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1、抛肠线期耒复习草无测试题一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共6 0分在每小题给岀的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的）h 抛物线y2 = 10x的焦点到准线的距离是（ ）A, 1B. 5C,孕D 102 以抛物线y2 = 2px（p 0）的焦半径I PF I为直径的圆与y轴位置关系是（）4 相交oB 相切C.相离oD以上三种均有可能3 0）的焦点的弦，则|A勻的最小值为（）A 匕B pC 2pD 无法确定24 若抛物线）2 =兀上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为右呼C,辟O諾5. 若双曲线匚竺1 = 1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则的值为（）3 1 广
2、A .2B 3qC.4C. 2|锢=|码田砒卜D.|锢*|码|锢9. 过点M（2,4）作与抛物线y4A.2teB.C. 4aD 2aa二. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13. 若直线心y +1 = 0经过抛物线尸=4x的焦点，则实数a =.14 .过抛物线x2 = 2py（p0）的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线分別交于A、两 点（A在y轴左侧），则屠=1 5 .已知抛物线y = 6/x2 -1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点 的三角形而积为.16. 对于抛物线v2=4j任意一点0,点P（a,0）都满足PQa则的取值范用是-三、
3、解答题（本大题共6小题，共7 4分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3,加） 到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值。 = 8x只有一个公共点的直线/有（）A. 0条B. 1条。C. 2条小3条1 0.已知抛物线C:/=8.r的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且AK = 41AF,则 44FK 的面积为（）A.4- B. 8oC. 1 60D.3 211. 抛物线y = 2x2 两点人口）、B（x2o2）关于直线y = X + m对称，且x,-x2=-,则加等于（）23 5A, B 2C
4、一D 32212. 过抛物线y =（/（“ 0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是P、q,则丄+丄等于（）p q18. (本小题满分12分)已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y = 2x + 截得的弦 长为皿，(1)求抛物线的方程；(2)若抛物线与直线y = 2x-5无公共点，试在抛物线上求 一点,使这点到直线y = 2x-5的距离最短。1 9 .(本小题满分12分)如图,已知点F(1,O)，直线l:x = -9P为平面上的动点,过P作直线/的垂线，垂足为点Q.RQPQF =祁也.(I )求动点P的轨迹C的方程：(II)过点F的直线交轨迹C于4 3两点,交
5、直线/于点M,已知MA = AiAF.MB = A1BF,求人+人的值.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:y = 2x直线y =尬+ 2交C于A, 3两点，M是线 段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N .(1)证明:抛物线C在点W处的切线与AB平行；(II)是否存在实数k使丽丽=0,若存在,求的值;若不存在，说明理由.2 2.（本题满分14分）如图，在平而直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0, c）任作21.（本小题满分12分）如图倾斜角为&的直线经过抛物线y2 = 8x的焦点F,且与抛物线交于A3两点（【）求抛物线的焦点F的坐标及准线/的方程； （1【）若a为锐角，作线段4
6、3的垂直平分线加交x轴于点P,证明|尸日一|FP|cos2a为左值,并求此立值.解:双曲线的左焦点坐标为：（-,0)抛物线y2 = 2px的准线方程为47. A解：本小题主要考查抛物线的左义解题。依题设P在抛物线准线的投影为抛物参考篆余一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1B 2p = 10, “ = 5，而焦点到准线的距离是p2. B设Q为PF中点扮别过P、Q作准线/的垂线,贝 iJIQM = -(p+PM) = (p+PF) = - + -IPFI,2 2 2 2点Q到y轴的距离d = IQNI - =丄PF，故选B 2
7、23I AF 1= J(丄尸 + 22故选 A.V 228. C 解:x2, X3成等差数列得2兀2=齐+兀3,从而有2（/2+彳）=（召+彳）+ （兀3+上），2 2 2根据抛物线定义即得:2|Fg| =|码|+|比| 故选Co9. C解：.点M（2,4）在抛物线尸=张上，.过点M（2,4）作与抛物线y2 = 8x只有一个公共点的直线/只有2条，故选C。10. B解：抛物线C:/=8x的焦点为F（2,0）,准线为x = -2二K（-2,0）设A（x0,儿），过A点向准线作垂线AB.则3（-2,，o）V AK = 42AFAF = AB = x-（-2） = x + 2.由 BK2 = AK2
8、- AB2 得儿$ =（兀 + 2）2,即 8 =（如+2）1 解得 A（2,4）:、盘K的而积为丄鬥|儿|=丄x4x4 = 8故选B.2 211 .a 5=7而”一牙=2（禺2召2）,得禺+召=一;，且，y）x2 - %,222在直线y = x+m上，即毛上=空严+阻儿+才= +召+ 2加32（x2 + X）=吃 + 西 + 2?, 2（x2 4-xJ- - 2x2x = x2 + xx + 2m, 2m = 3jn =12. C（特例法）过抛物线），=局（a 0）的焦点F作与y轴垂直的直线，则p = q = . la/1= 4。9 故选 C op q二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，
9、共16分把答案填在题中的横线上）13. 解：直线心一y + l = 0经过抛物线于=4兀的焦点F（l,0）,则g + 1=0g = 1.14. 解:如图，分别过点人3向抛物线准线作垂线，垂足为C,D：过 A 点作丄3于则 AF = AC.BF = BD,AB = AF + BF,BE = BD AC = BF AF,又ZBAE = 30所以竺=丄=竺二 =丄=AB 2 BF + AF 2 5 解：抛物线 y = ax2 -1 = x2 = 1 （y +1）,顶点(0.-1)焦点是坐标原点，所以=1= =-4a4抛物线=丄疋一1与两坐标轴的三个交点为(2,0),(0,-1),所以三角形而积 4S
10、= x4xl = 22尸t216. (y),2设 0(-,/),由 | PQ | W (- - a)2 +t2at2(t2 + 6 一& /) 0,尸 + 16 8。02&/_16 恒成立,则&*一1650山52三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤)1 7 .解法一、设抛物线方程为r=-2/?x(p0),则焦点F(彳,0),由题意可得m2 =6p严得Im - 2y/6= -2yj6p=4 如准线X = !L故所求的抛物线方程为=一张,加的值为土 26 .解法二、设抛物线方程为y2 = 2px p 0)，则焦点F(-上,0),2则由抛物线泄义知:IMFI
11、= IMM = 3 + Z = 5,.p = 42故所求的抛物线方程为y2 = -张，加的值为土 26 o1 8解：(1)设抛物线的方程为y2=2px.贝ijJ + k2 |召 _| = /5丁（召 + 吃）一力內=二）2 _4x = /5J牛-p- a/J,#2 一4卩一 12 = 0,p = -2,或6. y2 = -4x,或y2 = 12x(2)解法一、显然抛物线y2 = -4x与直线y = 2x-5无公共点，设点卩(一为抛物线),2=_4尤上的任意一点，点P到直线y = 2x-5的距离为，则2x(-?) /-5r + 2t + 0当f = -1时，取得最小值，此时P（-丄,-1）为所求
12、的点4解法二.显然抛物线y 入 + Ay = 2 = Mx与直线y = 2x 5无公共点，设与直线y = 2x 5平行且与抛物线2 = _4 V相切的直线方程为y = 2x + b沏点为P,则点P即为所求点。 由F： X+ 消去y 并化简得：4/+4（b + l）x +，=o,y=-4x直线与抛物线相切, A = 16（/? +1）2 -16/r = 0,解得：b = -L2把5 = 一丄代入方程4F+4（b + l）x + b2=0并解得：x = -l,=-12故所求点为PC-.-1）.419解法一:（1 ）设点P（匕y）,则0（1，y）,由丙遊=帀耳得：(x+l,0)(2,-y) = (x
13、-l, y) 0 ,故Ji + y2 =4m2=-in-皿二久/广加二丽得：22 2 2+ =人”，”=入”，整理得:入=_1, 入=_2 4m in -4 mm-mymy2解法二：(I )由0?0?=丽施得：FQPQ + PF) = O:.（西一丽）（西+丽）= 0,:.PQ2-PF1 =0,所以点P的轨迹C是抛物线，由题意如，迹C的丿门丄为？2 =4x （II）由l2知加=&乔屈=人8尸得人几2 + k(X + x,) -4十Fx亍応3x(-1)+亍才(亠自(亠糾=。,3v-l-0. .,-3 + _P=0,解得2.即存在 = 2,使丽丽=0 21. (I)解:设抛物线的标准方程为才=2/
14、zv ,则2p = 8 从而p = 4因此焦点F上,0的坐标为(2,0),题(21)图12丿又准线方程的一般式为% = -2从而所求准线的方程为x = -2.(II)解法一:如答21图作AC丄/, BDAJ, 垂足分别为C, D,则由抛物线的泄义知 FA = AC, FB = BD.记人3的横坐标分别为心，心， 则 = AC = xA + = |M|cos a + + 2 2 2=| 阳 |cosa + 4,解得 |心|=.类似地有FB = 4-FB4COSG,解得|FB| =1 + cosa记直线m 与43 的交点为EJPJ|FE| = FA-AE = |斤4|也学创=|(|FA|-|F5|
15、)144 4cosa 211 - cos a 1+cosa 丿 sin2 a所以冲=卫旦=t- cos a siir a 42 & n a故 |FP|-|FP| cos 2a = 一 (1-cos 2a)=丄二一 =8.siir asiir a解法二：设A(x”儿)，九)，直线AB的斜率为 = tana,则直线方程为y = (兀一2)将此式代入y2 =张得一4伙2 + 2* + 4/ = o,故小+七=“伙严. k记直线加与 43 的交点为 Eg 儿)，则 x. - k = 2(r2),yE=k(xE-2) = ,2!ck4 i (”24 故直线加的方程为y- = 一丄x亠二,-k k k24
16、伙，+ l)_4k2 sin2 a2 +4令y = 0，得点P的横坐标xp =；+ 4,故FP = xp 一 xE k从而 |FP|-|FP|cos2=X2 x2-k.x-c = 0.令A(a, /), B(b, b2),则血=y.因为OA.OB = ab + a2b2 =-c + c2 =2,解得c = 2,或c = -l (舍去).故c = 2(2)由题意知直线A0的斜率为忍。=上二-=匕二g = 2aI 2v a+b u_ba-2 2直线A0的方程为：y-a2=2a(x-a)9即y = 2俶一/由-, 得F _2or + /=0.A = (-2a)2 _4/=0 1=厂因此.40为该抛物
17、线的切线.(3)(2)的逆命题成立，证明如下：设直线40的方程为：y-a2=k(x-a), 由卜宀T)得:+j=o 若AQ为该抛物线的切线，则,=疋一気肋一/)= 0 n k = 2a又设Qg,c），则直线AQ的斜率为比=匕二=伫二砂，所以匚也 =2d. a_x（） 么_儿口_兀得 2（% = a + ab，因 a 工 0,有列=.故点P的横坐标为出，即P点是线段43的中点.26.已知点P在抛物线b=4x上，那么点P到点（2（2,-1）的距禽与点P到抛物线焦点距离 之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）A.（丄,一 1） （丄，1） C （ 1 , 2） D. （ 1 , -2）4 47.已知点P是抛物线y2 = 2x上的一个动点，则点P到点（0 , 2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A. dB3。 C. y/5 “D2 2&已知抛物线y2 =2px（p0）的焦点为F,点R（引y） P2（x29 y2）,出（与 比）在抛 物线上，且心 勺成等差数列，则有（）