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1、不等式的解法典型例题【例 1】解不等式：(1)2x 3-x2-15x 0; (2)(x+4)(x+5) 2(2-x)30(或f(x) 0把方程式2苫+5峋-3)=0的三个根盯=0,4=3顺次标上二I顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根， 其解集如图(5 1)的阴影 部分.，原不等式解集为|；x0x+50(x+4)(x-2)0卜卢-5-4 松2.原不等式解集为 x|x -5或-5x2.【说明】用“区间法”解不等式时应注意：各一次项中 x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也 可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2).7r可-图5-1图
2、5-2【例2】解下列不等式:x -4x +1rT2;31-+21【分析】当分式不等式化为用 。（或。）时，要注意它的等价变形畿g岁g 0 O * g(x) 4 0f(x) g(x) 0 f(x) 1-飒，。或Q40o的幽勺解：（1）原不等式等价于=s + 2 x - 2 x + 23区 + 2) - s(x - 2),-xa +5x + 6o -0 a0-3x+l0 fcx2 -3x + l0 0卜*.7笈+20或&n7区+ 2Q o k g或2，原不等式解集为(-8, ；)ug, l)Ua +8).解法二：原不等式等价于争器J2。(3x - 1)(k - 2)(2x.l)(il)(3xl)*
3、(x-2)0用“区间法”，原不等式解集为（不. !）u（!，i）u（2, +8）图5-3图5-4【例3】解下列不等式:（1总-2）总书0； （2）GQ -3历x+L【分析】无理不等式的基本解法是转化为有理不等式（组）后再求解,但要注意变换的等价性.解：（1）原不等式等价于-2)岳元=0 x = 2 或A/.或依或J。bx + 30o x2或X =三.，原不等式解集为布2或x = 1 ,U(2)原不等式等价于卜-10xl4笈-3)00*北30*)5st -K (x -3)2 仅2)(乂5)0 kV.原不等式解集为 x|x 5.(3)原不等式等价于2x+50 x + l(x + lfo4x2或x0
4、)原不等式化为t2-2t-3 0)解得 00t3即也齐33,再解得-?4x0,设两图象交点为M.图5-5令，2x + 5 =区+1,解微=-2,区2 = 2.，同点横坐标为2.由图可知：地书x+l解集为（-，2）.（【说明】有些题目若用数形结合的方法将更简便.【例4】解下列不等式：1（1）4X -5* 2k 2 +80i（丁曜心 +1） +log （6 一区）1怨12.【分析】中4*可看作y, 2v可看作、加，2，(2)可整理成log f(s)log造型.22解：(1)原不等式等价于(2乎-5杼 21 +80令2x=t(t 0),则原不等式可化为15历+80 Q K企或t4也1515即有2乂2
5、彳或2乂21，芯5或UI乙故原不等式解集为(-8,小U(3，+8). &乙(2)原不等式等价于*106 -片0O芯42或34足 6(x +1,)(6-x) 12 L.原不等式解集为(-1 ,2U3, 6).【说明】解对数不等式需注意各真数必为正数.在利用对数性质1%皿+log4N = 1密MN或10gliM-log.N = log. 时，需注意变换的等价性，否则会出现增解或漏解.【例5】解不等式|x2-4| x+2.【分析】解此题关键是去绝对值符号，而去绝对值符号主要利用性质：冈a &或-a.j-2x3 卜1或笈 -2O 1k3解：原不等式等价于-（x+2） x2-4x+2.-4k+ 2）故原
6、不等式解集为（1 , 3）.【说明】联区）|g伍）O -g（X）f（X）g（x） O则以幻或侬 2 （2）1 屈一3|4,【分析】不等式中有以2为底和以2为底的两个对数，利用 乙换底公式先化为同底对数.不等式（2）中先解绝对值不等式，再解无理不解：（1）原不等式等价于log 2（2x-1） -log 2（2x-1）-2（11%修）-2令log2（2x-1）=t ,则上述不等式变为t（-1-t）-2即 t2+t-20.解之，得 -2 t1,从而-2log2（2x-1） 1.于是 22*J0+ 3 - 3(芯x0x + 303- x0x + 3 (3 -x)a”yi1 +2x010或江+ 3)03
7、-x0o lx3 o xL故原不等式解集为化性上严.【例 71解不等式 log 2x2-1 (3x2+2x-1) 0px3+2x-l0L i或卜2/ _11卜一+2x-l2k3-1(x + l)(3x-l)0d+2x0 或5o -2k -1或】原不等式解集为(2 J)U(三，1).11【说明】当时数底数含有字母或未知数时，应对其进行分类讨论.【例81解关于x不等式a2x +10且aw 1.【分析】题目通过变形可看作是关于ax的二次不等式.对于底数a分a 1或0 a 1两种情况讨论.解：原不等式等价于(ax)2-(a 2+a-2)ax+11时，a2a-2,于是(*)式得a-2axa2,即-2x2
8、.当0aa2,于是(*)式得a2axa-2,即-2x0; a*1解关于x的不等式xogax 1时，原不等式两边取对数，得log.x* log1xlog1(；a3x3) oQog/) ”3 + 210gsO (logtx) J -21oglx - 30 O】0g.理3 O -4x屋. a当0a0 103O笈1或0。广, a综上可知，当al时，原不等式解集是(L /)；当0aLX解I原不等式Q loga(l)kg也X(1)当a1时，式等价于* 1 _T O1占一 J -自1、 x X1 RaI区由1知，1 -a0,所以的解为x0.1 - a(2)当0a01 a x-1 x由0a1知，故的解为lx 二二1 - a，当al时，原不等式解集为q*, 0)1当0al时，解集 为3小