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1、指导高中数学必修5,必修2公式大全71.常用不等式:22(1)(当且仅当a,b时取“=”号)( abab，,2abR,ab，(2)(当且仅当a,b时取“=”号)( ,ababR,2333(3) abcabcabc，,3(0,0,0).(4)柯西不等式 22222 ()()(),.abcdacbdabcdR，,，,(5). a,b,a，b,a，b72.极值定理 已知都是正数，则有 x,y(1)若积是定值，则当时和有最小值; x，yxypx,y2p12s(2)若和x，y是定值，则当时积有最大值. x,yxys422推广 已知，则有 x,y,R(x，y),(x,y)，2xy(1)若积是定值,则当最大
2、时,最大; xy|x,y|x，y|当最小时,最小. |x,y|x，y|(2)若和是定值,则当最大时, 最小; |x，y|x,y|xy|当最小时, 最大. |x,y|xy|2273.一元二次不等式，如果与aaxbxc，,0(0)或(0,40)abac,22axbxc，axbxc，同号，则其解集在两根之外;如果与异号，则其解集在两根之a间.简言之:同号两根之外，异号两根之间. ; xxxxxxxxx,()()0()121212. xxxxxxxxxx,()()0()或12121274.含有绝对值的不等式 当a 0时，有 22xaxaaxa,. 22xaxaxa,或. xa,75.无理不等式 fx(
3、)0,(1) . fxgx()(),gx()0,fxgx()(),fx()0,fx()0,(2). fxgx()(),或gx()0,gx()0,2,fxgx()(),fx()0,(3). fxgx()(),gx()0,2,fxgx()(),76.指数不等式与对数不等式 a,1(1)当时, fxgx()(); aafxgx,()()fx()0,log()log()()0fxgxgx,. ,aa,fxgx()(),01,a(2)当时, fxgx()(); aafxgx,()()fx()0,log()log()()0fxgxgx, ,aa,fxgx()(),77.斜率公式 yy,21(、). Pxy
4、(,)Pxy(,)k,111222xx,2178.直线的五种方程 lk(1)点斜式 (直线过点，且斜率为)(yykxx,()Pxy(,)11111 l(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距). ykxb,，yyxx,11(3)两点式 ()(、 ().yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,1211122212yyxx,2121 xyab、ab、,0，,1(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)ab 5)一般式 (其中A、B不同时为0). (AxByC，,079.两条直线的平行和垂直 (1)若， lykxb:,，lykxb:,，111222?; llkkbb|,121212?. llkk,1121
5、2(2)若,且A、A、B、B都不为零,lAxByC:0，,lAxByC:0，,121211112222 ABC111?; ll|,12ABC222?; llAABB,，,012121280.夹角公式 kk,21(1)tan|,. ,1kk，21lykxb:,，lykxb:,，(，,) kk,111122212ABAB,1221(2)tan|,. ,AABB，1212lAxByC:0，,lAxByC:0，,(,).AABB，,0111122221212 ,ll,直线时，直线l与l的夹角是. 12122ll81. 到的角公式 12kk,21tan,(1),. 1kk，21lykxb:,，lykxb
6、:,，(，,) kk,111122212ABAB,1221(2). tan,AABB，1212(,).lAxByC:0，,lAxByC:0，,AABB，,0111122221212 ,直线时，直线l到l的角是. ll,1212282(四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线Pxy(,)yykxx,()00000k),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为xx,Pxy(,)0000,其中是待定的系数( AxxByy()()0,，,AB,00(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点lAxByC:0，,lAxByC:0，,11112222的直线系方程为(除)，其中
7、是待定的系数()()0AxByCAxByC，,l1112222 (3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线ykxb,，,0系方程(与直线平行的直线系方程是()，是AxByC，,0AxBy，,0参变量( (4)垂直直线系方程:与直线 (A?0，B?0)垂直的直线系方程是AxByC，,0,是参变量( BxAy,，,083.点到直线的距离 |AxByC，00l(点,直线:). Pxy(,)AxByC，,0d,0022AB，,084. 或所表示的平面区域 AxByC，,0,0设直线，则或所表示的平面区域是:lAxByC:0，,AxByC，,0 B,0lBB若，当与同号时，表示直线
8、的上方的区域;当与AxByC，AxByC，l异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. B,0lAA若，当与同号时，表示直线的右方的区域;当与AxByC，AxByC，l异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. ,085. 或所表示的平面区域()()0AxByCAxByC，,111222 设曲线CAxByCAxByC:()()0，,(AABB,0)，则1112221212 ,0()()0AxByCAxByC，,或所表示的平面区域是:111222 ()()0AxByCAxByC，,所表示的平面区域上下两部分;111222 ()()0AxByCAxByC，,所表示
9、的平面区域上下两部分.111222 86. 圆的四种方程 222(1)圆的标准方程 . ()()xaybr,，,2222DEF，,4(2)圆的一般方程 (,0).xyDxEyF，,0 xar,，cos,(3)圆的参数方程 . ,ybr,，sin,()()()()0xxxxyyyy,，,(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是1212Axy(,)Bxy(,)、). 112287. 圆系方程 Axy(,)Bxy(,)(1)过点,的圆系方程是 1122()()()()()()()()0xxxxyyyyxxyyyyxx,，,，, 1212112112,，,，,()()()()()0xxxxyyyyax
10、byc,axbyc，,0,其中是直线1212的方程,是待定的系数( AB22lC(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程AxByC，,0xyDxEyF，,022是,是待定的系数( xyDxEyFAxByC，,()02222(3) 过圆:与圆:的交CCxyDxEyF，,0xyDxEyF，,0212221112222点的圆系方程是,是待定的xyDxEyFxyDxEyF，,()0111222系数( 88.点与圆的位置关系 222点与圆的位置关系有三种 Pxy(,)(x,a)，(y,b),r0022daxby,，,()()若，则 00dr,dr,dr,点在圆外;点在圆上;点在圆内.PPP 89.直线与圆的
11、位置关系 222直线与圆的位置关系有三种:Ax，By，C,0(x,a)，(y,b),r ; d,r,相离,0; d,r,相切,0. d,r,相交,0Aa，Bb，C其中. d,22A，B90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，OO,d 121212; d,r，r,外离,4条公切线12; d,r，r,外切,3条公切线12r,r,d,r，r,相交,2条公切线; 1212d,r,r,内切,1条公切线; 120,d,r,r,内含,无公切线. 1291.圆的切线方程 22(1)已知圆( xyDxEyF，,0?若已知切点(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 00DxxE
12、yy()()，00 xxyyF，,0. 0022DxxEyy()()，00(,)xyxxyyF，,0当圆外时, 表示过两个切点000022的切点弦方程( yykxx,()?过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必00有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线( ?斜率为k的切线方程可设为ykxb,，再利用相切条件求b，必有两条切线( 222(2)已知圆( xyr，,2Pxy(,)?过圆上的点的切线方程为xxyyr，,; 000002k?斜率为的圆的切线方程为. ykxrk,，1109(证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直
13、线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110(证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111(证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112(证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113(证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直
14、线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114(证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a，b=b，a( (2)加法结合律:(a，b)，c=a，(b，c)( (3)数乘分配律:(a，b)=a，b( 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理
15、 对空间任意两个向量a、b(b?0 )，a?b存在实数使a=b(, ,PAB、APtAB,三点共线.APAB|,OPtOAtOB,，(1) ,ABCD、ABCD、CDABtCD,AB、共线且不共线且不共线.ABCD|, 118.共面向量定理 xy,向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使(paxby,，, ,xy,推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，,MPxMAyMB,， ,xy,或对空间任一定点O，有序实数对，使.OPOMxMAyMB,， ,O119.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC,，k,1Ok,1(xyzk，,)，则当时，对于空
16、间任一点，总有P、A、B、C四点共面;当O,O,时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面;若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面( ,AB、 C DACABAD四点共面与、共面,ADxAByAC,， ,O,(平面ABC). ODxyOAxOByOC,，(1)120.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p,xa，yb，zc( 推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实,数x，y，z，使. OPxOAyOBzOC,，121.射影公式 ,llll已知向量=和轴，e是上与同方向的单位向量.作
17、A点在上的射影，作BaAABl点在上的射影，则 B,a，e=a?e ABAB,|cos122.向量的直角坐标运算 设a,，b,则 (,)aaa(,)bbb123123(1)a，b,; (,)ababab，112233(2)a,b,; (,)ababab,112233(3)a, (?R); (,),aaa123(4)a?b,; ababab，112233123.设A，B，则 (,)xyz(,)xyz111222,= . ABOBOA,(,)xxyyzz,212121124(空间的线线平行或垂直 rr设，则 axyz,(,)bxyz,(,)111222xx,12rrrrrr,yy,; ,abPab
18、b,(0),12,zz,12,rrrr. ab,ab,0xxyyzz，,0,121212125.夹角公式 设a,，b,，则 (,)aaa(,)bbb123123ababab，112233cosa，b=. 222222aaabbb，1231232222222推论 ，此即三维柯西不等式.()()()abababaaabbb，,，112233123123 126. 四面体的对棱所成的角 ABCDAC,BD四面体中, 与所成的角为,则 2222|()()|ABCDBCDA，,，,cos,. 2ACBD,127(异面直线所成角 rrcos|cos,|,ab rr|ab,|xxyyzz，121212rr,
19、= 222222|ab,xyzxyz，,，111222rrooab,ab,090,(其中()为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量)ab, AB128.直线与平面所成角 ,ABm,m,(为平面的法向量). ,arcsin,|ABm,ABC,ACBC129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面AB,AB、,ABC成的角分别是、,为的两个内角，则 ,1222222. sinsin(sinsin)sin,，,，AB12,特别地,当时,有 ，,ACB90222. sinsinsin,，,12,ABC,ACBC130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面AB,ABO成的角分别是
20、、,为的两个内角，则 AB、,1222222. tantan(sinsin)tan,，,，AB12,特别地,当时,有 ，,AOB90222. sinsinsin,，,12131.二面角的平面角 ,l,mnmn,或(，为平面，的法向量).mn,arccos,arccos,|mn|mn 132.三余弦定理 设AC是内的任一条直线，且BC?AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与,1,AC所成的角为，AO与AC所成的角为(则. ,coscoscos,122133. 三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,与二面,122222 ;角的棱所成的角是，则有sins
21、insinsin2sinsincos,，,1212 ,90(当且仅当时等号成立). |180(),，1212134.空间两点间的距离公式 若A，B，则 (,)xyz(,)xyz111222,222,，,，,()()()xxyyzz|ABABAB,d =. 212121AB,l135.点到直线距离 Q,122llP(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).PAhabab,(|)()PQ|a 136.异面直线间的距离 ,|CDn,CD、d,nll,ll,(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为d,1212|nll,间的距离). 12B137.点,到平面的距离 ,|ABn,A,AB,n,
22、(为平面的法向量，是经过面的一条斜线，).d,|n 138.异面直线上两点距离公式 222dhmnmn,，,2cos,. ,222dhmnmnEAAF,，,2cos,. 222dhmnmn,，,2cos,(). ,EAAFAA (两条异面直线a、b所成的角为，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两AFn,EFd,AEm,点E、F，,). 139.三个向量和的平方公式 ,2222 ()222abcabcabbcca，,，,，,，,222 ,，,，,，,abcababbcbccaca2|cos,2|cos,2|cos,l140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分l
23、ll、123别为,则有 ,、1232222222222.llll,，,，,coscoscos1,，,sinsinsin2,123123123 (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理 S. S,cos,S,(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).S 142. 斜棱柱的直截面 l已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和SV斜棱柱侧斜棱柱面积分别是和,则 cS11?. Scl,1斜棱柱侧?. VSl,1斜棱柱143(作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144(棱锥的平行截面的性质
24、 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比( 156.46.10总复习4 P84-90145.欧拉定理(欧拉公式) VFE，,2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F). 84.164.22有趣的图形1 整理复习2E(1)=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数Fn2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，
25、认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。1EnF,与棱数E的关系:; 21EmV,(2)若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系:.m2 （1）一般式：146.球的半径是R，则 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角43,VR其体积, 343.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-232SR,4,其表面积( 147.球的组合体 |a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或
26、下降）速度越快；(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 七、学困生辅导和转化措施66aaa棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.124 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。148(柱体、锥体的体积 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。1Sh(是柱体的底面积、是柱体的高). VSh,柱体31Sh(是锥体的底面积、是锥体的高). VSh,锥体3