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1、楚雄师范学院数学系数学模型课程教 学 论 文题 目： 两种群的相互依存关系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 09级1班 学 号： 20091021135 学生姓名： 韩 金 伟 完成日期： 2011 年 12 月两种群的相互依存模型关键词：独立生存 不能独立生存 相互依存 促进增长 阻滞作用 平衡点 稳定点 模型分析：两种群相互依存的关系有三种：、甲种群能独立生存，乙不能独立生存，甲乙一起生存时相互提供食物，促进增长，即共生关心系；、甲乙均可以独立生存，甲乙一起生存时相互提供食物，促进增长；、甲乙均不能独立生存，甲乙一起生存时相互提供食物，促进增长；这三种相互依存关系之间存在着怎样的稳态关
2、系，对物种的变化有什么样的影响。变量定义：-种群在时刻t的数量； r-固有增长率；N-环境资源所容许的种群最大数量；-单位数量乙（相对于）提供的供养甲的食物量为单位数量甲（相对于）消耗的供养甲食物量的倍；-单位数量甲（相对于）提供的供养乙的食物量为单位数量乙（相对于）消耗的供养乙食物量的倍；甲能独立生存，乙不能独立生存模型假设：自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生现象是很普遍的。植物可以独立生存，昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活。人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系，这种共生现象可以描述如下：模型建立 设种群甲可以独立存在，按Logis
3、tic规律增长，种群乙为甲提供食物，有助于甲增长，种群甲的数量演变规律可以写作: （1）种群乙没有甲的存在会死亡，设其死亡率为，则乙单独存在时有 （2）甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙的促进作用，有 （3）显然仅当时种群乙的数量才会增长。与此同时乙的增长又会受到自身的阻滞作用，所以（3）式还要添加Logistic项，方程为 （4）求得该模型的三个平衡点：,按照判断平衡点的稳定性的方法计算： 利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋势。平衡点及其稳定性分析的结果如下表：平衡点稳定条件不稳定显然，点稳定才表明两个种群在同一环境下相互依存二共生，着重分析稳定的条件。由点
4、的表达式可以看出，要是平衡点有实际意义，即位于相平面第一象限（），必须满足下面两个条件之一： 如果平衡点稳定，那么种群乙灭绝，没有种群的相互依存。数值解：设r1=0.6, r2=0.35 , b1=1.5, b2=0.7，x1=150, x2=200, N1=500, N2=350， 建立M文件：function f=h(t,x)r1=0.6;r2=0.35;b1=1.5;b2=0.7;N1=500;N2=350;f=r1*x(1).*(1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1);在matlab中输入如下程序：t
5、s=0:0.5:20;t,x=ode45(h,ts,500,350)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid运行结果：结果分析：甲乙两个种群，甲能独立生存，乙不能独立生存，种群乙没有甲的存在会死亡，甲为乙提供食物，由于消耗相同的资源，所以一开始，乙种群的减少会导致甲的增加，又因为甲乙的相互依存关系，当乙减少到一定时，甲也随之减少。两种群均可独立生存模型假设以、表示处于相互依存关系中甲、乙二种群在时刻的数量，1种群数量的增长率与该种群数量成正比，同时也与有闲资源成正比；2 两个种群均可以独立存在，而可
6、被其直接利用的自然资源有限，均设为“”，分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；此外，两种群的存在均可以促进另一种群的发展，我们视之为另一种群发展中可以利用的资源，为二折算因子，表示一个单位数量的乙可充当种群甲的生存资源的量，表示一个单位数量的甲可充当种群乙的生存资源的量；3分别表示甲、乙二种群的固有增长率。模型建立根据模型假设，可得如下数学模型：经化简，得：模型求解与种群竞争模型相同，我们只求解模型方程的平衡点，并讨论其稳定性，从而对两种群的变化趋势作出判断。为此，令，求得该模型的四个平衡点：、。按照判断平衡点的稳定性的方法计算：我们可以得到平衡点的稳定性如下表：平
7、衡点稳定条件不稳定不稳定不稳定可知，只有在的情况下，平衡点是稳定的。此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值；否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。数值解设r1=1.5, r2=0.3 , b1=1.5, b2=0.8，x1=600, x2=450, N1=900, N2=600， 建立M文件：function f=h(t,x)r1=1.5;r2=0.3;b1=1.5;b2=0.8;N1=900;N2=600; f=r1*x(1).*(1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1);在matlab
8、中输入如下程序：ts=0:0.5:20;t,x=ode45(h1,ts,900,600)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid运行结果：结果解释：在平衡点处，是满足稳定条件，两种群相互促进增长，故有图2两种群增长两种群均不能独立生存模型假设：设种群甲和乙都不可以独立存在，两种群相互提供食物而生存。种群甲没有乙的存在会灭亡，设其死亡率为，则甲单独存在时有 （1）甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上乙对甲增长的促进作用，有 （2）显然仅当时种群乙的数量才会增长。与此同时乙的增长又会受到自身的阻滞作用
9、，所以（2）式右端还要添加Logistic项，方程变为 （3）种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为，则乙单独存在时有 （4）甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有 （5）显然仅当时种群乙的数量才会增长。与此同时乙的增长又会受到自身的阻滞作用，所以（5）式右端还要添加Logistic项，方程变为 （6）平衡点分析：方程（3）、（6）构成相互依存现象的数学模型，下面进行平衡点的稳定性分析，将方程（3）、（6）的平衡点及其稳定性分析的结果列入表3.平衡点pq稳定条件不稳定表3 种群依存模型的平衡点及稳定性我们着重分析稳定的条件由表3中点的p,q可知，在时才是稳定的。模型求解
10、：数值解设r1=0.8, r2=1.5 , b1=1, b2=3，x1=700, x2=500, N1=700, N2=900， 建立M文件：function f=h(t,x) r1=0.8;r2=1.5;b1=1;b2=3;N1=700;N2=900; f=r1*x(1).*(-1+b1.*x(2)./N2)-x(1)./N1);r2*x(2).*(-1+ b2.*x(1)./ N1)- x(2)./N2);在matlab中输入如下程序：ts=0:0.5:50;t,x=ode45(h,ts,700,900)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid运行结果：结果分析：两个种群均不能独立生存，则其中一个种群数量的变化就会导致另一个种群的相应变化，即两种群保持着同增同减的变化关系。由图可知，当甲种群数量减少时，已种群也在减少。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）