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1、高中数学解题思路大全三角函数求最值的归类研究三角函数求最值的归类研究 求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。 一、化成的形式 y,Asin(,x，,)例1. 在直角三角形中，两锐角为A和B，求的最大值。 sinAsinB1,解: sinAsinB,sinAsin(,A),sinAcosA,sin2A22,1由，得，则当时，有最大值。 0A,A,0,2A,sinAsinB422,，44，0f(x),cosx,2sinxcosx,sinx例2. 求函数在上的最大值和最小值。 ,2，解: 44f(x),cosx,2s
2、inxcosx,sinx 2222,(cosx，sinx)(cosx,sinx),sin2x,cos2x,sin2x,2sin(2x,)432,2x,，,sin(2x,),1由，得， 0,x,444242,得， ,2,2sin(2x,),14,3f(x),2f(x),1则当x=0时，;当x,时， minmax8f(x),Asin(,x，,)，k,点评,这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，f(x),|A|，k，f(x),|A|，k，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。 maxmin,3,，,2u,x,例2中，令，画出在上的图象(如图1)， sinu,444，图1
3、2,2,sinu,1,sin(2x,),1不难看出，即。 242,应注意此题容易把两个边界的函数值和误认为是最大值和最小值。 f()f(0)2ccosx，d二、形如y,的形式 asinx，bsinx,1y,例3. 求函数的最大值和最小值。 cosx,2解:由已知得ycosx,2y,sinx,1， 2即， sinx,ycosx,1,2y，y，1,sin(x，,),1,2y1,2ysin(x，),所以 ,2y，11,2y因， |sin(x，,)|,1，,12y，1423y,4y,0，0,y,即解得， 34故 y,，y,0maxmin3,点评,上述利用正(余)弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不
4、等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解法。 csinx，dy,三、形如的形式 asinx，b3,2sinxy,例4. 求函数的最大值和最小值。 sinx,23,2sinx2sinx,32(sinx,2)，11y,2解: sinx,2sinx,2sinx,2sinx,211由，得， ,1,1,sinx,1,3,sinx,2,1sinx,231151，即 ,1,2,13sinx,23sinx,251 ？y,，y,maxmin3,点评,此题是利用了分离分母的方法求解的。若用例3的解法同样
5、可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。 ay,sinx，四、形如的形式 sinx2例5. 求的最小值。 y,sinx，(0,x,)sinx2解:设，则。 y,u，(0,u,1)u,sinxu2y,u，从图2中可以看到在区间(0，1上是减函数(也可以利用函数的单调性定义来证明这一结u论)。 2？当时， y,1，,3u,1min1八、教学进度表22sinx，,2sinx,2222,点评,若由，可得最小值是错误的。 sinxsinx135.215.27加与减（三）4 P75-802sinx,这是因为当等号成立时， sinx1sinx,2,1即是不可能的。若把此题改为y,sinx，(0,x,)就
6、可以用不等式法求解了，sinx同学们不妨琢磨一下。 cos,五、利用与之间的关系 sin,y,sinx,cosx，sinxcosx例6. 求函数的最大值和最小值。 ,解:设， t,sinx,cosx,2sin(x,)46.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。2,t1xx,则，且sincos。 ,2,t,2221,t12y,t，,(t,1)，1由于， 22（1) 与圆相关的概念：1y,1故当t=1时，;当时，2。 t,2y,maxmin2这三者之间有着相
7、互制约，不可分割的密切联系。,点评,sin,，cos,，sin,cos,，sin,cos,（1）一般式：是纽带，三者之间知其一，可求其二。令换元后依题意可灵活使用配方法、sin,cos,t,sinx,cosx重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方3、思想教育，转化观念端正学习态度。法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。 练一练: 53.264.1生活中的数3 P24-29y,2sinx(sinx，cosx)1. 求函数的最大值和最小值。 2y,3,cosx,sinx2. 求函数的最大值和最小值。 ,，x，,y,(sin
8、x，1)(cosx，1)3. 已知，求函数的最大值和最小值。 ,62，答案:1. y,2，1，y,1,2maxmin186.257.1期末总复习及考试,2(提示:由) y,2sinx，2sinxcosx,1,cos2x，sin2x,2sin(2x,)，1472. 4 y,，y,maxmin4172223cos(1cos)coscos2(cos)(提示:由) y,x,x,x,x，,x,，24，32223y,y,， 3. maxmin242(提示:令，则。 sin2x,t,1t,sinx，cosx二次函数配方成则抛物线的,3，2， 2x,，,，,t,1,1,32，初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；3,1,t,2解得。 22t,112y,sinxcosx，sinx，cosx，1,，t，1,(t，1)于是，容易求解) 22