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1、百度文库-让每个人平等地提升自我函数及其表示考纲知识梳理、函数与映射的概念函数映射两集合设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系Jf : A B/如果按照某种确定的对应关 系f ,使对于集合A中的任个数x ,在集合B中都 有唯一确定的数 f(x)和它 对应。如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A中的任 思一个兀素x ,在集合B中 都有唯一确te的九素 y与之 对应。名称称f :A B为从集合A到集合B的一个函数称f : AB为从集合A到集合B的一个映射记法y f(x), x A对应f : AB是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射， 二者区别在于映射定义中的两个集合
2、是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。二、函数的其他有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y f(x), x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值f(x)|x A的集合叫做函数的值域(2) 一个函数的构成要素定义域、值域和对应法则(3)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？(不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx ,其定义域为 R,值域都为-1 ,1,显然不是相
3、等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对产 应关系) / (4)函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示， 这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。11函数及其表示测试题0i则不等式f (x)f(1)的解集是B.( 3,1) (2,)D.(, 3)(1,3)1、设函数f(x)A. ( 3,1)(3,C. ( 1,1)(3,解析 由已知,x2 4x 6, xx 6,x 0)函数
4、先增后减再增当 x 0, f (x) 2 f (1) 3 令 f (x) 3,解得 x 1, x j3。当 x0,x6 3,x3故 f (x) f (1) 3 ,解得 3 x 1或x 32、试判断以下各组函数是否表示同一函数？、,23、,31 x 0,1 x 0;(1) f (x)八x , g (x) =*x ;|x|(2) f (x) = x , g (x)2n 1 2n 12n 1(3)f(x)= Mx ,g(x)=($x)2n 1(nCN*)；(4) f (x)二五X 1 , g (x) =xx ;(5) f (x) =x22x 1, g (t) =t2 2t 1 o解：(1)由于 f
5、(x) =vx =|x| , g (x)=3x =x,故它们的值域及对应法则都不相同,1 x 0,1 x 0;所以它们不是同一函数;|x|(2)由于函数f (x) = x的定义域为( 8, 0)u (0, +00),而g (x)的定义域为R,所以它们不是同一函数；(3)由于当nCN时，2n1为奇数,2n 1V2n 12n 1 vf (x) =、(x =x, g (x) = ( 、x) 2n- 1=x,匕们的te义域、值域及对应法则都相 同，所以它们是同一函数；(4)由于函数f1(x) =，x xx 1的定义域为x|x 0,而g (x) =x x的定义域 为x|x w1或x0,它们的定义域不同，
6、所以它们不是同一函数；(6) 函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数注：对于两个函数 y=f (x)和y=g (x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相 同时，y=f (x)和y=g (x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全 相同，反之亦然。3、求下列函数的值域:（i）23x x 2 ; (2)解:(1)2x4 J1 x ; ( 5)2 x 2（配方法）；(8)3x2的值域为琮，（2）求复合函数的值域:x2x . 16x 52x x 1 .(x2x 1(3)3x 1x 2 ；x2 6x 5(6) y2).|x1| |x 4|.1 2x 2 3(x )2
7、6231223）,则原函数可化为 y2_, 2x6x5(x3)4 44,故，22x 6x 5的值域为，2（3）（法一）反函数法:3x 1x 2的反函数为2x 1 y -r x 3其定义域为xR| x3x 1y原函数x 2的值域为 yR|y 3（法二）分离变量法:3x3(x 2)x 21.1 x 23x 1y，函数x 2的值域为 yR|y3(4)换元法（代数换元法）工：设原函数可化为y1t24t (t2)2 5(t原函数值域为（,5注：总结y axb -cx d型值域,5,变形：y ax2 b , cx2 d 或 y ax2 bcx d(5)三角换元法:x2 0x 1, 设x cos0, Jco
8、ssin. 2 sin(0,一44sin(；)2sin(4)原函数的值域为y |xi|x(6)数形结合法:2x 34| 52x 3(x 4)(4x1)(x 1)5, 函数值域为5,(7)判别式法：:。恒成立,.函数的定义域为Ry 由2x2 x 2当y当y(yx 1得:(y2)x2(y 1)x1)2原函数的值域为(8)0即y0即y4 (y2,1,52x22时，即2)20x(2x 1)2x 13x 0R时方程(y2)x21_2_1 x -2(y 1)x y 2 0恒有实根,x2x 1x12x 1i212x 112_122 (x 1)2 )1 x -2当且仅当2时，即1,22时等号成立.原函数的值域
9、为)4、求函数的解析式(1)已知f (x1) x已知已知f(2 xf(x)1)lg xf(x)是一次函数,(2)(3)已知解:f 2f(x)f(x)满足且满足f(-) x3f(x 1) 2f(x 1)3x,求 f(x)；(1)配凑法:f (x-) x(x1)3 3(x x.f (x)3x 3x2)(2)换元法：1)t 1,f(t)f(x)lgx(x1)(3)待定系数法:f(x)ax b(a 0)则 3f (x1)2f (x1)3ax3a 3b 2ax7,- f(x)2x7;(4)方程组法:.12f (x) f (-) 3xx a2x 17,求 f(x)；1) x ,2a 2b ax b 5a
10、2x 17,2 f f(x) ,把中的x换成x，得 xx3f (x) 6x 32得x /,1f (x) 2xx 。5.设a是正数，ax+y=2(x 0,y 0),记y+3x x2的最大值是 M(a),试求：M(a)的表达式；21解 将代数式y+3x 2x2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二 次函数，逐步进行分类求M(a)。1设 S(x)=y+3x 2 x2,将 y=2 - ax 代入消去 y,得：1S(x)=2 ax+3x 2 x21= -2 x2+(3 a)x+211=2 x (3 a) 2+ 2(3 a) 2+2(x 0)y 0 - 2 ax 02而 a00x a下面分三种情况求 M(a)2(i)当 03-a0),即0 a 3a2 3a 2 0 时解得0a1或2a a (a0)即 a 02a3a 2 0 时，解得：1waw2,这时(-)2221M(a)=S( a )=2 a a +3 - a - 2(iii)当 3 a3 时M(a尸S(0)=2综上所述得：122(3 a)2 2262/a a122(3 a)2 2(0(1(2(aa 1)a 2)a 3)3)M (a) = 2