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1、空间直线和平面的平行与垂直,2.(2010南通三模)已知直线l，m，n，平面 ，m ，n 则“l ”是“lm，且ln”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一),解析： l ，则l垂直于 内的所有直线，而lm，且ln，这个条件得不到，l ，所以答案是“充分不必要”,3.(2010南通一模)关于直线m，n和平面 ， ，有以下四个命题：若m ，n ， ，则mn；若mn，m ，n ，则a ；若a =m，mn，则n 且n ；若mn， =m，则n 或n .其中假命题的序号是_,解析： 中m与n可以是相交、平行或异面；缺少n不在 ， 内；要想得到线面垂直，必须是一条直
2、线垂直于平面内的两条相交线,答案为 ,4.(2010苏、锡、常、镇二模)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下四个结论：D1C平面A1ABB1；A1D1与平面BCD1相交；AD平面D1DB；平面BCD1平面A1ABB1.其中，所有正确结论的序号为_.,解析： 正确，这可以由正方体的性质直接得到；A1D1在平面BCD1内；若AD平面D1DB，而直线DB在平面D1DB内，这就得到矛盾的结论ADBD，事实上ADB=45.,答案： ,分析：翻折问题重点抓住折叠前后哪些元素发生了变化，哪些没有变化；要证明直线OH平面BDE，只要证直线OH平行于该面中的某一条直线即可，同时注意定理的条件：直
3、线OH不在该面内，某直线在该面内；要证明平面ADE平面ABCE，只要在平面ADE中寻找一条直线垂直于平面ABCE.,例2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，E为棱CC1上的的动点(1)求证：A1EBD；(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD平面EBD；(3)在(2)的条件下，求VA1-BDE.,分析：立体几何中的线线垂直的证明通常都是通过线面垂直来实现的，本题就可以先证明BD平面ACC1A1；面面垂直的证明只要从其中一个平面找一条直线垂直于另一平面即可,(1)证明：连结AC.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，所以AA1BD，因为正方形A
4、BCD，ACBD且ACAA1=A，所以BD平面ACC1A1且ECC1，所以A1E平面ACC1A1，所以BDA1E.,(2)设ACBD=O，则O为BD的中点，连结A1O，EO.由(1)得BD平面A1ACC1，所以BDA1O，BDEO.所以A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角，AB=a，E为CC1中点，所以A1O= a，A1E= a，OE= a，所以A1O2+OE2=A1E2，所以A1OOE，所以A1OE=90.所以平面A1BD平面BDE.,变式2.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点(1)求证：PA平面
5、EFG；(2)求三棱锥P-EFG的体积,解析：(1)证法1：如图，取AD的中点H，连结GH，FH.因为E，F分别为PC，PD的中点，所以EFCD.因为G，H分别为BC，AD的中点，所以GHCD，,所以EFGH，所以E，F，H，G四点共面因为F，H分别为DP，DA的中点，所以PAFH.因为PA 平面EFG，FH平面EFG，所以PA平面EFG.证法2：因为E，F，G分别为PC，PD，BC的中点，所以EFCD，EGPB.因为CDAB，所以EFAB.因为PBAB=B，EFEG=E，所以平面EFG平面PAB.因为PA平面PAB，所以PA平面EFG.,分析：立体几何中存在性(探索性)问题的解决方法通常是假
6、设存在，然后根据条件探求怎样存在，最后书写解题过程的时候要注意顺序，即，“满足存在”推出“条件”，千万不能写成“满足条件”推出“存在”,(2)当点E为棱AB的中点时，DE平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连结EF、FD、DE，因为D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，所以EFAB1.因为AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，所以EF平面AB1C1.同理可证FD平面AB1C1.因为EFFD=F，所以平面EFD平面AB1C1.因为DE平面EFD，所以DE平面AB1C1.,准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系(特别是平行与垂直的位置关系的判定定理和性质定理)是解决立体几何问题的基础，转化法是空间直线和平面位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系、线面关系、面面关系三者之中，每两种都存在着依存关系，充分合理地利用这些关系是解题的关键,本题的线面平行的证明就是通过线线平行来实现的，具体证明时，要交代PD平面PCD，EF平面PCD，否则要扣2分；同样在证明BFAD时，也须先说明BAD是等边三角形，要尽量避免“会而不对，对而不全”的现象.,