ,©L11P：20 0”131 1 -1 b正交变换x二Py，二次型的标准形为f=y； 2yf - 5y3 14因为矩阵A的特征值均为正数，所以此二次型是正定的。 15五、(1) 冋冬，®，B 十7!二乩役耳川 +1,02,03，?=O(1,O(2S,B| - 丫,口1,2,°3 二 a 一 b(2).有非零的公共解。 1"Ax = 0Ax = 0与Bx = 0的非零公共解等于联立方程组AX - 0的非零解
8、。即Bx = 0齐次线性方程组(Bpd0的非零解由于RA£R( A)R(B) ： n ,所以方程组Ax=0的非零解故Ax =0与Bx = 0有非零的公共解 线性方程组Ax二b的增广矩阵15213入广1213'2a + 4-56T0a-70C1-2a一31°0a+1°A 二a=-1 或 a = 0线性方程组Ax =b有无穷多解，所以三阶矩阵C有三个不同的特征值1 ,-1，0，因而特征向量Pl , P2 , P3线性无关，由此得 a =0（ a =1时p1, p2, p3线性相关）所以矩阵C的三个线性无关特征向量为10-b，P2 -01r10-2 '广1、J 54-6、令P =03-1，A =-1，则p=-11-1厂121'、°厂32_3J41C =P-：P_5374-3-6-638丿6