1、计算流体力学引论计算流体力学引论The Elements of Computational Fluid Dynamics教 材：任玉新,陈海昕.计算流体力学基础，清华大学出版社,北京,2006。预修课程：流体力学、偏微分方程数值解法、计算机语言和编程基础。参考书目：1.J.D.Anderson,Jr.Computational Fluid Dynamics-The Basis with Applications,McGraw-Hill,New York,1995.2.J.H.Ferziger,M.Peric.Computational Method for Fluid Dynamics,Spr
2、ingerVerlag,Berlin,2002.计算流体力学引论教学目的、要求教学目的、要求 本课程是流体力学及相关学科(地球科学、环境流体力学、化学、石油工程等)研究生的专业基础课，主要讲述计算流体力学基础理论及其应用。本课程重点介绍有限差分和有限体积方法的基本概念、基本理论和部分典型数值方法，阐释计算流体力学求解问题的思路，使学生能够掌握计算流体力学的基本概念，具备初步解决模型问题的能力。计算流体力学引论课程考核：作业（30%）期末考试（70%）期末考试：闭卷笔试 计算流体力学引论课程答疑：周二，13:30 15:10，N606 计算流体力学引论计算流体力学引论The Elements o
3、f Computational Fluid Dynamics第一章 绪论1.1 计算流体力学的概念与意义1.2 流体力学的基本方程1.3 流体力学方程组的类型判别 1.1 计算流体力学的概念与意义1、流体运动遵循3个基本定律：1)质量守恒定律；2)动量守恒定律；3)能量守恒定律2、流体的本构模型和状态方程 控制方程（控制方程（Governing equations）偏微分方程（方程组）或积分形式的方程（方程组）流体运动的复杂性主要表现为控制方程的高度非线性和流动区域几何形状的复杂性等，导致对绝大多数流动问题无法得到解析解。高速计算机的发展，使得计算流体动力学（Computational Flu
4、id Dynamics,CFD）逐渐成为一门独立学科。计算流体力学计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动规律的学科。在CFD中，首先，把控制方程中的积分、微分项近似地表示为离散的代数形式，把积分、微分形式的控制方程转化为一组代数方程，这个过程称为控制方程的离散化(discretization)；所采用的离散化方法称为数值方法或数值格式。然后，通过电子计算机求解这些代数方程组，得到流场在离散的时间/空间点上的数值解(numerical solution)。CFD也被称作流场的数值模拟、数值计算、数值仿真等。计算流体力学的研究步骤第一
5、问题的界定和流动区域的几何描述。流场的几何形状：源于对已有流动区域的测量或者新的产品和 工程的设计结果。流动条件：雷诺数、马赫数、边界处的速度及压力等 对数值模拟的要求：精度、所花费的时间。第二，选择控制方程和边界条件。在牛顿流体范围内，用Navier-Stokes方程描述。根据问题的特点，可以考虑定常或非定常，可压或不可压的流动模型。简化的数学模型：势流方程，Euler方程，边界层方程，薄层近似的Navier-Stokes方程等。边界条件通常依赖于控制方程。固体壁面条件，来流、出流条件，周期性条件，对称条件等 附加的物理模型：湍流模型，化学反应等。第三，确定网格划分策略和数值方法。网格划分
6、结构网格、非结构网格、组合网格、重叠网格。网格可以是静止的，也可以是运动的，还可以根据数值解动态调整（自 适应网格）。数值方法：有限差分、有限体积、有限元、谱方法等。数值方法和网格划分策略是相互关联的。第四，程序设计和调试。在网格划分策略和数值方法的基础上，编制、调试数值求解流体运动方程 的计算机程序或软件。第五，程序验证和确认。验证(Verification)：The process of determining that a model implementation accurately represents the developers conceptual description o
7、f the model and the solution to the model.确认(Validation)：The process of determining the degree to which a model is an accurate representation of the real world from the perspective of the intended uses of the model.第六，数值解的显示和评估 计算感兴趣的力、力矩等；应用流场可视化软件对流场进行显示、分析；对数值方法和物理模型的误差进行评估等。计算流体力学典型流程物理模型数学模型网格生
8、成离散方法选择时、空离散边界条件离散解代数方程组验证与确认流场显示结果分析举例：自然循环回路内的流动与传热特性物理模型：(1)空间维数：1D、2D、3D (2)时间特性：定常、非定常 (3)流动性质：无粘/粘性、可压缩/不可压缩、层流/湍流 (4)流体物性：常物性、变物性Geometric parameter:Height H Width W Length of heat sink(source)L Tube diameter d Rayleigh number RaHeat source temperature ThHeat sink temperature TcOperation pres
9、sure P数学模型：控制方程 定解条件 初始条件：边界条件：固体壁面上无滑移；恒温热源、恒温热沉，其余为绝热壁面。网格划分：数值算法：离散方法：FDM、FVM、FEM空间离散：对流项，粘性项，源项时间离散：显式、隐式边界离散：来流、出流、固壁、远场、周期性求解代数方程组数值解的验证与确认：流场显示及结果分析：计算流体力学的特点及意义实验研究理论研究计算流体力学优点：借助各种先进仪器，给出多种复杂流动的准确、可靠的观测结果，这些结果对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具有不可替代的作用。缺点：费用高昂，周期很长，有些流动条件难以通过实验手段来模拟。优点：可以给出具有一定适用范
10、围的简洁明了的解析解或近似解析解，这些解析解对于分析流动的机理和预测流动随参数的变化非常有用。缺点：只能研究简单流动问题，能够得到解析解的流动问题为数不多，远远不能满足工程设计的需要。发展CFD的主要动机：利用高速电子计算机，克服理论研究和实验研究的缺点，深化对于流体运动规律的认识并提高解决工程实际问题的能力。优点：原则上可以研究流体在任何条件下的运动，使得我们研究流体运动的范围和能力都有本质的扩大和提高。费用低，周期短。1.2 流体力学基本方程守恒型积分方程牛顿流体本构关系Stokes流体假设守恒型微分方程积分型方程和微分型方程在意义上有微妙差别：积分型方程允许在控制体内部流动参数有间断；微
11、分型方程假定流动参数是可微的，因而是连续的。因此，积分型方程是比微分型方程更为基本的方程，尤其是流场中确实存在间断时。状态方程直角坐标系下的守恒型方程Navier-Stokes 方程Euler 方程等价形式Navier-Stokes 方程中，Euler 方程中，CFD中，守恒型方程是使用最频繁的一种形式。边界条件黏性流动的适定边界条件：在固体壁面上速度满足无滑移条件：温度条件可以是下面三种之一：无黏流动的适定边界条件 在固体壁面上速度满足不可穿透条件1.3 偏微分方程的分类及数学性质一阶拟线性方程组 Euler方程：一阶非线性偏微分方程组 Navier-Stokes方程：二阶非线性偏微分方程组
12、流体力学的基本方程都可以写成一阶拟线性方程组的形式。对一阶导数项而言，是线性方程组；如果B,A是U的函数，则整个方程组是非线性的，称之为“拟线性方程组”。考虑一维守恒型Euler方程（一阶）令考虑Laplace方程（二阶）作业一：根据类似的方法，将作业一：根据类似的方法，将Navier-Stokes方程写成一阶方程写成一阶拟线性方程组的形式拟线性方程组的形式特征线理论分析拟线性方程的特征线和相容关系具有重要意义。通过引入特征线和相容关系，可以把偏微分方程的某种线性组合化为常微分方程。在有些情况下，还可以由此得到解析解。考虑一般形式的有两个自变量的拟线性方程组，它的分量形式双曲型方程的定义双曲、
13、抛物和椭圆型方程的数学性质不同类型的方程，如双曲、抛物、椭圆型方程具有不同的数学行为，对应着不同的物理过程；因而，也应采用不同的数值方法求解。流体力学方程组的其它类型计算流体力学引算流体力学引论The Elements of Computational Fluid Dynamics第二章有限差分方法基础2.1 有限差分方法概述2.2 导数的数值逼近方法2.3 差分格式的性质2.4 发展方程的稳定性分析2.1 有限差分方法概述 以一维非定常热传导方程为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。2.1.1 基本方程和定解问题方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问
14、题。有限差分方法：对于一个偏微分方程，如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(Algebraic Difference Quotient)代替，则可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程，进而得到数值解，这种方法称为有限差分方法(Finite Difference Method)。2.1.2 求解域及偏导数的离散化 为了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏导数表示为代数形式，为此，首先要把自变量从连续的分布变为离散形式。这个过程称为求解域的离散化。1.空间求解域的离散化把空间求解域分为M段（均匀剖分）2.时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时
15、间方向的求解域可以划分为 求解域被划分为一系列离散的时空网格点 图2.1 求解域的离散化 3.解的离散表示目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。4.导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。2.1.3 差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。1.FTCS(Forward difference in Time,Central difference in Space)格式时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。对初始条件和边界条件的离散化式(2.1.9)(2.1.12)称为方程(2.1.1)的一个有限差分方程或有限差分格式(fin
16、ite difference scheme)。2.BTCS(Backward difference in Time,Central difference in Space)格式时间方向用后差近似，空间二阶导数用中心差分近似。在研究数值方法时，通常把 tn 时刻的物理量视为已知量，而把 tn+1 时刻的物理量作为待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改写成2.1.4 差分方程的求解1.FTCS 格式可以改写为可见，在FTCS格式中，某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点，如图2.2所示。图2.2：FTCS格式的模板点FTCS格式的求解过程2.BTCS 格式可以改写为跟FTCS格式不同，BT
17、CS格式中同时涉及到 n+1 时刻的多个未知量，不能递推求解，称为隐式格式(implicit scheme)。图2.3：BTCS格式的模板点BTCS格式的求解过程2.1.5 用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程和定解条件BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程2.2 导数的数值逼近方法2.2.1 精度分析 在上一节，我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似，以及二阶导数的中心差分近似。这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢？可以用Taylor展开式进行分析。一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高。例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度。2
18、2.2 导数差分近似的待定系数法2.2.3 导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定义 算子，一种前置运算符。算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过程。在引入差分算子的定义之前，先介绍一种特殊的算子移位算子。移位算子的运算规则为移位算子的下标表示移位的方向，上标表示移位的步数。差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中常用的算子：2.差分算子之间的关系所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。3.微分算子与差分算子的关系4.导数的近似 根据差分算子之间的转化关系，可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系，从而得到导数的数值近似公式。即：即：与待
19、定系数法得到的结果一致。即：5.紧致格式 从上面的推导可以看出，导数的有限差分近似精度越高，所需要的模板点越多。对于一阶导数，一般需要5个点才能得到四阶精度的差分近似。模板点数太多不仅使数值方法变得复杂，也给边界附近的处理带来一定困难。紧致格式：用较少的模板点构造导数的高阶近似。基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compact scheme)。2.3 差分格式的性质2.3.1 范数的定义及性质1.向量范数2.算子范数2.3.2 差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截断误差(local truncation error)衡量差分格式逼近微分方程的程度。如果时间步长和空间
20、步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。根据差分格式精度的定义，按照上面的分析，FTCS格式时间方向是一阶精度，空间方向是二阶精度。2.3.3 差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的。定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量，每一个网格点上的截断误差也构成一个向量。因此，可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差。2.3.4 差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形式考虑线性的发展方程（双曲型方程和抛物型方程）的差分格式。发展型方程的一般形式：以非定常热传导方程的FTCS格式为例，将差分格式写成矩阵形式：FTCS格式：解向量记为：考虑到边
21、界条件，则差分格式可以写为：2.整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整体截断误差：差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度3.差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性对于保证数值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收敛的，那么，当计算网格足够密时，数值解将相当接近精确解。差分格式的稳定性等价于差分方程数值解的一致有界性。上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分格式稳定时，整体截断误差和局部截断误差量级相同。Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分格式的收敛性比较困难，而稳定性分析则比较简单。Lax定理告诉我们，在一定条件下，收敛性和稳定性
22、是等价的；通过稳定性分析，即可确定差分格式的收敛条件。4.稳定性的意义2.4 发展方程的稳定性分析2.4.1 矩阵方法2.4.2 Von Neumann稳定性理论2.4.3 稳定性分析实例计算流体力学引算流体力学引论The Elements of Computational Fluid Dynamics第三章发展型模型方程的有限差分 和有限体积方法3.1 一阶线性对流方程的差分格式3.2 抛物型模型方程对流扩散方程的 差分格式3.3 有限体积方法3.4 差分格式数值解的性质3.1 一阶线性对流方程的差分格式讨论双曲型模型方程：一阶线性对流方程线性对流方程的差分格式和流体力学中Euler方程的差
23、分格式以及Navier-Stokes方程中对流项的差分格式有密切的关系，因此，掌握其差分格式的构造方法具有非常重要的意义。本节中，介绍的差分格式构造方法包括：(1)基于导数逼近(2)基于特征理论(3)基于时间展开(4)基于算子分裂3.1.1 基于导数逼近的差分格式构造差分格式的最简单的方法。采用前差、后差和中心差等离散方法，直接近似微分方程中的导数项。1.Euler显式格式时间方向：前差。空间方向：中心差。2.Euler隐式格式时间方向：后差。空间方向：中心差。3.蛙跳(Leap-Frog)格式时间方向：中心差分。空间方向：中心差分。在满足稳定性的条件时，放大因子等于1，格式具有零耗散，称为中
24、性稳定的。4.一阶迎风(upwind)和顺风(downwind)格式时间方向：前差。空间方向：前差或后差。Courant Friedrichs Lewy3.1.2 基于特征线理论的差分格式，CFL条件特征性质是双曲型方程的重要特点。在构造差分格式时，考虑微分方程的数学物理性质，有助于得到性态较好的差分格式。3.1.3 基于时间展开的差分格式3.1.4 基于算子分裂方法的格式3.1.5 边界条件的数值处理3.2 抛物型模型方程 对流扩散方程的差分格式3.2.1 求解域的离散和边界条件的处理3.2.2 差分格式3.2.3 近似因式分解方法3.2.4 多维问题差分格式的稳定性分析3.3 有限体积方法
25、3.3.1 积分型守恒方程3.3.2 空间控制体3.3.3 有限体积方法的全离散形式3.3.4 有限体积方法的半离散形式3.4 差分格式数值解的性质3.4.1 修正方程3.4.2 差分格式的耗散和频散计算流体力学引算流体力学引论The Elements of Computational Fluid Dynamics第五章可压缩流动数值模拟概述5.1 控制方程5.2 激波间断和广义解5.3 激波捕捉方法5.4 有限差分和有限体积方法5.5 Navier-Stokes方程中黏性项的离散5.6 时间步长的计算5.7 边界条件的处理5.1 控制方程5.1.1 守恒型的Navier-Stokes方程5.
26、1.2 守恒型Euler方程5.2 激波间断和广义解5.2.1 激波的形成5.2.2 广义解5.2.3 熵条件5.3 激波捕捉方法5.3.1 守恒格式和Lax-Wendroff定理5.3.2 人工黏性和格式黏性5.4 有限差分方法和有限体积方法5.4.1 有限体积方法 方案A5.4.2 有限体积方法 方案B5.4.3 有限差分方法5.4.4 有限差分方法与有限体积方法的异同5.5 Navier-Stokes方程中黏性项的离散5.5.1 Navier-Stokes方程的有限体积和有限差分格式5.5.2 黏性通量的计算方法5.6 时间步长的计算5.7 边界条件的处理5.7.1 特征分析5.7.2
27、固壁边界5.7.3 远场边界5.7.4 Navier-Stokes方程的边界处理5.7.5 虚拟网格和虚拟控制体计算流体力学引算流体力学引论The Elements of Computational Fluid Dynamics第六章可压缩流动的数值计算方法6.1 中心型格式6.2 迎风型格式6.3 高分辨率格式6.1 中心型格式6.1.1 Lax-Wendroff格式6.1.2 MacCormack格式6.1.3 Jameson的中心型有限体积格式6.2 迎风型格式6.2.1 一维线性波动方程组的迎风格式6.2.2 Euler方程的迎风型有限差分格式6.2.3 Euler方程的迎风型有限体积
28、格式6.2.4 迎风格式在多维问题中的推广图6.1：有限体积方法中的控制体和控制 体界面上的法向量。图6.2：有限体积方法中的典型控制体6.3 高分辨率格式6.3.1 保单调性和单调格式6.3.2 TVD格式的概念6.3.3 TVD格式的构造6.4 求解Euler方程的隐式方法计算流体力学引算流体力学引论The Elements of Computational Fluid Dynamics第七章不可压缩流动的数值方法7.1 基本方程7.2 涡量-流函数方法7.3 SIMPLE方法7.1 基本方程7.2 涡量流函数方法7.2.1 基本方程7.2.2 差分格式7.2.3 边界条件7.2.4 求解方法7.3 SIMPLE方法7.3.1 交错网格和非交错网格交错网格7.3.2 动量方程的离散1.控制方程及有限体积格式7.3.3 SIMPLE方法
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