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1、§ 3-3凑微分积分法求原函数.(2x 3)100dx时，若用分项积分法，就得先把(2x 3)100按二项式公式展开成101项之和，然后逐项求积分这显然是太麻烦了1(2x 3)100dx(2x 3)100d(2x 3)二2 '-1"j|dx pd(2x+3)j.假若用下面的做法，就会非常简单1 1 101 1(2x 3)2 101 把(2x 3)看成x套用积分公式般地,101202(2x 3)aHax "1 1(ax b)'dx(a=0,-1) (ax b)'d(ax b)二、a、|dx Jd(ax +b)把(ax +b)看成x套用积分公式
2、(2)1丄 -(2x 3) 2d(2x 3)2(2x 3)2 = . 2x 3 .2 2! a 1,1 dx 2x 32把(2x +3)看成x套用积分公式1 1sin(2x 3)dx sin(2x 3)d(2x 3) cos(2x 3)把(2x 3)看成x套用积分公式F面两例，既用到分项积分法，又用到凑微分积分法例6 x 2x3dx =(恒等变换)丄j|(2x 3) , 2x 3 -3.2x 3 dx(再分项积分)1 3 133丄215 1|(2x 3)-(2x 3)2 10 2凑微分)( 套用积分公式)(2x 3)2x 3dx2x 3dx (2x 3)2dx (2x 3)2dx1 -3丄4
3、(凑微分)(2x 3)2d(2x 3)(2x 3)2d(2x 3)二(请你认真看上面的演算，然后合上书再做一遍1 11 11例 7sin2xdx(1-cos2x)dxxcos2xd(2x>xsin2x,2 '24242 1 1 1 1 1cos xdx (1 cos2x)dx x cos2xd(2x) x sin2x.2 '2424(请注意，这是固定的积分方法，都用倍角公式)凑微分积分法用的是积分规则U3(X)f l.u( x) U (x)dx(查表)f (u)du-亠 F (u)二 F l.u(x) I它对应于微分法中的链式规则(也是上述积分规则的证明)：u -u(x)
4、dF L(x) 1= F (u)du(x) = f (u)匸(x)u'(x)dx = f lu(x) 】u"(x)dx你从下面的例题中，可以进一步体会到凑微分积分法的含义其中的中间变量U二u（x）是记在脑子里，不需要写出来1例 8e2x 3dx =3 e2x 3d(2x 3)(u 2x 3)I 2x -3 e ，21 dx J2x 32 2x 31(u A 3) 1d(2x+3)=寸In 2x+3，2x - x1 2dx -dx ='J1 _(x2 _2x+1)' J _(x_1)2(u*)d(x_1) = arcsin(x_1)，1 dx 2 12d(x 1
5、)二=larctan口，22 +(x+1)2225 2x x22 1 2 1 o 1 2 2xex dxex (2x)dx ex d(x2)ex (把 x 看作 u 套用公式),tan xdx 二 ' cosx1 ,1sinxdx = d(cosx)=d(cosx)= ln cos' cosx' cosx1cot xdxcosxJJ sin x1dx =d(sin x) = ln sin x .'sinxF面几个例题，既用到分项积分法，又用到凑微分积分法例9dx(x3)(x5)1 -2 x-5 x-32（裂项，恒等变换）dx = 1 In |x-5|-ln|x-
6、3|=-1 Inx 5x3例 10dx(x3)(x5)丄一丄（2 x-5 x-3（裂项，恒等变换）= 5ln |x_5| 虫In |x _3| 2 21例 11-一2a -x,1 idx(a 0)dx =1一 丄x a x (a +x)(a -x) 2a (a +1 ,1a + xd(ax) (Ina + xlna xlnx2a2aa x(裂项，恒等变换)d(a x) 1 a -1 1特别（心），有=皿尹1 -xd(sin x) Ux 二'1-si n2x半Jln1 -u224in1 sin x1 -sin x1, (1 sinx)2 In221 _sin x4in21+s in xc
7、osx,1+si nx=lncosx=In secx + tanx用类似的方法可得cscxdx 二 In escxcot x现在，我们在最简原函数表中再添加以下几个公式(用到时可以直接套用积分公式 ):(11)r dx Ina2 -x22aa+x1x2 -a2dx 二丄 In2ax ax +ac (a 0)(12) j tanxdx = -In cosx +cOf cotxdx =ln sinx +csecxdx = ln secx +tan x +c(15)cscxdx = In cscx cotx + c根据提示做习题1.求下面的原函数(根据提示，接着做下去)二(x 1)J00dx (x
8、1)100x(x 1)100x2 而dx = (1 -x)100d dx =(x2 -2x 1) 2(x-1) 1dx 二x 32x dx 二(x -1)100用类似的方法做以下两题： dx二L J3-2xx. 一dx =Jx +1 + Jx -11答案：-99(x 1)99 '+-98(x1)9899(x - 1)991 - 茹：一(3-2x)21 2129798-97(x -1)98(x -1)3小113一1(32x)2(32x)2 ；(6) (x 1)6252.根据提示，查表直接写出答案：99(x-1)1052-丄(3-2斥2-3(x 1)2 ；(x1)2 一如一1)2.X112
9、2 -一 dx22d(a X)二a x 2 a x x2exdx =1 exd(x3)=3x 1 x2dx =1 j1 x2d(1 - x2)-' 2 Jx112=dX=2、.1x2d(1X)=1dx =lnx-1d(lnx 1)=dx = fsin xcosxsin2x cos2xdx =sin xcosx2 eXdX1d(2 ex)2exI 2dx IX2 X 11x -.2x(1 二x)dx(x 0) J 1_x X1 dx12d( x)=1 -xdx(x 0) = -1 d 1 二x、x2-11一 121 2 2 1 答案：严x） 3e-(1 X2)、1 x2 ； (4) ,
10、1 x2 ； (5) 2 . In x 1 ；3 In | tan x | ， ln(2 - ex)；22x+1l1arctan: 2arcsin x ；arcsin .3、3x3.求下面的原函数（请你根据提示做下去，一直到求出最后结果）:1xdX_1 -x(2-x)(5-x)Ax；dXE 亡一亡 dX Jdx =I .dx2_3x2-x21 26 .2 3x2d2"X =2 dx3 4x2d(2x)二2 dx3 -4x22.3-(2x)-d(2x)二2冷 d(3±4x2) =_8 3_4x2x2 2x 3dx =(x 1)2 仁2)2呛 1) 2 _x2 2x 3dx22
11、 dxJ d(x 2x 3)2 x2 2x 31 (2x 2)-2x2 2x 32dx =x 2x 3分子上的（2x 2）是分母的导数(11)(2 - 2x) -2 ,1dx =-2d(3 2x x2)-23 2x - x23 2x-x23 2x x(12)分子上的（2 -2x）是分母的导数.3 2x x2dxd(x-1) =L J22 -(x-1)2(13)_dx3 2x - x2(2 -2x) -23 2x x2dx 二/、15 xx 2ln1 X；2) in32 x、3 2x:答案：-1:arcs in.3: _ 12 _ 3x2 ；3 arctan ；6)n 2、3.34,33-2x&
12、#177;11n 3±4x8；(8) 1 arcta nx 1 ；、2 22 +(x1).;亠42_(x_1)1 1X +1 In (x2 2x 3)arcta n 2 2 22 (x -1)VS(x1)x _ 13 - 3 2x -x2 arcsin.24.求下面的原函数（请你根据提示做下去，一直到求出最后结果）:Udxxx(1 e)-edx.1exx e_xxe e_x_xe-e 一dx汀dx =dx*x edx 二-1sec xdx 二 sec xd(tan x)=2212 nsin xcos xdx 1 -cos (2x)dx =sin2 xcos3 xdx = sin2 x
13、(1 -sin2 x)d(sin x)=3525sin xcos xdx = - (1 - cos x)cos xd(cosx)=（请你总结一下以上三个题的积分方法）1cos3xsin5xdx(sin8x sin2x)dx 二1cos3xcos5xdx (cos8x cos2x)dx =1sin3xsin5xdx(cos8x -cos2x)dx =【点评】求?inmxcosnx、sinmxsinnx dx(m Hn)时，第一步用"积化和差”公式cosmxcosnx 丿sin x2 cos2 x 1dx 二- 2d(cosx)、.2cos2 x21dx -cos x(1 tanx) 1
14、 tanxd(ta nx 1)1一 dx 二 sin xcosx1d(2x)二sin 2x| sin2 x cos2 x .dx = L sin xcosx(11)1 COSXdx =d2 XCOS 一2(12)1sin xdx =dx = 2xx1 2sin cos-221 tan2 - 2tan -2 2答案：1In x xIn(1 ex)； arctanex/LI 3;(5) tanx tan x ;3(4x -sin 4x);321. 31 . 5sin x sin x ;3 516 18 cos x cos x ;6 811 cos8x cos2x ； 16411sin 8x -sin 2x ;16411-sin 2xsin8x ;416arcta ncosx2 ;2. x1 tan 2 In 1 +tanx ；(io) ln csc2x -cot2x 或 ln tanx ; 1 tan? ; 25. 设 f (In x) = 1 x，求函数 f (x).提示：令 u = In x 答案：f (x x ex c.6. 设一质点沿Ox轴做直线运动.已知起点x(0) =2，初速度v(0)=0，加速度a(t)=5，求它的运动规律 x = x(t).提示：x(t) =5.答案：-t22.21例 12 secxdxdx =' cosx11 In 3 +2x -2