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1、第二十章“数据的分析”简介课程教材研究所左怀玲从标准看，本章属于“统计与概率”领域。对于“统计与概率”领域的内容，本套教科书独立于“数与代数”和 “空间与图形”领域编写，共有四章。这四章内容采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率。统计部分的三章内容按照数据处理的基本过程来安排。我们在7 年级上册和8 年级上册分别学习了“第 4 章 数据的收集与整理”“ 第 12章 数据的描述”， 本章是统计部分的最后一章，主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法。在前两章中，我们学习了收集、整理和描述数据的常用方法，将收集到的数据进行分组、列表、 绘图等处理工作后，数据分布的一些面貌
2、和特征可以通过统计图表等反映出来。为了进一步了解数据分布的特征和规律，还需要计算出一些代表数据一般水平（典型水平）或分布状况的特征量。对于统计数据的分布的特征，可以从三个方面来分析：一是分析数据分布的集中趋势，反映数据向其中心值（平均数）靠拢或聚集的程度；二是分析数据分布的离散程度，反映数据远离其中心值（平均数）的趋势，三是分析数据分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面。根据标准的要求，本章从就前两个方面研究数据的分布特征。全章教学约需15 课时（不包括选学内容的课时数），具体内容和课时分配如下：201数据的代表约6 课时20 2数据的波动约5 课时2
3、0 3 课题学习约 2 课时数学活动小结约 2 课时一、教科书内容与课程学习目标本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。下面是本章知识展开的结构框图。本章知识的展开顺序如下图：对于一组数据利用统计图表整理和描述以后，数据分布的一些面貌和特征就可以通过这些图表反映出来。为了进一步了解数据分布的特征和规律，还需要计算出一些特征量来表示这组数据的集中趋势或典型水平。这些特征量代表这组数据频数分布中大量数据向一点集中
4、的情况， 从而反映出数据资料的典型水平。例如， 要想比较某校同年级两个班某学科的测验分数，不能将两个班每个学生的测验成绩一一列举出来进行比较。因为每个学生的分数由于多种因素的影响，大多是不相同的，用个别学生的成绩进行比较是得不出什么结果的。如果能够对每个班的学生成绩进行整理、加工之后，计算出一个或几个统计量来代表全班的测验水平，再比较就非常简单明了了。很显然， 这个能够代表全班成绩水平的统计量应该具有以下特点之一：1能够表明全班测验成绩中心点的统计量；2能够表明全班测验成绩排序最中间的统计量；3能够表明全班测验成绩出现最多的统计量；4能够表明全班测验成绩分布范围的统计量。这些统计量之所以能够代
5、表全班成绩去进行比较，是因为它们从不同的角度度量了全班测验成绩集中于哪一点或哪一个范围，因此把它们统称为集中趋势的度量，常用度量集中趋势的特征量有平均数、中位数、众数和分位数等，本章研究前三个统计量。统计中常用的平均数有算数平均数（简单算数平均数和加权算数平均数）、 调和平均数、几何平均数等。根据标准的要求，本章着重研究了加权平均数。本章第20.1 节开始，首先给出一个农业方面的实际问题，要求根据问题中提供的数据计算人均耕地面积，这是一个计算加权平均数的问题。教科书没有直接给出利用加权平均数解决问题的做法，而是设置一个讨论栏目，给出一种学生中常见的一种错误解法（即直接求平均数的平均数），让学生
6、讨论这种解法，通过讨论发现错误，找到产生错误的原因，借此给出正确的解法，引进加权平均数的概念。通过比较解决这个实际问题的正确与错误的解法，也使学生对“权 ”的意义和作用有所体会。“权 ”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”， 为了更好地说明这一点，教科书安排了2 个例题，从不同方面体现“权 ”的作用，使学生更好地理解加权平均数。在求 n 个数的算数平均数时，有时会遇到重复数据较多的情况，这时可以将求算数平均数的公式进行简化，比如可以写成，如果将分别看成是的权，则算数平均数和加权平均数就统一起来，只是这里“权 ”的意义并不是很突出。教科书在这里将两者统一起来，为的是使学生对加权平均数有一
7、个较全面的认识。接下去，教科书又通过一个探究栏目，研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题，这类问题是统计中常见的。利用计算器的统计功能可以方便地求出一组数据的平均数，但由于不同品牌的计算器的操作步骤不同，因此教科书没有针对某一款计算器介绍统计功能的使用，而是概要地介绍了一下过程。到此为止，教科书中涉及到的问题都是针对全体数据，不涉及样本数据的问题。 本节最后，教科书结合一个例题，介绍了如何利用样本平均数估计总体平均数的问题，使学生对抽样的必要性、样本的代表性和用样本估计总体的思想有了更深的体会。本章在第20.1.2 小节， 通过几个具体实例，研究了中位数和众数。中位数是一个反映数据集中
8、趋势的位置代表值，能够表明一组数据排序最中间的统计量，可以提供这组数据中，约有一半的数据大于（或小于）中位数。对于中位数的这个作用，教科书通过一个比较典型的考察体育比赛成绩的例子来体现。另外， 在这个例子中，也体现了用样本估计总体的思想。众数是表明一组数据出现次数最多的统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个统计量，它提供了哪个（些） 数据出现的次数最多。对于众数的这个作用，教科书也是通过一个典型的销售量问题来研究，在这个例子中，同样也体现了用样本估计总体的思想。在本节最后，教科书结合一个具体问题，编写了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，在这个例子中，涉及到根
9、据具体问题的的需要选择适当的统计量来刻画数据的集中趋势的问题，在解决问题的过程中，也样学生经历了一个对数据适当分组、用表格整理数据、用统计图描述数据，分析统计图表和计算平均数、中位数、众数来分析数据的一个数据处理的基本过程。在这个过程中也体现了用样本估计总体的思想。在本节最后，教科书利用一个归纳的栏目，对平均数、中位数和众数这三种刻画数据集中趋势的统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征。本章第 20.2 节研究了刻画数据波动情况的统计量。统计中刻画数据离散程度的统计量常有极差、方差、标准差、平均差、四分位差等，根据标准的要求，本章只研究极差和方差。 极差是一组数据中最大值与
10、最小值的差，它反映了一组数据的波动范围，是刻画数据离散程度的最简单的统计量。教科书利用温差的例子来研究极差，温差是人们日常生活中熟悉的概念，是一个典型的极差的例子，利用温差介绍极差，有助于学生认识极差的统计意义。方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进行了比较详细的研究。 首先在一个讨论栏目设计了一个实际问题背景，根据背景提出两个具体问题，从统计上看， 这两个问题中是要计算两组数据的平均数和比较它们的波动情况。通过计算可知两组数据的平均数是相同的，这一点有利于学生理解数据的波动情况。为了直观第看出数据的波动情况， 教科书画出了两个散点图，通过观察散点图，可以比较两组数据的
11、波动情况。这两个散点图的使学生对数据偏离平均数的情况有一个直观的认识。在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的，即方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小。将利用方差刻画数据的波动和利用散点图显示数据的波动结合起来，更有利于学生理解方差的意义， 因此， 教科书对本小节开始提出的实际问题用两种方法进行了比较，然后又设计一个例子， 来利用方差反映数据的波动。利用计算器的统计功能也可以求方差，由于不同品牌计算器在计算方差时操作的步骤不同，教科书对使用计算器求方差，只做了简单的介绍。在本节最后， 教科书回到
12、本章前言中提出的问题。因为这个实际问题涉及到用样本方差估计总体方差的问题，这样，教科书就结合这个例子介绍了如何利用样本方差估计总体方差的问题。教材在最后一节安排了一个具有一定综合性和活动性的“课题学习”。这个 “课题学习”选用了与学生生活联系密切的体质健康问题。由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前面两章统计中的课题学习更强。为了便于教学操作，教科书根据中学生体质健康登记表提供了一个样例，样例中涉及到选择样本收集数据、用统计表图整理和描述数据，通过计算平均数、中位数、众数、极差和方差等分析数据得出结论的统计过程。完成这个课题学习，要求学生综合运用本章以及以前所学有关数据处理
13、的知识和方法，通过小组合作活动的方式，经历数据处理得出结论以及对所得结论进行解释和反驳的统计过程。在这个过程中，让学生进一步感受用样本估计总体的统计思想，进一步体验统计是进行决策的有利手段。对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义；2会计算加权平均数，理解“权 ”的意义，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势；3会计算极差和方差，理解它们的统计意义，会用它们表示数据的波动情况；4能用计算器的统计功能进行统计计算，进一步体会计算器的优越性；5会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想；6从事收集、
14、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。二、本章编写特点1注意突出统计思想统计中常常采用从总体中抽出样本，通过分析样本数据来估计和推测总体的情况，用样本估计总体是统计的基本思想。本套教科书对于统计的这一基本思想给予充分重视。本章在第 4 章的抽样调查收集数据的基础上，研究了如何用样本的集中趋势和波情况估计总体相应情况的问题。例如在20.1 节通过实例学习了如何用样本的平均数、中位数和众数估计总体的相应情况，在20.2 节通过实例研究了如何用样本的方差估计总体的方差的问题，在20
15、.3节的课题学习中也要让学生通过抽样进行统计调查活动，通过对样本数据的分析得出对总体的估计等等。因此，本章编写时，在每一节都注意体现了用样本估计总体的思想，使学生有更多的机会接触这一思想，使得他们对抽样的必要性、样本的代表性、用样本估计总体的可行性，以及不同的抽样可能得到不同的结果（即结论的“不确定性”等有更多体会。2强调在活动中建立统计观念，突出统计活动的基本过程统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题等，是在亲身经历统计活动的过程中培养出来的一种感觉。培养统计观念的一种最有效的方法是让学生从事统计活动，经历统计活动的基本过程，在收集、整理
16、、描述和分析数据的统计活动中，逐步学会用数据说话。本套教科书特别注意让学生经历统计活动的基本过程，在活动中学习有关统计的知识和方法，建立统计观念。例如，对于“统计与概率 ”领域中统计的内容，全套教科书以数据处理的基本过程为线索，按照数据的收集与整理、数据的描述、数据的分析来安排统计内容。在每一章的中，对于统计的知识和方法又都是放在数据处理的基本过程中来学习的，本章也是如此。例如， 本章在研究选择适当的统计量刻画数据的集中趋势的问题时（例6） ，教科书从一个实际问题出发，要求学生通过活动，经历数据处理的基本过程，在这个过程中，学习根据实际问题的需要，依照各统计量的特征来选择它们描述数据的集中趋势
17、。再如，本章第20.3 节的课题学习，强调让学生综合利用所学的统计知识和方法，通过调查活动获得一些信息。动手处理数据并展示自己的成果是一个活动性很强，并且充满乐趣的过程，在这个活动中，学生将经历收集、整理、描述和分析数据得出结论，并对结论进行解释或反驳的过程。这样的一种处理方式，将统计的概念、方法与原理统一到数据处理的活动过程中，使学生更好地体会统计的思想，帮助学生建立统计观念。3素材丰富，体现统计与生活的密切联系统计与现实生活的联系是非常紧密的，这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的，本套教科书编写时特别注意将统计的学习与实际问题紧密结合，选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的
18、现实问题作为例子，在解决这些实际问题的过程中，学习数据处理的方法，理解统计的概念和原理，本章亦是如此。例如， 在第 20.1 节中， 教科书利用“求人均耕地面积”“ 公司招聘职员”“ 演讲比赛成绩”“ 公共汽车载客量”“ 灯泡的使用寿命”等实际问题来学习加权平均数，利用 “体育比赛成绩”“ 鞋店销售量”等学习中位数和众数，在解决实际问题的过程中体现加权平均数、中位数和众数的统计意义；又如， 在 20.2 节中， 借助于 “”温差 “年龄 ”“ 身高 ”“ 选择甜玉米种子”等实际问题，研究极差和方差，结合这些实际问题情景，使学生更好地理解极差与方差的统计意义；再如，在第20.3 节中，教科书选择
19、了一个与学生生活密切联系的“体质健康测试中的数据分析”作为 “课题学习”， 使学生综合运用本章知识和方法进行统计活动。这样的一种与实际问题紧密结合编写方式，可以使学生在解决实际问题的过程中，学习有关的统计知识和方法，体会统计的思想，同时也使学生感受到统计与实际生活的密切联系，以及统计在解决现实问题中的作用。三、几个值得关注的问题1注意与前两个学段相关内容的衔接本章是第三学段“统计与概率”的最后一章，主要学习分析数据集中趋势和离散程度的知识与方法，这也是数据处理的最后一个环节。对于数据的分析，标准在第2 学段和本学段都有要求，第2 学段要求“理解、会求平均数、众数、中位数，选择适当的统计量表示数
20、据的不同特征”，这样看来，对于分析数据集中趋势的三种统计量，学生在第2 学段已经有所接触，已经会求平均数、众数、中位数，对它们可以表示数据的不同特征有所体会；标准在本学段要求“会计算加权平均数，能选择适当的统计量表示数据的集中程度；会计算极差方差，会表示数据的离散程度”，这样看来，本学段在第2 学段的基础上，需要学习利用加权平均数刻画数据的集中趋势以及用极差、方差刻画数据的离散程度等。根据标准的这个特点，本章在编写时，注意与前两个学段的衔接，将三个学段的相关内容，在分析数据的这个大背景下统一起来，在对学生已有的相关知识进行整理的基础上学习新的知识。例如，对于平均数、中位数、众数，本章就是在研究
21、数据集中趋势的大背景下，在整理学生已有的关于这三种统计量的认识的基础上，学习加权平均数，研究如何根据统计量的特征选择适当的统计量描述数据的集中趋势等。这样的一种编写方式，将三个学段的学习连成一个相互联系、螺旋上升的整体。因此，教学中要注意对已有知识的复习，在复习的基础上学习新内容，使学生对于分析数据的知识和方法形成整体认识。2准确把握教学要求对于统计中一些重要的思想方法，本套教科书采用螺旋上升的编排方式。例如， 关于用样本估计总体的思想，标准在本学段要求“通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果”， “通过实例，体会用样本估计总体的思想，用样本
22、平均数、方差估计总体的平均数、方差”等。对于标准的这个要求，教科书在第4 章 “数据的收集与整理”和本章都有安排，但在要求上有不同的层次。第 4 章从收集数据的角度研究抽样调查，要求初步感受抽样调查的必要性，初步体会用样本估计总体的思想；本章要求通过较多实例，从不同的方面进一步感受抽样的必要性，并初步感受样本的代表性，体会不同的抽样可能得到不同的结果，能够用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差等。因此，在本章教学时，要注意把握教学要求。3合理使用计算机（器）信息技术的发展给统计学的研究带来很大变化，为统计工作的高效、准确提供了便捷的工具。对于计算机（器）等现代信息技术对统计的作用，本套教科书给予充分重视。本章中，编写了使用计算器求一组数据的平均数和方差的内容作为碧血内容，还编写了利用计算机求平均数、 中位数、 众数和方差等集中统计量的内容作为选学内容等。教学中要注意发挥计算器（机）在处理数据中的作用，也要注意合理地使用计算器（机）。比如，在初学加权平均数和方差的概念时，应该让学生使用笔算或使用计算器的一般计算功能进行计算，使学生对求加权平均数方法和方差的结构有更多的理解，在此基础上，再学习使用计算器的统计功能求平均数或方差的方法，将学习重点放在理解统计思想和从事统计活动上来。